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2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题理I试卷说明本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷,Ⅰ卷为试题(选择题和客观题),学生自已保存,Ⅱ卷一般为答题卷,考试结束只交Ⅱ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求)1.已知集合A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|3x>1},则A∩B=( )A.(1,2)B.(1,3)C.(0,2)D.(0,3)
2、坐标系中,若角α的终边经过点,则sin(π+α)=( )A.B.C.D.
3.已知函数为奇函数,则f(g(﹣3))=( )A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.
04、直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是( )A.2x﹣y=0B.2x﹣y﹣2=0C.x+2y﹣3=0D.x﹣2y+3=
05、边长为1的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视图,则几何体的体积是( )A.9B.C.18D.
276、已知a=log52,b=log73,c=log3,则a,b,c的大小关系( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a7,在区间1,5]随机地取一个数m,则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是( )A.B.C.D.8.已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+a6+a8=( )A.3B.4C.5D.
69、已知函数,是奇函数,则( )A.f(x)在上单调递减B.f(x)在上单调递减C.f(x)在上单调递增D.f(x)在上单调递增
10、一学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图,1号到20号同学的成绩依次为a1,a2,…,a20,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图,那么该框图的输出结果是( )A.8B.9C.11D.
1211、对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次,得到数据如下(174,175),(176,175),(176,176),(176,177),(178,177),建立的回归直线方程为y=kx+88,其对应的直线的倾斜角为β,则sin2β+2cos2β=( )A.B.1C.2D.312.函数f(x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为( )A.0B.1C.2D.
32、填空题13,实数满足,则的最小值为_____________
14、已知平面向量,满足||=3,||=2,与的夹角为120°,若(+m)⊥,则实数m的值为____________15,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a﹣b+c)=ac,则B= 16.已知函数fx=ax2+x-xlnx在[1,+∞上单调递增,则实数a的取值范围是________
三、解答题
17.已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,sinB=2sinC,求c.
18、某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,[40,50),[50,60),…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题
(1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(3)从成绩是40~50分及90~100分的学生中选两人,记他们的成绩为x,y,求满足“|x﹣y|>10”的概率.
19.等差数列{an}中,a2=4,其前n项和Sn满足.
(1)求实数λ的值,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列是首项为λ、公比为2λ的等比数列,求数列{bn}的前n项的和Tn.20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a.
(1)求证PD⊥平面ABCD;
(2)求证平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证∠PCD为二面角P﹣BC﹣D的平面角.21已知函数y=+lg(﹣x2+4x﹣3)的定义域为M,
(1)求M;
(2)当x∈M时,求函数f(x)=a•2x+2+3•4x(a<﹣3)的最小值.
22、已知椭圆C+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F2,右顶点为A,上顶点为B,△BF1F2是边长为2的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)是否存在过点F2的直线l,交椭圆于两点P、Q,使得PA∥QF1,如果存在,试求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.1.已知集合A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|3x>1},则A∩B=( )A.(1,2)B.(1,3)C.(0,2)D.(0,3)【解答】解集合A={x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3},B={x|3x>1}={x|x>0},∴A∩B={x|0<x<3}=(0,3).故选D.
2、坐标系中,若角α的终边经过点,则sin(π+α)=( )A.B.C.D.【解答】解∵角α终边经过点,即点P(,),∴x=,y=,r=|OP|=1,则sin(π+α)=﹣sinα==﹣y=﹣.故选A.
3.已知函数为奇函数,则f(g(﹣3))=( )A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0【解答】解函数为奇函数,f(g(﹣3))=f[﹣(log33﹣2)]=f
(1)=log31﹣2=0﹣2=﹣2.故选B.
4、直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是( )A.2x﹣y=0B.2x﹣y﹣2=0C.x+2y﹣3=0D.x﹣2y+3=0【解答】解设与直线l x+2y=0垂直的直线方程2x﹣y+b=0,圆C x2+y2﹣2x﹣4y=0化为(x﹣1)2+(y﹣2)2=5,圆心坐标(1,2).因为直线平分圆,圆心在直线2x﹣y+b=0上,所以2×1﹣1×2+b=0,解得b=0,故所求直线方程为2x﹣y=0.故选A.
