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第7讲 函数的奇偶性与周期性1.2017·北京卷已知函数fx=3x-x,则fxBA.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数因为函数fx的定义域为R,f-x=3-x--x=x-3x=-fx,所以函数fx是奇函数.因为函数y=x在R上是减函数,所以函数y=-x在R上是增函数.又因为y=3x在R上是增函数,所以函数fx=3x-x在R上是增函数.2.2014·新课标卷Ⅰ设函数fx,gx的定义域都为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,则下列结论正确的是CA.fxgx是偶函数B.|fx|gx是奇函数C.fx|gx|是奇函数D.|fxgx|是奇函数因为fx是奇函数,gx是偶函数,所以f-x=-fx,g-x=gx,所以f-xg-x=-fxgx,所以fxgx为奇函数.|f-x|g-x=|fx|gx,所以|fx|gx为偶函数.f-x|g-x|=-fx|gx|,所以fx|gx|为奇函数.|f-xg-x|=|fxgx|,所以|fxgx|为偶函数.3.2018·华大新高考联盟教学质量测评设fx是周期为4的奇函数,当0≤x≤1时,fx=x1+x,则f-=AA.-B.-C.D.f-=f-+4=f-=-f=-1+=-.4.2016·安徽皖北联考已知偶函数fx对于任意x∈R都有fx+1=-fx,且fx在区间
[02]上是递增的,则f-
6.5,f-1,f0的大小关系为AA.f0f-
6.5f-1B.f-
6.5f0f-1C.f-1f-
6.5f0D.f-1f0f-
6.5由fx+1=-fx,得fx+2=-fx+1=fx,故函数fx是周期为2的函数.又fx为偶函数,所以f-
6.5=f-
0.5=f
0.5,f-1=f1,因为fx在区间
[02]上是递增的,所以f0f
0.5f1,即f0f-
6.5f-1.5.2017·山东卷已知fx是定义在R上的偶函数,且fx+4=fx-2.若当x∈[-30]时,fx=6-x,则f919= 6 .因为fx+4=fx-2,所以f[x+2+4]=f[x+2-2],即fx+6=fx,所以fx是周期为6的周期函数,所以f919=f153×6+1=f1.又fx是定义在R上的偶函数,所以f1=f-1=6,即f919=
6.6.已知奇函数fx在定义域[-1010]上是减函数,且fm-1+f2m-10,则实数m的取值范围为 [-, .由fm-1+f2m-10⇒fm-1-f2m-1,因为fx为奇函数,所以-fx=f-x,所以fm-1f1-2m,又fx在[-1010]上是减函数,所以解得-≤m.7.已知函数fx=是奇函数.1求实数m,n的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.1设x0,则-x0,f-x=--x2+2-x=-x2-2x,又因为fx为奇函数,所以f0=n=0,f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2要使fx在[-1,a-2]上单调递增,结合fx的图象可知有所以1a≤
3.故所求实数a的取值范围是13].8.2016·山东卷已知函数fx的定义域为R.当x0时,fx=x3-1;当-1≤x≤1时,f-x=-fx;当x时,fx+=fx-,则f6=DA.-2B.-1C.0D.2由题意知,当x>时,fx+=fx-,则当x>0时,fx+1=fx.又当-1≤x≤1时,f-x=-fx,所以f6=f1=-f-1.又当x<0时,fx=x3-1,所以f-1=-2,所以f6=
2.故选D.9.设函数fx=的最大值为M,最小值为m,则M+m= 2 .fx=1+,设gx=fx-1=,则gx是奇函数,因为fx的最大值为M,最小值为m,所以gx的最大值为M-1,最小值为m-
1.所以M-1+m-1=0,所以M+m=
2.10.已知定义域为R的函数fx=的图象关于原点对称.1求a,b的值;2若对任意的t∈R,不等式f2t2-2t+ft2-k0恒成立,求k的取值范围.1因为fx的图象关于原点对称,所以fx是奇函数,所以f0=0,即=0,解得b=1,所以fx=.又由f1=-f-1知=-,解得a=
2.故a=2,b=
1.2由1知fx===-+,易知fx在-∞,+∞上为减函数.又fx是奇函数,所以不等式f2t2-2t+ft2-k0等价于f2t2-2t-ft2-k=fk-t2,因为fx在-∞,+∞上为减函数,所以2t2-2tk-t
2.即对一切t∈R有3t2-2t-k0,从而判别式Δ=4+12k0,解得k-.所以k的取值范围为-∞,-.。