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2019-2020学年高二数学上学期期末检测试题理一.选择题(每题5分,满分60分)1.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=A.12B.13C.14D.152.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S5=25,则S7=A.41 B.48C.49D.563.数列{1+2n-1}的前n项和为A.1+2nB.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n4.设数列{an}的前n项和为Sn,且an=sin,n∈N*,则S2016=()A.0B.1C-1D25.下列命题中,正确的是A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abC.若,则abD.若ab,cd,则a-cb-d6.已知a+b=ta>0,b>0,t为常数,且ab的最大值为2,则t=A.2B.4C.2D.27.曲线+=1与曲线+=1k<9的A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等8.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的面积为A.B.C.D.219.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为A.2B.2C.D.110.已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值是A.4B.C.-D.-411.若点P到直线x=-1的距离比它到点20的距离小1,则点P的轨迹为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线12.已知F1,F2为椭圆C+=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,·的最大值、最小值分别为A.97B.87C.98D.178二.填空(每空5分,满分20分)13.已知双曲线的一个焦点F0,,它的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的标准方程为________________.14.xx·鄂州一模已知x0,则的最大值为________.15.xx·大连名校联考已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.16.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.三.解答题(共60分)17.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.1求数列{an}的通项公式;2求a1+a3+…+a2n+
1.18(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.1求数列{an}的通项公式;2设bn=2an+-1nan,求数列{bn}的前2n项和.19(12分)如图,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=
2.1证明DE⊥平面PCD;2求二面角APDC的余弦值.20.12分已知椭圆E+=1a>b>0的离心率为,右焦点为F10.1求椭圆E的标准方程;2设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.
21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.点M3,m在双曲线上.1求双曲线的方程;2求证·=0;3求△F1MF2的面积.
22.(12分)已知平面上的动点Px,y及两个定点A-20,B20,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2且k1k2=-.1求动点P的轨迹C的方程;2设直线l y=kx+m与曲线C交于不同两点M,N,当OM⊥ON时,求O点到直线l的距离O为坐标原点.
一、选择题每小题5分,共60分题号123456789101112答案
二、填空题每小题5分共20分
13、_______
14、_________
15、__________
16、__________
三、解答题17题10分,其余每题12分
17、
18、
19、
20、
21、
22、高二级期末数学考试题(理科)一.选择题(每题5分)1.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=A.12 B.13C.14D.15解析选B 由S5=⇒25=⇒a4=7,所以7=3+2d⇒d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=
13.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S5=25,则S7=A.41 B.48C.49D.56解析选C 设Sn=An2+Bn,由题知,解得A=1,B=0,∴S7=
49.3.数列{1+2n-1}的前n项和为A.1+2nB.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n解析选C 由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-
1.4.设数列{an}的前n项和为Sn,且an=sin,n∈N*,则S2016=()A.0B.1C-1D2解析an=sin,n∈N*,显然每连续四项的和为
0.S2016=S4×504=
0.答案A5.下列命题中,正确的是A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abC.若,则abD.若ab,cd,则a-cb-d解析选C 取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c0时,acbc⇒ab,∴B错误;∵,∴c≠0,又c20,∴ab,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.6.已知a+b=ta>0,b>0,t为常数,且ab的最大值为2,则t=A.2B.4C.2D.2解析选C 因为a0,b0时,有ab≤=,当且仅当a=b=时取等号.因为ab的最大值为2,所以=2,t2=8,所以t==
2.7.曲线+=1与曲线+=1k<9的A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析选D c2=25-k-9-k=16,所以c=4,所以两个曲线的焦距相等.8.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的面积为A.B.C.D.21解析选A 依题意得|AB|==,|F1F2|=2=6,因此△ABF2的面积等于|AB|×|F1F2|=××6=.9.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为A.2B.2C.D.1解析选A 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点为±40,故焦点到渐近线的距离d=
