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文本内容:
2019-2020学年高中数学
2.
2.1向量的加法运算与几何意义教案【学习目标】
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义,掌握有特殊位置关系的两个向量的和比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.【重点难点】教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.【学习过程】
一、提出问题1
(1)数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?类比数的加法猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法?
(2)猜想向量加法的法则是什么与数的运算法则有什么不同图1探究活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图
1.某对象从A点经B点到C点,两次位移、的结果,与A点直接到C点的位移结果相同.力也可以合成老师引导,让学生共同探究如下的问题:图21表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO;图22表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.图2改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验你能发现F与F
1、F2之间的关系吗力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.合力F与力F
1、F2有怎样的关系呢由图23发现,力F在以F
1、F2为邻边的平行四边形的对角线上并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们,从运算的角度看F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.探究结果:
(1)向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.图3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
(2)向量加法的法则:
①向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
②向量加法的平行四边形法则图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题2
(1)对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢?
(2)两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系?
(3)思考|a+b||a||b|存在着怎样的关系?
(4)数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢探究活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨、诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意ab∈R有a+b=b+aa+b+c=a+b+c.任意向量ab的加法是否也满足交换律和结合律引导学生画图进行探索.探究结果:
(1)对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.
(2)两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
(3)当ab不共线时,|a+b||a|+|b|即三角形两边之和大于第三边;当ab共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当ab共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|或|b|-|a|.其中当向量a的长度大于向量b的长度时|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.
(4)如图5,作=a=b以AB、AD为邻边作ABCD,则=b=a.因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.如图6,因为=+=++=a+b+c==+=++=a+b+c所以a+b+c=a+b+c.综上所述向量的加法满足交换律和结合律.图5图6
二、应用示例思路1【例1】如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.活动:教师引导学生让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时一般都需要进行向量的平移用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起而用三角形法则作图则要求首尾相连.图7图8图9解:作法一:在平面内任取一点O如图8作=a=b则=a+b.作法二:在平面内任取一点O如图9,作=a=b.以OA、OB为邻边作OACB连接OC则=a+b.变式训练化简1+;2++,3++++.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.解:1+=+=.2++=++=++=+=
0.3++++FA=++++=+++=++=+=
0.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.解:如图11所示表示船速表示水速以AD、AB为邻边作ABCD则表示船实际航行的速度.2在Rt△ABC中||=2||=5所以||=≈
5.
4.因为tan∠CAB=,由计算器得∠CAB=70°.答:船实际航行速度的大小约为
5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量再进行向量运算最后回扣物理问题,解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面几何题如果用纯几何的方法去思考问题不难解决如果用向量法来解不仅思路清晰而且运算简单.将互相平分利用向量表达以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题并在解完后总结思路方法.证明:如图12设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=+,=+.AC与BD互相平分,=,=,=因此∥且||=||,即四边形ABCD是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时只需证明=或=即可.而要证明一个四边形是梯形需证明与共线且||≠||.思路2【例1】如图13,O为正六边形ABCDEF的中心作出下列向量:1+;2+;3+.活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则三角形法则作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.图13解:1因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形OB是其对角线,故+=.2因=,故+与方向相同长度为的长度的2倍,故+=.3因=,故+=+=
0.点评:向量的运算结合平面几何知识在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.【例2】在长江的某渡口处,江水以
12.5km/h的速度向东流渡船的速度是25km/h渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?活动:变式训练已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则四边形ABCD是怎样的四边形点O是四边形的什么点活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.图15解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且+++=0过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形,设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.∵+++=0,+=+=,+=+=∴+=0即与的长度相等,方向相反.∴M、O、N三点共线即点O在AD与BC的中点连线上.同理,点O也在AB与DC的中点连线上.∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.知能训练课本本节练习.解答:
1.直接在教科书上据原图作此处从略.
2.直接在教科书上据原图作此处从略.
3.1;
2.点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向.
4.1c;2f;3f;4g.点评:通过填空使学生得出首尾相接的几个向量的求和规律.。