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2019-2020学年高二数学下学期第六次月考期中试题理
一、选择题(每小题5分,共60分)1.下面几种推理是合情推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③由fx=sinx,满足f-x=-fx,x∈R,推出fx=sinx是奇函数;
④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是n-2·180°.A.
①② B.
①③④C.
①②④D.
②④2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时,应假设 A.三角形的三个内角都不大于60°B.三角形的三个内角都大于60°C.三角形的三个内角至多有一个大于60°D.三角形的三个内角至少有两个大于60°3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥A.
①② B.
①③C.
①④D.
②④4.一物体在变力Fx=5-x2力单位N,位移单位m作用下,沿与Fx成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时Fx作的功为 A.JB.JC.JD.2J5.设a≠0,a∈R,则抛物线y=ax2的焦点坐标为 A.(,0)B.0C.(,0)D.06.已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长
10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=fx的图象大致为 7.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A.922B.
922.8C.932D.
932.88.函数fx=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是 A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,29.下面的程序运行后,输出的值是 A.8B.9C.10D.1110.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知双曲线a0,b0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.12]B.12C.[2,+∞D.2,+∞12.已知a0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= A.B.C.1D.2
二、填空题(每小题5分,共20分)13.若复数b∈R的实部与虚部互为相反数,则b=________.14.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加2km,在达到离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是________秒.15.以原点O为圆心且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是__________.16.有下列四个命题
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③若“b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④若p∨q为假命题,则p,q均为假命题.其中真命题的序号是__________.把所有正确命题的序号都填上
三、解答题17.10分在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别是a、b、c,且cosA=.
(1)求sin2+cos2A的值;
(2)若b=2,△ABC的面积S=3,求a.18.12分从一批苹果中,随机抽取50个,其重量单位克的频数分布表如下分组重量[8085[8590[9095[95100频数个5102015
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[9095的频率;
(2)用分层抽样的方法从重量在[8085和[95100的苹果中共抽取4个,其中重量在[8085的有几个?
(3)在2中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[8085和[95100中各有1个的概率.19.12分已知函数fx=x3-ax2+a2-1x+ba,b∈R,其图象在点1,f1处的切线方程为x+y-3=
0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数fx的单调区间,并求出fx在区间[-24]上的最大值.20.12分如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在C1C上,且C1E=3EC.
(1)证明A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1-DE-B的余弦值.21.12分在直角坐标系xOy中,点P到两点0,-、0,的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若⊥,求k的值.22.12分在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=.
(1)求a1,a2,a3;
(2)由1猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.拉萨中学高二年级(xx)第六次月考理科数学试卷命题(满分150分,考试时间120分钟,请将答案填写在答题卡上)选择题答案CBDCD;DBACB;CB
一、选择题(每小题5分,共60分)1.下面几种推理是合情推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③由fx=sinx,满足f-x=-fx,x∈R,推出fx=sinx是奇函数;
④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是n-2·180°.A.
①②B.
①③④C.
①②④D.
②④解析合情推理分为类比推理和归纳推理,
①是类比推理,
②④是归纳推理,
③是演绎推理.答案C2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时,应假设A.三角形的三个内角都不大于60°B.三角形的三个内角都大于60°C.三角形的三个内角至多有一个大于60°D.三角形的三个内角至少有两个大于60°解析其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定,即“都大于60°”.答案B3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥A.
①②B.
①③C.
①④D.
②④解析正方体的三视图都是正方形,所以
①不符合题意,排除A,B,C.答案D4.一物体在变力Fx=5-x2力单位N,位移单位m作用下,沿与Fx成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时Fx作的功为A.JB.JC.JD.2J解析由于Fx与位移方向成30°角.如图F在位移方向上的分力F′=F·cos30°,W=ʃ5-x2·cos30°dx=ʃ5-x2dx=|=×=J.答案C5.设a≠0,a∈R,则抛物线y=ax2的焦点坐标为A.(,0)B.0C.(,0)D.0答案D6.已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长
10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=fx的图象大致为解析设原有荒漠化土地面积为1,由题意,得y=1+
10.4%x.故其图象应如D项中图所示,选D.答案D7.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为A.922B.
922.8C.932D.
932.8解析去掉最高分95和最低分89后,剩余数据的平均数为==92,方差为s2=×[92-902+92-902+93-922+94-922+93-922]=×4+4+1+4+1=
2.
