2019年高考数学一轮总复习专题32等差、等比数列的概念及基本运算检测理

专题32递推数列本专题特别注意

1.等差数列通项公式的推广

2.等差数列通项公式的推广

3.等差中项的应用

4.等比中项的应用

5.前n项和的应用

6.等差等比数列性质的应用【学习目标】1．掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等差数列与等比数列的判断方法．3．掌握等差数列与等比数列求和的方法．【方法总结】

1.等差、等比数列的五个基本量a1，an，n，dq，Sn.一般地“知三求二”，通过构建方程组求出特征量a1，dq，则其余问题可解.

2.等差、等比计算型问题注意函数思想、方程思想的渗透；消元法和整体代入法的灵活运用.

3.等差数列{an}的单调性由公差d确定.若d0，则等差数列{an}递增；若d0，则等差数列{an}递减.

4.等比数列{an}的单调性由首项a1和公比q综合确定.若q0，则等比数列{an}为摆动数列；若a10，q1或a10，0q1，则等比数列{an}递增；若a10，q1或a10，0q1，则等比数列{an}递减.【高考模拟】

一、单选题1．已知数列为等差数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为一元问题虽有一定量的运算但思路简洁目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.2．数列是等差数列，，，则A．16B．-16C．32D．【答案】D【解析】【分析】由，可求得，利用等差数列的通项公式可得结果.【详解】因为，所以，又因为，所以，可得，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an＋1，则a2018等于　　A．2019B．2018C．2017D．2016【答案】B【解析】【分析】由递推公式可判断数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列，从而可得答案.【点睛】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，可构造等差数列.4．已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】分析利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，求出，从而求出的值详解由有，，由等差数列的性质有，所以，又，所以，选A.点睛本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题在等差数列中，若，且，则5．已知数列满足，，，那么使成立的的最大值为（）A．4B．5C．24D．25【答案】C【解析】分析由题意知an2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案．详解由题意an+12﹣an2=1，∴an2为首项为1，公差为1的等差数列，∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=，由an＜5得＜5，∴n＜25．那么使an＜5成立的n的最大值为24．故选C．点睛本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用．6．在等差数列中，已知则公差=A．B．C．4D．【答案】A【解析】分析由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案.点睛本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.7．已知等差数列的首项和公差均不为零，且，，成等比数列，则A．B．C．D．【答案】D【解析】分析由，，成等比数列，得，从而即可求得答案.详解，，成等比数列，，即，解得..故选D.点睛数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．8．已知等差数列的通项公式为，且满足，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析由等差数列先求出通项，然后求出点睛本题考查了等差数列的通项及和的运算，较为基础，运用公式即可求出结果9．已知是公差为的等差数列，为数列的前项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析由是公差为的等差数列，，可得，解得，利用等差数列求和公式求解即可.详解是公差为的等差数列，，，解得，则，故选D.点睛本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.10．已知数列满足，，，那么使成立的的最大值为（）A．4B．5C．24D．25【答案】C【解析】分析由题意知an2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案．详解由题意an+12﹣an2=1，∴an2为首项为1，公差为1的等差数列，∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=，由an＜5得＜5，∴n＜25．那么使an＜5成立的n的最大值为24．故选C．点睛本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用．11．《张丘建算经》中女子织布问题为某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知这是首项为，公差为的等差数列，所以，解得.12．已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A．B．最小C．D．【答案】B13．在等差数列中，，，则数列的公差（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】分析直接把两个式子相减，即得数列的公差.详解把两个式子对应相减得故答案为A.点睛

