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第一章 检测试题时间:120分钟 满分:150分
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分
1.若a⊂αb⊂βα∩β=ca∩b=M则 A AM∈cBM∉cCM⊂cDM⊄c解析:因为M=a∩b所以M∈a且M∈b.而a⊂αb⊂β所以M∈α且M∈β所以M∈α∩β因为α∩β=c所以M∈c.
2.下列三个命题其中正确的有 A
①用一个平面去截棱锥棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个底面平行且相似其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A0个B1个C2个D3个解析:
①错因截面不一定平行于底面;
②错因为各侧棱延长后不一定相交于一点;
③错因为即使各侧面为等腰梯形各侧棱延长后也不一定交于一点故选A.
3.给出以下几种说法:
①和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内;
②三条两两相交的直线在同一个平面内;
③有三个不同公共点的两个平面重合;
④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确说法的个数是 A A0B1C2D3解析:
①错这两条直线可能为异面直线;
②错相交于一点的三条直线可以确定三个平面;
③错若这三个公共点在一条直线上则两个平面可能是相交的;
④错这三条平行线可以在一个平面内.故选A.
4.如图长方体ABCDA1B1C1D1中DC+CC1=8CB=4M是AB的中点点N是平面A1B1C1D1上的点且满足C1N=当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时线段MN的最小值是 C A6B8CD4解析:依题意=CB·DC·CC1=4DC·CC1≤4×=64当且仅当DC=CC1=4时等号成立.因为M为线段AB的中点如图记M在A1B1上的投影为M′连接M′C1交圆C1于点N连接MN此时MN的长度即为所求最小值因为B1C1=4B1M′=2所以M′C1=2M′N=M′C1-C1N=故MN===故MN的最小值为.故选C.
5.如图所示四边形ABCD中AD∥BCAD=AB∠BCD=45°∠BAD=90°将△ABD沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD构成四面体ABCD则在四面体ABCD中下列命题正确的是 D A平面ABD⊥平面ABCB平面ADC⊥平面BDCC平面ABC⊥平面BDCD平面ADC⊥平面ABC解析:由原来的平面图形易知CD⊥BD由于平面ABD⊥平面BCD交线为BD所以CD⊥平面ABD.所以CD⊥AB而AB⊥ADCD∩AD=D所以AB⊥平面ADC因为AB⊂平面ABC所以平面ADC⊥平面ABC.故选D.
6.如图在矩形ABCD中AB=BC=1将△ACD沿AC折起使得D折起的位置为D1且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上在四面体D1ABC的四个面中其中有n对平面相互垂直则n等于 B A2B3C4D5解析:如图由已知D1O⊥平面ABCD1O⊂平面D1AB.所以平面D1AB⊥平面ABC又BC⊥ABBC⊂平面D1BC所以平面D1BC⊥平面D1AB在Rt△D1BC中BC=1D1C=所以D1B=在平面D1AB中AD1=1AB=所以A+B=AB2所以AD1⊥D1B而AD1⊥D1C所以AD1⊥平面D1BC又AD1⊂平面AD1C所以平面AD1C⊥平面D1BC共3对平面互相垂直故选B.
7.已知正方体ABCDA1B1C1D1平面α过直线BDα⊥平面AB1Cα∩平面AB1C=m平面β过直线A1C1β∥平面AB1Cβ∩平面ADD1A1=n则mn所成角的余弦值为 D A0BCD解析:如图由已知m为直线B1On为直线A1D又A1D∥B1C所以mn所成角即是B1O与B1C所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1在Rt△B1OC中B1C=OC=所以B1O==cos∠OB1C===即mn所成角的余弦值为.故选D.
8.如图所示正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1线段B1D1上有两个动点EF且EF=则下列结论中错误的是 D AAC⊥BEBEF∥平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值D△AEF的面积与△BEF的面积相等解析:可证AC⊥平面D1DBB1从而AC⊥BE故A项正确;由B1D1∥平面ABCD可知EF∥平面ABCDB项也正确;连接BD交AC于O则AO为三棱锥ABEF的高S△BEF=××1=三棱锥ABEF的体积为××=为定值C项正确;A到B1D1的距离与B到B1D1的距离不相等.故选D.
9.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的体积为 A AπBπC8πD24π解析:该旋转体是具有公共底面的两个圆锥且底面半径为则体积V=×2×5=π.故选A.
10.如图在空间四边形ABCD中EH分别是ABAD的中点FG分别是CBCD上的点且==若BD=6cm梯形EFGH的面积为28cm2则平行线EHFG间的距离为 A A8cmB6cmC4cmD9cm解析:由题知EH=BD=3cmFG=BD=4cm.设平行线EHFG之间距离为d则28=×3+4×d所以d=8cm故选A.
