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课时作业15 椭圆、双曲线、抛物线1.[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点23,渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是 A.-=1 B.-=1C.x2-=1D.-=1解析解法一 当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程是-=1a>0,b>0,由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2-=1;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程是-=1a>0,b>0,由题意得无解.故该双曲线的标准方程为x2-=1,选C.解法二 当其中的一条渐近线方程y=x中的x=2时,y=2>3,又点23在第一象限,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程是-=1a>0,b>0,由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2-=1,故选C.解法三 因为双曲线的渐近线方程为y=±x,即=±x,所以可设双曲线的方程是x2-=λλ≠0,将点23代入,得λ=1,所以该双曲线的标准方程为x2-=1,故选C.答案C2.[2018·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 A.1-B.2-C.D.-1解析在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,不妨设椭圆焦点在x轴上,且焦距|F1F2|=2,则|PF2|=1,|PF1|=,由椭圆的定义可知,方程+=1中,2a=1+,2c=2,得a=,c=1,所以离心率e===-
1.故选D.答案D3.[2018·山东省潍坊市第一次模拟]已知双曲线-=1a>0,b>0的焦点到渐近线的距离为,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为 A.1B.C.2D.2解析由题意知双曲线的焦点c0到渐近线bx-ay=0的距离为=b=,即c2-a2=3,又e==2,所以a=1,该双曲线的实轴的长为2a=
2.答案C4.[2018·武汉市高中毕业生调研]曲线C1+=1与曲线C2+=10<k<9的 A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析因为0<k<9,所以25-k>9-k>0,所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a2,短半轴长为b2,半焦距为c2,则c=a-b=25-k-9-k=
16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c1,则c=a-b=25-9=16,所以曲线C1和曲线C2的焦距相等,故选D.答案D5.[2018·全国卷Ⅲ]设F1,F2是双曲线C-=1a>0,b>0的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为 A.B.2C.D.解析如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P′,连接P′F2,由题意可知,四边形PF1P′F2为平行四边形,且△PP′F2是直角三角形.因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a,所以|F2P|=a=b,所以c==a,所以e==.故选C.答案C6.[2018·福州四校高三年级联考]过双曲线-=1a>0,b>0的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线,若这4条直线所围成的四边形的周长为8b,则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x解析由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为8b,所以菱形的边长为2b,由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为=,又4条直线分别与两条渐近线平行,所以=,解得a=b,所以该双曲线的渐近线的斜率为±1,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.答案A7.[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C-=1a>0,b>0的离心率为,则点40到C的渐近线的距离为 A.B.2C.D.2解析由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b
2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点40到渐近线的距离为=2,故选D.答案D8.[2018·昆明市高三复习教学质量检测]已知F1,F2是椭圆E+=1a>b>0的两个焦点,过原点的直线l交椭圆E于A,B两点,·=0,且=,则椭圆E的离心率为 A. B. C. D.解析解法一 根据对称性,线段F1F2与线段AB在点O处互相平分,又·=0,所以AF2⊥BF2,连接AF1,BF1,所以四边形AF1BF2是矩形,|AF1|=|BF2|.根据椭圆的定义,|AF1|+|AF2|=2a,又=,所以|AF1|=a,|AF2|=a,在Rt△AF1F2中,|F1F2|=2c,由勾股定理得2c2=2+2,得2=,所以椭圆E的离心率e==.故选D.解法二 根据对称性,线段F1F2与线段AB在点O处互相平分,又·=0,所以AF2⊥BF2,连接AF1,BF1,所以四边形AF1BF2是矩形,|AF1|=|BF2|.又=,不妨设|AF2|=3,|BF2|=