（1）本题主要考查等差数列的性质和计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.2本题如果解方程组也可以得解，但是计算量稍大，直接把两个式子相减，很快就可以得到d的大小，所以要注意观察已知条件的特点再解答.14．已知为等差数列则（）A．42B．40C．38D．36【答案】B【解析】分析由已知结合等差数列的性质可求，然后由即可求解.点睛1等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．15．在数列中，，若数列满足，则数列的前10项的和等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析由题设可以得到是等差数列，从而得到即，利用裂项相消法可求前项和.详解是等差数列，其首项是1，公差为2，所以，所以，，故，故选B.点睛数列通项的求法，取决递推关系的形式，如果满足，则用累加，特别地如果是常数，则就是等差数列；若，则用累乘，特别地如果是常数，则就是等比数列.其他类型的递推关系则可通过变形构建新数列且新数列的递推关系大多数满足前面两种情形.16．已知正项等差数列满足，等比数列满足，则（）A．-1或2B．0或2C．2D．1【答案】C【解析】分析根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．点睛本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．17．已知数列是等比数列，，且，，成等差数列，则（）A．7B．12C．14D．64【答案】C【解析】分析先根据条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果.详解因为，，成等差数列，所以所以，选C.点睛本题考查等比数列与等差数列基本量，考查基本求解能力.18．已知数列的前项和为，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析根据等差数列的判断方法，确定数列为等差数列，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求得的值.点睛本题考查等差数列的判断方法，等差数列的求和公式及性质，考查了推理能力和计算能力.等差数列的常用判断方法1定义法对于数列，若常数，则数列是等差数列；2等差中项对于数列，若，则数列是等差数列;3通项公式为常数⇔是等差数列;4前项和公式为常数⇔是等差数列;5是等差数列⇔是等差数列.19．已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析由，可得解方程组即可的结果.详解由等差数列中的前项和，，，得，解得，故选B.点睛本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.20．在等差数列中，，则公差等于（）A．0B．1C．2D．3【答案】C点睛已知式等差数列中的两项，则等差数列的公差，本题考查学生的变形应用能力和运算能力．21．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A．192里B．96里C．48里D．24里【答案】B【解析】由题意有此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则，解出，所以，选C.22．若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）．A．B．C．D．【答案】C【解析】分析求出，在A中，不一定是常数，在B中，可能有零项，在D中，当时，数列存在负项，此时无意义，只有C项满足等比数列的定义，并且公比是原数列公比的倒数，从而求得结果.详解因为数列是等比数列，所以，对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.点睛该题考查的是有关等比数列的判断问题，在解题的过程中需要对等比数列的定义牢牢掌握，再者就是对等比数列的性质要熟记，对等比数列中的项经过什么样的变换还成等比数列.23．已知是等比数列，，，则的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】分析根据等比数列的通项公式和已知条件，建立方程组求出首项和公比，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，再由公式求出数列的前n项和，即可求得的取值范围.点睛两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．24．在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为　　A．2B．C．2或D．－2或【答案】C【解析】分析设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，可得，联立解出即可得出.详解设等比数列{an}的公比为q，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，，，化为，解得或.故选C.点睛等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组可迎刃而解．25．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．8B．C．3D．【答案】D【解析】分析利用等差数列的通项同时，等比数列的性质列出方程，求出公差，由此能求出数列的前项和.点睛本题主要考查了等差数列的前和的求解，其中解答中涉及到等差数列的基本量的运算和等比数列的性质，解题是要认真审题，注意等差数列、等比数列性质的综合运用，着重考查了推理与运算能力.26．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则（）A．4B．2C．D．【答案】D【解析】试题分析因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．详解由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b﹣d，c=b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b=2，d=6，∴a=b﹣d=﹣4，故选D．点睛此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法x﹣d，x，x+d．27．已知等比数列的公比为，前项和是，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析先求出“”的等价条件，再根据题意作出判断．点睛等比数列的单调性除了和公比有关外，还与数列的首项有关．当或时，数列为递增数列；当或时，数列为递减数列．28．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析通过对变形可知进而可知数列是首项、公比均为3的等比数列计算即得结论.详解变形可知数列{}是首项，公比均为3的等比数列，即故选B点睛本题考查数列的通项对表达式的灵活变形是解决本题的关键注意解题方法的积累属于中档题.29．数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则　　A．1B．2C．D．3【答案】A【解析】分析利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解点睛本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题30．等比数列中，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】分析用等比数列的基本量可将“”转化为，求公比的取值范围，进而可得不一定成立；同理将转化为基本量，可证由能推出详解如果“”，那么或因为，当时，，因为，所以，所以“”不是“”的充分条件由可得，因为，所以，解得所以，所以故“”是“”的必要条件故选B点睛解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题本题考查学生的转化能力31．已知直线与正切函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，，且有，假设函数的两个不同的零点分别为，，若在区间内存在两个不同的实数，，与，调整顺序后，构成等差数列，则的值为（）A．B．C．或或不存在D．或【答案】C，不能相邻，否则，将超出范围.

②若与之间间隔一个数，设这个数为，则，经分析，数列为时，不成立，不妨设数列为，此时，当时，，不存在，当时，，也不存在.

③若与之间间隔两个数，即组成一个等差数列，，，，此时，构成等差数列，当时，，当时，，故选C.32．设等比数列满足，则公比）A．2B．C．D．【答案】B【解析】分析根据题中的条件，找出等比数列的首项和公比所满足的等量关系式，两式相除，消元求得公比的值.点睛该题考查的是有关等比数列的问题，利用通项公式，将题的条件转化为关于的等量关系式，消元求得公比.33．如果函数fx对任意a，b满足fa＋b＝fa·fb，且f1＝2，则＋＋＋…＋＝A．4018B．1006C．2010D．2014【答案】D【解析】∵函数f（x）满足对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f

（1）=2，∴=2+2+…+2=2×1007=2014．故选D．34．设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则的值为（）A．B．C．-2D．【答案】B35．数列满足，，则等于（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题数列满足，即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则故选B.36．数列满足，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得数列为等比数列，且公比为2，又，则，即.故选B.37．数列中，已知，，且，（且），则此数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列【答案】D【解析】由，得，又由，得，解得，，（），且，且，时，上式不成立，故数列从第项起是以为公比的等比数列，故选D.38．已知数列满足，若，则等于A．1B．2C．64D．128【答案】C【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选C.39．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－2a为常数且a≠0，则数列{an}　　A．是等比数列B．当a≠1时是等比数列C．从第二项起成等比数列D．从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D40．关于数列39，…，2187，…，以下结论正确的是　　A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列【答案】B【解析】因为，所以该数列有可能是以首项和公比均为的等比数列；又，所以该数列有可能是以首项为，公差为的等差数列，故选B.

