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2019-2020学年高二数学上学期第二次12月月考试题文含解析考试范围圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例;考试时间120分钟一.选择题
1.已知存在性命题,则命题的否定是( )A.B.对C.D.对【答案】B【解析】存在性命题,则命题的否定是故选B
2.下列命题中
①线性回归方程至少经过点x1y1,x2y2,…,xnyn中的一个点;
②若变量和之间的相关系数为,则变量和之间的负相关很强;
③在回归分析中,相关指数为
0.80的模型比相关指数为
0.98的模型拟合的效果要好;
④在回归直线中,变量时,变量的值一定是-7其中假命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用回归直线方程的有关知识逐一判断即可.【详解】对于
①,回归直线直线y=x+是由最小二乘法计算出来的,它不一定经过其样本数据点,一定经过(),所以
①不正确;对于
②,由相关系数的作用,当|r|越接近1,表示变量y与x之间的线性相关关系越强;变量y和x之间的相关系数为r=﹣
0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系,所以
②正确;对于
③,用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好,所以
③不正确;对于
④,在回归直线中,变量x=2时,变量y的预报值是-7,但实际观测值可能不是-7,所以
④不正确;故选C.【点睛】本题考查变量间的相关关系,本题解题的关键是正确理解相关变量的意义,考查命题的真假性,要求对各个章节的知识点有比较扎实,比较全面的掌握.
3.双曲线的渐近线方程是A.B.C.D.【答案】B【解析】已知双曲线,根据双曲线的渐近线的方程的特点得到令即得到渐近线方程为y=±x故选B.
4.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)( )A.在(﹣∞,0)上为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取极大值【答案】C【解析】【分析】根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f′
(0)=0,f′
(2)=0,f′
(4)=0,然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可.【详解】根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f′
(0)=0,f′
(2)=0,f′
(4)=0当x<0时,f′(x)>0,f(x)递增;当0<x2时,f′(x)<0,f(x)递减;当2<x<4时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>4时,f′(x)<0,f(x)递减.可知C正确,A错误.由极值的定义可知,f(x)在x=0处函数f(x)取到极大值,x=2处函数f(x)的极小值点,可知B、D错误.故选C.【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,以及导函数图象与原函数的性质的关系,属于中档题.
5.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为)A.-2B.2C.-4D.4【答案】D【解析】因为椭圆的右焦点坐标为,又的焦点为所以,即
6.已知椭圆的两个焦点为且弦过点则的周长为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的a,b,c,由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a,计算即可得到所求值.【详解】由题意可得椭圆+=1的b=5,c=4,a==,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.故选D.【点睛】本题考查三角形的周长的求法,注意运用椭圆的定义和方程,定义法解题是关键,属于基础题.
7.若抛物线上有一条过焦点且长为6的动弦,则的中点到轴的距离为()A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得,则的中点到轴的距离为.本题选择A选项.点睛有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
8.已知函数fx=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a的值为()A.1B.2C.1或2D.3【答案】B【解析】【分析】求导函数,利用函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0,建立方程组,求得a,b的值,再验证,即可得到结论.【详解】∵函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2,∴f(x)=3x2+6ax+b,又∵函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0,∴,∴或,当时,f(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)2=0,方程有两个相等的实数根,不满足题意;当时,f(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)(x+3)=0,方程有两个不等的实数根,满足题意;∴a=2故选B.【点睛】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于基础题.
9.若函数fx在R上可导,且fx=x2+2f′2x+m,则 A.f0f5B.f0=f5C.f0f5D.f0≥f5【答案】C【解析】【分析】由于f(x)=x2+2f′
(2)x+m,(m∈R),只要求出2f′
(2)的值,可先求f′(x),再令x=2即可.利用二次函数的单调性即可解决问题.【详解】∵f(x)=x2+2f′
(2)x+m,∴f′(x)=2x+2f′
(2),∴f′
(2)=2×2+2f′
(2),∴f′
(2)=﹣4.∴f(x)=x2﹣8x+m,其对称轴方程为x=4,∴f
(0)=m,f
(5)=25﹣40+m=﹣15+m,∴f
(0)>f
(5).故选C.【点睛】本题考查二次函数的单调性,求出2f′
(2)的值是关键,属于中档题.
10.已知是R上的单调增函数,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】函数在上单增,只需恒成立,,则,,则选D.