二、填空题本大题共5小题每小题5分共25分
11.如图所示ABCDA1B1C1D1是正方体若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l则l与AC的位置关系是 . 解析:易知AC∥平面A1C1而AC⊂平面ACB1平面ACB1∩平面A1C1=l故l∥AC.答案:平行
12.若球的表面积为16π球心到一截面的距离为则这个截面圆的面积是 . 解析:设截面圆的半径为r由题知球的半径为2则有r2=22-2=1故截面圆的面积为πr2=π.答案:π
13.周长为12的矩形绕其一边旋转360°得一圆柱其最大侧面积为 . 解析:设矩形一边长为x则另一边长为=6-xS侧=2πx6-x=-2πx-32+18π当x=3时侧面积最大最大为18π.答案:18π
14.已知一水平放置梯形的直观图是一等腰梯形如图其面积为6则原梯形面积为 . 解析:设直观图的高为h则h2+4=6所以h=
2.所以原梯形的高在直观图中对应的线段长为==2所以原梯形的高为4又两底边长不变所以S原梯形=×4×2+4=
12.答案:
1215.如图在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中EF是棱AB上的一条线段且EF=bba.若Q是CD上的动点则三棱锥QD1EF的体积为 . 解析:==S△QEF·DD1=×b×a×a=a2b.答案:a2b
三、解答题本大题共6小题共75分
16.本小题满分12分如图1在△MBC中MA是BC边上的高MA=3AC=4如图2将△MBC沿MA进行翻折使得∠BAC=90°再过点B作BD∥AC连接ADCDMD且AD=2∠CAD=30°.1求证:CD⊥平面MAD;2求点A到平面MCD的距离.1证明:在△ADC中AC=4AD=2∠CAD=30°利用余弦定理可得CD=2所以∠ADC=90°即CD⊥AD.因为MA⊥ABMA⊥ACAB∩AC=A故MA⊥平面ABDC.因为CD⊂平面ABDC所以CD⊥MA.又AD∩MA=A所以CD⊥平面MAD.2解:因为△ACD的面积S=×2×2=
2.故三棱锥MACD的体积V=×2×3=
2.又由1CD⊥平面MAD知MD⊥CD得MD=故△MCD的面积S=××2=由=可得×2×3=×h所以h=故点A到平面MCD的距离为.
17.本小题满分12分如图长方体ABCDA1B1C1D1中AB=12BC=10AA1=8过点A1D1的平面α与棱AB和CD分别交于点EF四边形A1EFD1为正方形.1在图中请画出这个正方形不必写作法并求AE的长;2问平面α右侧部分是什么几何体并求其体积.解:1正方形A1EFD1如图所示.因为A1E=A1D1=AB=10A1A=8在Rt△A1AE中由勾股定理知AE=
6.2平面α右侧部分几何体是以A1EBB1为底面的直四棱柱由棱柱体积公式得V=×6+12×8×10=
720.
18.本小题满分12分如图菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O点EF分别在ADCD上AE=CFEF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.1证明:AC⊥HD′;2若AB=5AC=6AE=OD′=2求五棱锥D′ABCFE的体积.1证明:由已知得AC⊥BDAD=CD.又由AE=CF得=故AC∥EF.所以EF⊥HDEF⊥HD′所以AC⊥HD′.2解:由EF∥AC得==.由AB=5AC=6得DO=BO==
4.所以OH=1D′H=DH=
3.于是OD′2+OH2=22+12=9=D′H2故OD′⊥OH.由1知AC⊥HD′又AC⊥BDBD∩HD′=H所以AC⊥平面BHD′于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OHAC∩OH=O所以OD′⊥平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.所以五棱锥D′ABCFE的体积V=××2=.
19.本小题满分12分有一个倒圆锥形的容器它的轴截面是正三角形在这个容器内注入水并且放入一个半径是r的钢球这时球面恰好与水面相切那么将球从圆锥形容器中取出后水面高是多少解:如图作出截面因轴截面是一个正三角形根据切线的性质知当球在容器内时水面的深度为3r水面半径为r则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·r2·3r-πr3=πr
3.将球取出后设容器中水的深度为h则水面圆的半径为从而容器内水的体积为V′=π··h=πh3由V=V′可得h=r.
20.本小题满分13分如图所示平面PAB⊥平面ABC平面PAC⊥平面ABCAE⊥平面PBCE为垂足.1求证:PA⊥平面ABC;2当E为△PBC的垂心时求证:△ABC为直角三角形.证明:1如图在平面ABC内取一点D作DF⊥AC于F作DG⊥AB于G因为平面PAC⊥平面ABC且平面PAC∩平面ABC=AC所以DF⊥平面PAC所以DF⊥AP同理可证DG⊥AP.又DG∩DF=DDG⊂平面ABCDF⊂平面ABC所以PA⊥平面ABC.2连接BE并延长交PC于H因为E为△PBC的垂心所以PC⊥BE.因为AE⊥平面PBC所以PC⊥AE.又BE∩AE=E所以PC⊥平面ABE所以PC⊥AB.又PA⊥平面ABC所以PA⊥AB.又PC∩PA=P所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC即△ABC是直角三角形.
21.本小题满分14分如图在四棱锥PABCD中PC⊥平面ABCDAB∥DCDC⊥AC1求证:DC⊥平面PAC;2求证:平面PAB⊥平面PAC;3设点E为AB的中点在棱PB上是否存在点F使得PA∥平面CEF说明理由.1证明:因为PC⊥平面ABCD所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC所以DC⊥平面PAC.2证明:因为AB∥DCDC⊥AC所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.3解:棱PB上存在点F使得PA∥平面CEF.理由如下:取PB中点F连接EFCECF.因为E为AB的中点所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEFEF⊂平面CEF所以PA∥平面CEF.。