4.根据椭圆的定义,2a=|AF1|+|AF2|=4+3=72c=|F1F2|==5,所以椭圆E的离心率e==,故选D.答案D9.[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= A. B.3 C.2 D.4解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=±x.设两渐近线夹角为2α,则有tanα==,所以α=30°.所以∠MON=2α=60°.又△OMN为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON,如图所示.在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=.则在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan2α=·tan60°=
3.故选B.答案B10.[2018·南昌市NCS0607项目第二次模拟]已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,P是抛物线上一点,若|PF|=5,则△PKF的面积为 A.4B.5C.8D.10解析通解 由抛物线y2=4x,知=1,则焦点F10.设点P,则由|PF|=5,得=5,解得y0=±4,所以S△PKF=×p×|y0|=×2×4=4,故选A.优解 由题意知抛物线的准线方程为x=-
1.过点P作PA⊥l于点A,由抛物线的定义知|PF|=xp+=xp+1=5,所以xp=4,代入抛物线y2=4x,得yp=±4,所以S△PKF=×p×|yp|=×2×4=4,故选A.答案A11.已知F1,F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是 A.B.C.D.解析如图所示,∵线段PF1的中垂线经过F2,∴PF2=F1F2=2c,即椭圆上存在一点P,使得PF2=2c.∴a-c≤2c≤a+c.又∵0<e<1∴e=∈.答案C12.[2018·南昌市NCS0607项目第二次模拟]已知双曲线-=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l12x-5y-24=0交双曲线的右支于A,B两点,若∠AF1B的角平分线所在直线的方程为x-4y+2=0,则△AF1B内切圆的标准方程为 A.2+2=2B.x-12+2=2C.x-12+2=2D.2+2=2解析设内切圆圆心为G,内切圆与直线AF1,BF1的切点分别为P,Q.如图,由相切条件知|AB|=|AP|+|BQ|.由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,两式相加得|AF1|+|BF1|-|BF2|-|AF2|=|AF1|+|BF1|-|AB|=2|PF1|=4a,所以|PF1|=2a,于是结合|AF1|-|AF2|=2a,得|AP|+|PF1|-|AF2|=2a,即|AP|=|AF2|,所以F2为内切圆与直线AB的切点.由直线AB的方程为12x-5y-24=0,知F220,直线GF2的斜率为-,所以直线GF2的方程为y=-x-2,与x-4y+2=0联立,得圆心G,所以半径r==,所以内切圆的标准方程为2+2=2,故选A.答案A13.[2018·北京卷]若双曲线-=1a>0的离心率为,则a=________.解析由e==知=2=,∴a2=
16.∵a>0,∴a=
4.答案414.[2018·广州市高三年级调研考试]过抛物线C y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点.若|AF|=6,|BF|=3,则p的值为________.解析设抛物线C的准线交x轴于点F′,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A′,B′,设直线AB交准线于点C,则|AA′|=|AF|=6,|BB′|=|BF|=3,|AB|=9,|FF′|=p,=,即=,解得|BC|=9,又=,即=,解得p=
4.答案415.[2018·安徽省知名示范高中联合质量检测试题]过直线x=-1上一点M向抛物线y2=4x引两条切线MA,MB,则kMAkMB=________.解析设M-1,m,过点M的抛物线y2=4x的切线的斜率为k,易知k≠0,则切线方程为y-m=kx+1,所以x=-1,代入抛物线的方程,整理得y2-++4=0,Δ=2-4=0,即--1=0,k2+mk-1=0,所以kMAkMB=-
1.答案-116.[2018·浙江卷]已知点P01,椭圆+y2=mm1上两点A,B满足=2,则当m=________时,点B横坐标的绝对值最大.解析如图,设AxA,yA,BxB,yB,由于椭圆具有对称性,不妨设点B在第一象限,则xB0,yB
0.∵P01,=2,∴-xA1-yA=2xB,yB-1.∴-xA=2xB,即xA=-2xB.设直线AB y=kx+1k0.将y=kx+1代入+y2=m,得1+4k2x2+8kx+4-4m=
0.*∴xA+xB=-xB=-,∴xB==≤=2,当=4k,即k=时,xB取到最大值2,此时方程*化为x2+2x+2-2m=0,xA·xB=-2xB,即2-2m=-8,解得m=
5.当点B在其他象限时,同理可解.设直线AB y=kx+1k≠0,AxA,yA,BxB,yB.由P01,=2,得xA=-2xB.由得1+4k2x2+8kx+4-4m=0,∴xA+xB=-xB=,xAxB=-2xB=.消去xB,得m=1+.|xB|=≤≤2,当|k|=时,|xB|max=2,此时m=
5.答案5。