11.已知f(x)为f(x)的导函数,若f(x)=ln,且bdx=2f(a)+﹣1,则a+b的最小值为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先由已知的等式得到a,b的关系式,将所求转化为利用基本不等式求最小值.【详解】由bdx=2f(a)+﹣1,得到b(﹣x﹣2)|=+﹣1,即=1,且a,b>0,所以a+b=(a+b)()=;当且仅当时等号成立;故选C.【点睛】本题考查了定积分、导数的计算及利用基本不等式求代数式的最小值,属于中档题.
12.设函数是奇函数的导函数当时则使得成立的的取值范围是 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数g(x)=,利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性,再画出函数g(x)的大致图象,结合图形求出不等式f(x)>0的解集.【详解】设g(x)=,则g(x)的导数为g′(x)=,∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,即当x>0时,g′(x)恒小于0,∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,又∵g(﹣x)====g(x),∴函数g(x)为定义域上的偶函数,又∵g(﹣1)==0,∴函数g(x)的大致图象如图所示数形结合可得,不等式f(x)>0等价于x•g(x)>0,即或,解得0<x<1或x<﹣1.∴f(x)>0成立的x的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(0,1).故选A.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题,是综合题.二.填空题
13.调查了某地若干户家庭的年收入x单位:万元和年饮食支出y单元:万元调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系并由调查数据得到y对x的回归直线方程:=
0.254x+
0.
321.由回归直线方程可知家庭年收入每年增加1万元年饮食支出平均增加______万元.【答案】【解析】当变为时,=
0.245x+1+
0.321=
0.245x+
0.321+
0.245,而
0.245x+
0.321+
0.245-(
0.245x+
0.321)=
0.
245.因此家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加
0.245万元,本题填写
0.
245.视频
14.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.【答案】【解析】解析依题意得y′=ex,因此曲线y=ex在点A(2,e2)处的切线的斜率等于e2,相应的切线方程是y-e2=e2(x-2),当x=0时,y=-e2即y=0时,x=1,∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
15.设抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12,则点P与焦点F的距离|PF|=.【答案】16【解析】试题分析由抛物线方程可知,所以P到准线的距离为16,由定义可知点P与焦点F的距离|PF|=16考点抛物线方程及性质
16.设双曲线的半焦距为直线经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线的距离为双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线l的方程,利用原点到直线l的距离为,及又c2=a2+b2,求出离心率.【详解】∵直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0,∵原点到直线l的距离为,∴=.又c2=a2+b2,∴a2+b2﹣ab=0,即(a﹣b)(a﹣b)=0;∴a=b或a=b;又因为b>a>0,∴a=b,c=2a;故离心率为e==2;故答案为2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程,得到ac的关系式是解得的关键,对于双曲线的离心率或离心率的取值范围,常见有两种方法
①求出ac,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于abc的齐次式,转化为ac的齐次式,然后转化为关于e的方程不等式,解方程不等式,即可得ee的取值范围.三.解答题
17.某市调研考试后某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析规定:大于或等于120分为优秀120分以下为非优秀.统计成绩后得到如下的列联表且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.
(1)请完成上面的列联表;优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110
(2)根据列联表的数据若按
99.9%的可靠性要求能否认为“成绩与班级有关系”;参考公式与临界值表.
0.
1000.
0500.
0250.
0100.
0012.
7063.
8415.
0246.
63510.828【答案】
(1)见解析;
(2)不能认为“成绩与班级有关系”.【解析】【分析】
(1)由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为,可得两个班优秀的人数,乙班优秀的人数=30﹣10=20,甲班非优秀的人数=110﹣(10+20+30)=50.即可完成表格.
(2)假设成绩与班级无关,根据列联表中的数据可得K2,和临界值表比对后即可得到答案.【详解】
(1)优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110
(2)根据列联表中的数据,计算得到.因此按
99.9%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了列联表、独立性检验,独立性检验的应用的步骤为根据已知条件将数据归结到一个表格内,列出列联表,再根据列联表中的数据,代入公式K2,计算出k值,然后代入离散系数表,比较即可得到答案.
