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2019-2020学年高二数学上学期期中试题理I
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.过点且平行于直线的直线方程为()A.B.C.D.2.高二某班共有学生56人,座号分别为1,2,3,…,56现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本.已知4号、18号、46号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是()A.30B.31C.32D.333.如果,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.4.在等比数列中,若公比,,则的值为()A.56B.58C.63D.645.已知直线平面,直线平面,给出下列命题
①;
②;
③④;其中正确命题的序号是()A.
①②③B.
②③④C.
①③D.
②④6.已知的三边长为,满足直线与圆相离,则是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有可能7.若为三角形中的最小内角,则函数的值域是()A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图,输出的值是()A.5B.1C.D.9.在中,,边上的高等于,则()A.B.C.D.10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.60B.72C.81D.11411.若向量满足,则在方向上投影的最大值是()A.B.C.D.12.圆锥的轴截面是边长为4的正三角形(为顶点),为底面中心,为中点,动点在圆锥底面内(包括圆周),若,则点形成的轨迹长度为()A.B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知变量满足约束条件,则的最大值是.14.如图,茎叶图记录了甲、乙两学习小组各3名同学在月考1中的数学成绩,则方差较小的那组同学成绩的方差为.15.在上随机的取一个数,则事件“圆与圆相交”发生的概率.16.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,,,,则球的表面积为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图,在直三棱柱中,分别为的中点,点在侧棱上,且,.求证
(1)直线平面;
(2)平面平面.18.某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了学生“七不准”,“一日三省十问”等新的规章制度.新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查,调查卷共有10个问题,每个问题10分,调查结束后,按分数分成5组,,,,,并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在,的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的的值;
(2)在选取的样本中,从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.19.在中,角对应的边分别是,已知.
(1)求角的大小;
(2)若,求周长的最大值20.已知点,过点动直线与圆交与点两点.
(1)若,求直线的倾斜角;
(2)求线段中点的轨迹方程.21.在如图所示的圆锥中,是圆锥的高,是底面圆的直径,点是弧的中点,是线段的中点,是线段的中点,且,.
(1)试在上确定一点,使得面,并说明理由;
(2)求点到面的距离.22.已知,设是单调递减的等比数列的前项和,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求证对于任意正整数,.参考答案
一、选择题1-5:ACDCD6-10:CBCBB
11、12BD
二、填空题13.214.15.16.
三、解答题17.证明
(1)在直三棱柱柱中,,在三角形中,因为分别为中点,所以,于是,又因为平面,平面所以直线平面
(2)在直三棱柱中,平面因为平面,所以又因为,平面,平面,所以平面因为平面,所以又因为,平面,平面,所以平面因为直线平面,所以平面平面.18.解
(1)由题意可知,样本容量,,.
(2)由题意可知,分数在内的学生有5人,记这5人分别为,分数在内的学生有2人,记这2人分别为.抽取的2名学生的所有情况有21种,分别为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.其中2名同学的分数恰有一人在内的情况有10种,∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.19.解
(1),得,即,解得或(舍去),因为,所以
(2)∵,∴∵,∴,∴,从而,综上.20.解:
(1)圆的方程化为,又当动直线的斜率不存在时,直线的方程为时,显然不满足题意;当动直线的斜率存在时,设动直线的方程为即故弦心距.再由点到直线的距离公式可得解得即直线的斜率等于,故直线的倾斜角等于或.
(2)设由垂径定理可知,故点的轨迹是以为直径的圆.又点,故的轨迹方程为21.解
(1)连接,设,由题意为的重心,∴,连接,∵面,平面,面面,∴,∴又,∴∴点是上靠近点的四等分点.
(2),又点是弧的中点,,∴面,面,∴.因为,,∴点到面的距离22.解
(1)设数列的公比,由,得,即,∴.是单调递减数列,∴,∴
(2)由
(1)知,所以,
①,
②②-
①得,,由,得,故又,因此对于任意正整数,。