5、边长为1的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A.9B.C.18D.27【解答】解根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD,三棱锥的外面是长、宽、高为
6、
3、3的长方体,∴几何体的体积V==9,故选A.
6、已知a=log52,b=log73,c=log3,则a,b,c的大小关系( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a【解答】解∵c=log3=log53>log73,b=log73>=,a=log52<=,则a,b,c的大小关系为a<b<c.故选A.7,在区间1,5]随机地取一个数m,则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是( )A.B.C.D.【解答】解若方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m2>4,解得m>2,故满足条件的概率是p==,故选D.8.已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+a6+a8=( )A.3B.4C.5D.6【解答】解等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx=(﹣cosx)|=﹣(﹣1﹣1)=2,可得a4+a8=2a6=a5+a7=2,则a4+a6+a8=3,故选A.
9、已知函数,是奇函数,则( )A.f(x)在上单调递减B.f(x)在上单调递减C.f(x)在上单调递增D.f(x)在上单调递增【解答】解函数f(x)=cos(x+φ),∴=cos(x+φ+),又f(x+)是奇函数,∴φ+=+kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z;又0<|φ|<,∴φ=,∴f(x)=cos(x+),当x∈(0,)时,x+∈(,),f(x)是单调减函数;x∈(,π)时,x+∈(,),f(x)先减后增.故选B.
10、一学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图,1号到20号同学的成绩依次为a1,a2,…,a20,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图,那么该框图的输出结果是( )A.8B.9C.11D.12【解答】解根据茎叶图知,这20名同学的成绩依次为a1,a2,…,a20,分析程序框图知,该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数,由此知输出的结果是8.故答案为8.故选A.
11、对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次,得到数据如下(174,175),(176,175),(176,176),(176,177),(178,177),建立的回归直线方程为y=kx+88,其对应的直线的倾斜角为β,则sin2β+2cos2β=( )A.B.1C.2D.3【解答】解由题意,=×(174+176+176+176+178)=176,=×(175+175+176+177+177)=176,∵回归直线方程为y=kx+88,∴176=176k+88,∴k=,∵直线的倾斜角为β,∴tanβ=,∴sin2β+2cos2β=+=+=+=2,故选C. 12.函数f(x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解答】解由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞);由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根.令y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.故选C.13,实数满足,则的最小值为_____________【答案】【解析】根据已知作出可行域如图所示,即,斜率为,在处截取得最小值为
14、已知平面向量,满足||=3,||=2,与的夹角为120°,若(+m)⊥,则实数m的值为____________【解答】解∵||=3,||=2,与的夹角为120°,∴=cos120°==﹣3.∵(+mb)⊥,∴(+m)•==32﹣3m=0,解得m=3.答案315,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a﹣b+c)=ac,则B= .【解答】解△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵(a+b+c)(a﹣b+c)=ac,即a2+c2﹣b2=﹣ac,又cosB==﹣,∴B=,故答案为.16.已知函数fx=ax2+x-xlnx在[1,+∞上单调递增,则实数a的取值范围是________解析由题意知f′x=2ax+1-lnx+1≥0,即a≥在x∈[1,+∞上恒成立;设gx=,令g′x==0,解得x=e,当x∈e,+∞时,g′x<0,gx为减函数,当x∈[1,e时,g′x>0,gx为增函数,故gx的最大值为ge=,即a≥答案a≥17.已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,sinB=2sinC,求c.【解答】解
(1)=,由,k∈Z,解得,k∈Z;∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z;
(2)∵,A∈(0,π),∴;∵sinB=2sinC,∴由正弦定理,得b=2c;又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,,得,解得c=1.18.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,[40,50),[50,60),…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题
(1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(3)从成绩是40~50分及90~100分的学生中选两人,记他们的成绩为x,y,求满足“|x﹣y|>10”的概率.【解答】解
(1)由频率分布的直方图可得,第四小组的频率为1﹣10(
0.01+
0.015+
0.015+
0.025+
0.05)=
0.3.故第四个小矩形的高为=
0.03.如图所示
(2)由于这次考试的及格的频率为10×(
0.015+
0.03+
0.025+
0.005)=
0.75,故及格率为
0.75.由频率分布直方图可得平均分为
0.1×45+
0.15×55+
0.15×65+
0.3×75+
0.25×85+
0.05×95=71.