18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图;12345236910
(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程,并在坐标系中画出回归直线;
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为220吨标准煤,试根据
(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?注【答案】
(1)详见解析;
(2);
(3)
0.6吨.【解析】【分析】
(1)描点作图即可;
(2)由题意求出,,,,代入公式求值,从而得到回归直线方程;
(3)代入x=100.求解改造后消耗,即可知道比技术改造前降低多少吨标准煤【详解】
(1)散点图如图
(2),,,,;,所求的回归方程为;(9分)注意回归直线方程必过(3,6)点且纵截距为负;
(3),,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了(吨).【点睛】独立性检验的一般步骤(I)根据样本数据制成列联表;(II)根据公式计算的值;(III)查表比较与临界值的大小关系,作统计判断.(注意在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论也可能犯错误.)
19.已知函数在与时都取得极值.⑴求的值与函数的单调区间;⑵若求的最大值.【答案】
(1)的递增区间是与,递减区间是;
(2).【解析】【分析】
(1)求出f′(x),因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值,所以得到f′(﹣)=0且f′
(1)=0联立解得a与b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间;
(2)根据
(1)函数的单调性,由求出函数的最大值为f
(2).【详解】
(1),,由,得,,所以函数的递增区间是与递减区间是
(2),,当时,为极大值,而,则原来最大值【点睛】函数的最值1在闭区间上连续的函数fx在上必有最大值与最小值.2若函数fx在上单调递增,则fa为函数的最小值,fb为函数的最大值;若函数fx在上单调递减,则fa为函数的最大值,fb为函数的最小值.
20.设、为曲线上两点,与的横坐标之和为.
(1)求直线的斜率;
(2)为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.【答案】
(1)1;
(2)【解析】试题分析
(1)由直线斜率公式可得AB的斜率,再根据A与B的横坐标之和为4,得AB的斜率.
(2)先根据导数几何意义得M点坐标,再根据直角三角形性质得,(AB的中点为N),设直线AB的方程为,与抛物线方程联立,利用两点间距离公式以及弦长公式可得关系式,解得.即得直线AB的方程为.试题解析解
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,,x1+x2=4,于是直线AB的斜率.
(2)由,得.设M(x3,y3),由题设知,解得,于是M(2,1).设直线AB的方程为,故线段AB的中点为N(22+m),|MN|=|m+1|.将代入得.当,即时,.从而.由题设知,即,解得.所以直线AB的方程为.
21.已知函数.
(1)证明函数在区间上是减函数;
(2)当时,证明函数只有一个零点.【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析.【解析】【分析】
(1)求出函数的导数,结合a,x的范围得到函数的单调性,从而证明结论;
(2)代入a的值,求出函数的导数,得到函数的单调区间,求出函数的最大值,从而证明结论即可.【详解】分析
(1)只需证明的导函数恒成立,且不恒等于
0.注意定义域和参数a的范围
(2)当时,,其定义域是,通过求导分析函数的单调性及极值可知函数的图像与x轴相切于(1,0)点,其余点均在x轴下方,所以只有一个零点解
(1)显然函数的定义域为...所以函数在上是减函数.
(2)当时,,其定义域是,.令,即,解得或.舍去.当时,;当时,.∴函数在上单调递增,在区间上单调递减.∴当,函数取得最大值,其值为,当时,,即,∴函数只有一个零点.【点睛】当在某个区间D上恒成立时,在区间D上单调递增,当在某个区间D上恒成立时,在区间D上单调递减求函数零点问题,一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征,再根据零点存在性定理分析函数零点个数
22.已知椭圆的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线相切(为常数).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,若椭圆的左、右焦点分别为,过作直线与椭圆分别交于两点,求的取值范围.【答案】
(1)
(2)【解析】试题分析
(1)由椭圆离心率为,以原点为圆心,椭圆的焦距为直径与直线相切,列出方程组求出的值,由此能求出椭圆的方程;
(2)当直线的斜率不存在时,推导出,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立方程组,利用韦达定理、向量的知识,结合题意,即可求解的取值范围.试题解析
(1)由题意故椭圆.
(2)
①若直线斜率不存在,则可得轴,方程为,,故.
②若直线斜率存在,设直线的方程为,由消去得,设,则.,则代入韦达定理可得由可得,结合当不存在时的情况,得.点睛本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的综合问题,其中解答中涉及椭圆的标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系的应用,同时考查了向量的数量积的运算,解答时要认真审题,注意韦达定理、向量知识和椭圆性质的合理应用,审题有一定的难度,属于中档试题.。