二、填空题41．已知数列满足，则的值是__________．【答案】【解析】分析设可得，数列是公比为的等比数列，从而可求得，利用分组求和，结合等比数列求和公式求解即可.点睛本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有

（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；

（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；

（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；

（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.42．已知三角形的三边构成等比数列它们的公比为则的取值范围是___【答案】【解析】试题分析依题意，设三角形的三边分别为a，aq，aq2，利用任意两边之和大于第三边即可求得q的取值范围．点睛本题考查等比数列的性质，考查解不等式组的能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.43．与的等比中项为______________.【答案】【解析】根据等比中项定义，，所以，故填．44．在中，三内角所对的边分别是，若依次成等比数列，则的取值范围是____．【答案】【解析】分析根据条件及正弦定理，将问题转化为等比数列公比的范围的问题，结合三角形三边关系构造不等式可得结果．详解根据题意，设等比数列的公比为，则．由题意得．点睛本题难度较大，涉及的知识较多，解题时注意转化思想方法的灵活运用，首先从三角变换入手将所给式子化简，然后根据正弦定理得到三角形的边的比值，即为等比数列的公比．最后根据三角形三边的关系构造出关于公比的不等式，通过解不等式可得所求范围．45．数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.【答案】【解析】令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，，实数的最小值为，故答案为.46．数列的前项和，已知，且对任意正整数，都有，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】点睛不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.47．若数列是等比数列，且，，，则__________．【答案】【解析】48．已知数列的前项和，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，所以当时，，故对一切自然数，，应填答案49．设为等比数列的前n项和，则的值为__________．【答案】【解析】由题设，则，故，应选答案50．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_____只蜜蜂.【答案】243或者【解析】由题意可知蜜蜂数为等比数列第1天飞回3只第2天飞回9只…所以第5天飞回=243只.填

243.51．设正数数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则__________【答案】【解析】【分析】由和都是等差数列，且公差相等，把和都用和表示，联立求解和，即可求得结果.【详解】【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，意在考查学生的计算能力、转化与划归思想的运用，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.52．有一个数阵排列如下

12345678......

2468101214......

48121620......

8162432......

16324864......

326496......

64.......则第10行从左至右第10个数字为____________.【答案】5120【解析】【分析】由数表可发现规律第行第一个数为，第行组成以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得结果.【详解】【点睛】本题通过观察数表的规律，考查等差数列与等比数列的应用以及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:

一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.

二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类1数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；2形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.53．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为________．【答案】【解析】分析利用等差数列、等比数列的性质可得方程=0由此即可得出结论.点睛本题主要考查等差数列，等比数列的性质，考查了函数与方程的思想，属于中档题54．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的倍，则最少的那份面包数是__________．【答案】【解析】分析根据等差数列的前五项和为，且后三项和是前两项和的倍，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得详解设份面包数按照从小到大的顺序排列分别为，它们组成以为公差的等差数列，则可得解得，即最少的那份面包数是，故答案为.点睛本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.55．在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．【答案】9【解析】由题意得，所以，又因为是与的等比中项，所以，即，即，解得，解得．点睛在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路一是利用基本量虽有一定量的运算但思路简洁目标明确；二是利用等差、等比数列的性质性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应注意在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.56．已知不等式的整数解构成等差数列的前三项，则数列的第四项为_______．【答案】3或－1【解析】分析由及，可得，结合数列为递增数列可得该等差数列为0，1，2，则数列的第四项可求．点睛本题主要考查了等差数列的项的求解，解题的关键是准确解出不等式的解集，确定出数列的前3项的值，是基础题．57．已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为__________．【答案】-14【解析】分析由，即利用等差数列的通项公式可得当且仅当时，．即可得出结论．详解由，即．∴数列为等差数列，首项为-5，公差为1．可得，当且仅当时，．已知，则最小值为即答案为-

14.点睛本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．58．公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列，则数列的前7项和为__________．【答案】【解析】分析设的首项为，公差为，则，得，利用裂项相消法可得结果.点睛裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧1；

（2）；

（3）；

（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.59．设等差数列满足，则_______；数列的前项和______________．【答案】13【解析】分析⑴设公差，由题意可求出数列的通项公式，即可求得的值⑵运用求和公式即可点睛本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，运用公式即可求出结果，本题较为简单60．已知数列满足，则__________．【答案】【解析】分析由题，则由此可求出，即可得到详解由题，则则数列是以为首项，2为公差的等差数列，则即答案为.点睛!本题考查数列通项公式的求法，属基础题.。