(3)由频率分步直方图可得,成绩是40~50分的有40×
0.1=4人,90~100分的学生有40×
0.05=2人,记取出的2个人的成绩为x,y,“|x﹣y|>10”说明选出的2个人一个成绩在[40,50)内,另一个在[50,60)内,故满足“|x﹣y|>10”的选法有4×2=8种,而所有的取法有=15种,故满足“|x﹣y|>10”的概率等于.19.等差数列{an}中,a2=4,其前n项和Sn满足.
(1)求实数λ的值,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列是首项为λ、公比为2λ的等比数列,求数列{bn}的前n项的和Tn.【解答】解(I)因为a2=S2﹣S1=4+2λ﹣1﹣λ=4,解得λ=1∴当n≥2时,则=2n,当n=1时,也满足,所以an=2n.(II)由已知数列是首项为
1、公比为2的等比数列其通项公式为,且首项,故,=2n﹣1=,Tn=(1+21+…+2n﹣1)…﹣[(1﹣)+()+…+()]=2n﹣1﹣.20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a.
(1)求证PD⊥平面ABCD;
(2)求证平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证∠PCD为二面角P﹣BC﹣D的平面角.【解答】
(1)证明∵PA=PC=a,PD=a∴PD2+AD2=PA2,即PD⊥AD,又∵PD⊥CD.AD∩CD=D∴PD⊥平面ABCD;
(2)由
(1)可得PD⊥AC,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以AC⊥平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD;
(3)由
(1)可得PD⊥BC,又BC⊥CD,所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥CD,BC⊥PC,所以∠PCD为二面角P﹣BC﹣D的平面角.//21.已知函数y=+lg(﹣x2+4x﹣3)的定义域为M,
(1)求M;
(2)当x∈M时,求函数f(x)=a•2x+2+3•4x(a<﹣3)的最小值.22.已知椭圆C+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F2,右顶点为A,上顶点为B,△BF1F2是边长为2的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)是否存在过点F2的直线l,交椭圆于两点P、Q,使得PA∥QF1,如果存在,试求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.【解答】解(Ⅰ)椭圆C+=1(a>b>0)焦点在x轴上,由△BF1F2是边长为2的正三角形,a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,…(2分)∴椭圆C的标准方程为,…(3分)椭圆的离心率e==;…(4分)(Ⅱ)解法1由(Ⅰ)得,F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2).显然直线l的斜率不为零,设直线l的方程为x=my+1,则,…(5分)整理得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,△=36m2+36(3m2+4)=144m2+144>0,由韦达定理可知y1+y2=﹣,y1•y2=﹣,…(7分)则=(x1﹣2,y1)=(my1﹣1,y1)=(x2+1,y2)=(my2+2,y2),…(8分)若PA∥QF1,则(my1﹣1)y2=(my2+2)y1,即y2=﹣2y1,…(9分)解得,则y1•y2=﹣,…(10分)故=,解得5m2=4,即m=±,…(11分)故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1,即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0…(12分)解法2由(Ⅰ)得F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),直线l⊥x时,=1≠,则PA∥QF1不成立,不符合题意.…(5分)可设直线L的方程为y=k(x﹣1)..…(6分),消去y,可得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,…(7分)则△=144(k2+1)>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2).则x1+x2=﹣,
①x1•x2=,
②.…(8分)=(x1﹣2,y1),=(x2+1,y2).若PA∥QF1,则∥,则k(x1﹣2)(x2﹣1)﹣k(x2+1)(x1﹣1)=0.化简得2x1+x2﹣3=0
③.…(9分)联立
①③可得x1=,x2=,…(10分)代入
②可以解得k=±.…(11分)故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0.…(12分) 。