8.答案B8.函数fx=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2解析fx=sin2x+cos2x=sin2x+,周期T=π,振幅为1,故选A.答案A9.下面的程序运行后,输出的值是A.8B.9C.10D.11解析由题意知,此程序为循环语句,当i=10时,210=1024;当i=11时,211=2048>2000,输出结果为i=11-1=
10.答案C10.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当a≠0,b=0时,ab=0,则a+是实数,故不是充分条件;若复数a+为纯虚数,且a+=a-bi,则a=0且b≠0,所以ab=0,故是必要条件.答案B11.已知双曲线a0,b0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A.12]B.12C.[2,+∞D.2,+∞解析如图所示,要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,∴≥,离心率e2==≥4,∴e≥
2.答案C12.已知a0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=A.B.C.1D.2解析本题可先画出可行域,然后根据图形确定出最小值进行解答.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分.易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,由得∴zmin=2-2a=1,解得a=,故选B.答案B
二、填空题(每小题5分,共20分)13.若复数b∈R的实部与虚部互为相反数,则b=________.解析因为==-i,又复数b∈R的实部与虚部互为相反数,所以=,即b=-.答案-14.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加2km,在达到离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是________秒.解析设每一秒钟通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,则数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列,由求和公式得na1+=240,即2n+nn-1=240,解得n=
15.答案1515.以原点O为圆心且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是__________.解析原点O到直线的距离d==3,设圆的半径为r,∴r2=32+42=25,∴圆的方程是x2+y2=
25.答案x2+y2=2516.有下列四个命题
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③若“b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④若p∨q为假命题,则p,q均为假命题.其中真命题的序号是__________.把所有正确命题的序号都填上解析对
①,逆命题“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;对
②,否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题;对
③,Δ=4b2-4b2+b≥0,即b≤0,∴b≤-1时,方程有实根,即命题为真命题,逆否命题也为真命题;对
④,p∨q假时,p,q一定均假,∴
④正确.故
①③④正确.答案
①③④
三、解答题17.10分在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别是a、b、c,且cosA=.1求sin2+cos2A的值;2若b=2,△ABC的面积S=3,求a.解1sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A-1=.(5分)2∵cosA=,∴sinA=.由S△ABC=bcsinA,得3=×2c×,解得c=
5.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得a2=4+25-2×2×5×=13,∴a=.(10分)18.12分从一批苹果中,随机抽取50个,其重量单位克的频数分布表如下分组重量[8085[8590[9095[95100频数个51020151根据频数分布表计算苹果的重量在[9095的频率;2用分层抽样的方法从重量在[8085和[95100的苹果中共抽取4个,其中重量在[8085的有几个?3在2中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[8085和[95100中各有1个的概率.解1苹果重量在[9095的频率为==
0.4;4分2重量在[8085的苹果有×4=1个;8分3在2中抽出的4个苹果中,有1个重量在[8085中,3个在[95100中.设“在[8085和[95100中各有1个苹果”为事件A,则PA==.故重量在[8085和[95100中各有1个苹果的概率为.12分19.12分已知函数fx=x3-ax2+a2-1x+ba,b∈R,其图象在点1,f1处的切线方程为x+y-3=
0.1求a,b的值;2求函数fx的单调区间,并求出fx在区间[-24]上的最大值.解1f′x=x2-2ax+a2-1,∵1,f1在x+y-3=0上,∴f1=2,∴12在y=fx上,∴2=-a+a2-1+b.又f′1=-1,∴a2-2a+1=0,解得a=1,b=.6分2∵fx=x3-x2+,∴f′x=x2-2x,由f′x=0可知x=0和x=2是fx的极值点,所以有x-∞,000222,+∞f′x+0-0+fx↗极大值↘极小值↗所以fx的单调递增区间是-∞,0和2,+∞,单调递减区间是02.∵f0=,f2=,f-2=-4,f4=8,∴在区间[-24]上的最大值为
8.12分20.12分如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在C1C上,且C1E=3EC.1证明A1C⊥平面BED;2求二面角A1-DE-B的余弦值.解以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.依题设B220,C020,E021,A1204.=021,=220,=-22,-4,=204.1∵·=0,·=0,∴A1C⊥BD,A1C⊥DE.又DB∩DE=D,∴A1C⊥平面DBE.(6分)2设向量n=x,y,z是平面DA1E的法向量,则n⊥、n⊥.∴2y+z=02x+4z=
0.令y=1,则z=-2,x=4,∴n=41,-2.∴cos〈n,〉==.∵〈n,〉等于二面角A1-DE-B的平面角,∴二面角A1-DE-B的余弦值为.(12分)21.12分在直角坐标系xOy中,点P到两点0,-、0,的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.1写出C的方程;2若⊥,求k的值.解1设Px,y,由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以0,-、0,为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴b==1,故曲线C的方程为x2+=
1.(4分)2设Ax1,y1,Bx2,y2,联立方程消去y并整理得k2+4x2+2kx-3=
0.其中Δ=4k2+12k2+40恒成立.故x1+x2=-,x1x2=-.若⊥,即x1x2+y1y2=
0.而y1y2=k2x1x2+kx1+x2+1,于是x1x2+y1y2=---+1=0,化简得-4k2+1=0,所以k=±.(12分)22.12分在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=.1求a1,a2,a3;2由1猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解1S1=a1=,得a=1,∵an0,∴a1=
1.S2=a1+a2=,得a+2a2-1=0,∴a2=-1,S3=a1+a2+a3=.得a+2a3-1=0,∴a3=-.4分2猜想an=-n∈N*.证明如下
①n=1时,a1=-命题成立;
②假设n=k时,ak=-成立,则n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=-,即ak+1=-=-.∴a+2ak+1-1=
0.∴ak+1=-.即n=k+1时,命题成立.12分由
①②知,an=-对任意n∈N*都成立.(12分)。