2.10.已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值是A.4B.C.-D.-4解析选C 依题意得m<0,双曲线方程是x2-=1,于是有=2×1,m=-.11.若点P到直线x=-1的距离比它到点20的距离小1,则点P的轨迹为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析选D 依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点20的距离,故点P的轨迹是抛物线.12.已知F1,F2为椭圆C+=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,·的最大值、最小值分别为A.97B.87C.98D.178解析选B 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1-10,F210,设Ex,y,则=-1-x,-y,=1-x,-y,·=x2-1+y2=x2-1+8-x2=x2+7-3≤x≤3,所以当x=0时,·有最小值7,当x=±3时,·有最大值8,故选B.二.填空(每空5分)13.已知双曲线的一个焦点F0,,它的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的标准方程为________________.解析设双曲线的标准方程为-=1,由题意得⇒⇒所以双曲线的标准方程为-x2=
1.答案-x2=114.已知x0,则的最大值为________.解析因为=,又x>0时,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以0≤,即的最大值为.答案15.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.解析由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为10,直线AB的方程为y=2x-1.由方程组消去y,整理得3x2-5x=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=
0.则|AB|====.答案16.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.解析∵an+1-an=2n,∴an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.∴Sn==2n+1-
2.答案2n+1-2三.解答题(共60分)17.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.1求数列{an}的通项公式;2求a1+a3+…+a2n+
1.解1∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,∴Sn=2n-1,又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-
2.当n=1时a1=1,不适合上式.∴an=2a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,∴a3+a5+…+a2n+1==.∴a1+a3+…+a2n+1=1+=.18(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.1求数列{an}的通项公式;2设bn=2an+-1nan,求数列{bn}的前2n项和.解1当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.故数列{an}的通项公式为an=n.2由1知,an=n,故bn=2n+-1nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=21+22+…+22n+-1+2-3+4-…+2n.记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=-1+2+-3+4+…+[-2n-1+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-
2.19(12分)如图,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=
2.1证明DE⊥平面PCD;2求二面角APDC的余弦值.解1证明由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,得PC⊥DE.由CE=2,CD=DE=,得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE⊥平面PCD.2由1知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=
1.又已知EB=1,故FB=
2.由∠ACB=,得DF∥AC,==,故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C000,P003,A,E020,D110,=1,-1,0,=-1,-13,=.设平面PAD的法向量为n1=x1,y1,z1,由n1·=0,n1·=0,得故可取n1=211.由1可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=1,-10,从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos〈n1,n2〉==,故所求二面角APDC的余弦值为.20.12分已知椭圆E+=1a>b>0的离心率为,右焦点为F10.1求椭圆E的标准方程;2设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.解1依题意可得解得a=,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=
1.2设Mx1,y1,Nx2,y2,
①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;
②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx-1.联立得方程组消去y整理得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0,所以x1+x2=,x1·x2=.所以y1·y2=k2[x1x2-x1+x2+1]=.因为OM⊥ON,所以·=0,所以x1·x2+y1·y2==0,所以k=±,即直线l的方程为y=±x-1.21(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.点M3,m在双曲线上.1求双曲线的方程;2求证·=0;3求△F1MF2的面积.解1∵e=,则双曲线的实轴、虚轴相等.∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵双曲线过点4,-,∴16-10=λ,即λ=
6.∴双曲线方程为x2-y2=
6.2证明设=-2-3,-m,=2-3,-m.∴·=3+2×3-2+m2=-3+m2,∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=
0.3△F1MF2的底|F1F2|=
4.由2知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=×4×=
6.22(12分)已知平面上的动点Px,y及两个定点A-20,B20,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2且k1k2=-.1求动点P的轨迹C的方程;2设直线l y=kx+m与曲线C交于不同两点M,N,当OM⊥ON时,求O点到直线l的距离O为坐标原点.解1由已知,得·=-.整理得x2+4y2=4,即+y2=1x≠±2.所以动点P的轨迹C的方程为+y2=1x≠±2.2设Mx1,y1,Nx2,y2,联立方程消去y,得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=
0.由Δ=8km2-44k2+14m2-4>0,得4k2+1-m2>
0.x1+x2=-,x1·x2=.∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=
0.即x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=
0.∴1+k2·+km·+m2=
0.∴m2=k2+1,满足4k2+1-m2>
0.∴O点到l的距离为d=,即d2==.∴d=.即点O到直线l的距离为.。