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第二章 检测试题时间:120分钟 满分:150分
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分
1.已知点Ax1y1Bx2y2在斜率为k的直线上若|AB|=a则|y2-y1|等于 D AaBC|ak|D解析:设AB的方程为y=kx+b则y1=kx1+by2=kx2+b.所以a=|AB|==·|y2-y1|所以|y2-y1|=.故选D.
2.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°再向右平移一个单位所得的直线的方程为 A Ay=-x+By=-x+1Cy=3x-3Dy=x+1解析:由于旋转后得到的直线与原直线互相垂直故所得直线斜率为-直线的方程为y=-x再向右平移1个单位得y=-x-
1.故选A.
3.已知A-423关于xOz平面的对称点为A1A关于z轴的对称点为A2则|A1A2|等于 A A8B12C16D19解析:由题可知A1-4-23A24-23所以|A1A2|==
8.故选A.
4.直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x-22+y2=3的位置关系是 A A直线与圆相切B直线与圆相交但不过圆心C直线与圆相离D直线过圆心解析:直线x+y=0的斜率为-倾斜角为150°绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线的倾斜角为120°斜率为-所以直线方程为x+y=
0.圆x-22+y2=3的圆心20到直线x+y=0的距离d===r所以直线与圆相切.故选A.
5.圆x2+y2+2x+4y+3=0的切线在x轴、y轴上的截距的绝对值相等则这样的切线有 D A3条B4条C5条D6条解析:因为圆的圆心坐标为-1-2半径r=可得符合条件的直线有6条.故选D.
6.已知圆C1:x-22+y-32=1圆C2:x-32+y-42=9MN分别是圆C1圆C2上的动点P为x轴上的动点则|PM|+|PN|的最小值为 A A5-4B-1C6-2D解析:两圆的圆心均在第一象限作点C1关于x轴的对称点C′12-3则|PC1|+|PC2|min=|C′1C2|=5所以|PM|+|PN|min=5-1+3=5-
4.故选A.
7.过直线y=2x上一点P作圆M:x-32+y-22=的两条切线l1l2AB为切点当直线l1l2关于直线y=2x对称时则∠APB等于 C A30°B45°C60°D90°解析:过圆M的圆心M32向直线y=2x作垂线设垂足为N易知当点P与点N重合时直线l1与l2关于直线y=2x对称此时|MP|==.又因为圆M的半径长为所以sin∠MPA=则∠MPA=30°故∠APB=60°.
8.已知圆C的半径为2圆心在x轴的正半轴上直线3x+4y+4=0与圆C相切则圆C的方程为 D Ax2+y2-2x-3=0Bx2+y2+4x=0Cx2+y2+2x-3=0Dx2+y2-4x=0解析:设圆C的方程为x-a2+y2=4a0由已知得=
2.解得a=2或a=-舍去.故选D.
9.若点Pxy在圆x2+y2+4x+3=0上则的最大值为 A ABC-D-解析:表示圆上的点与原点连线的斜率设=ky=kx即kx-y=0当直线与圆相切时k值最大或最小此时=1k=±.故选A.
10.已知:直线ax+by+c=0abc≠0与圆x2+y2=1相切则以|a||b||c|为三边长的三角形为 B A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不存在解析:因为直线与圆相切所以圆心到直线的距离等于半径d==1即a2+b2=c2故以|a||b||c|为三边长的三角形为直角三角形.故选B.
二、填空题本大题共5小题每小题5分共25分
11.已知两圆x+12+y-12=r2和x-22+y+22=R2相交于PQ两点若点P的坐标为12则点Q的坐标为 . 解析:由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为-112-2则过两圆圆心的直线方程为=即y=-x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称故点P与点Q关于直线y=-x对称.又因为P12所以Q-2-
1.答案:-2-
112.已知A10B32C04点D满足AB⊥CD且AD∥BC则点D的坐标为 . 解析:设Dxy因为kAB==1kBC==-kCD=kAD=由AB⊥CDAD∥BC得kAB·kCD=-1kAD=kBC所以解得所以D10-
6.答案:10-
613.由直线y=x+1上的点向圆x-32+y+22=1引切线则切线长的最小值为 . 解析:若使切线长最小则直线上的点到圆心的距离d最小又dmin==3此时切线长为=.答案:
14.若直线x+y+m=0上存在点P可作圆O:x2+y2=1的两条切线PAPB切点为AB且∠APB=60°则实数m的取值范围为 . 解析:若∠APB=60°则|OP|=2直线x+y+m=0上存在点P可作圆O:x2+y2=1的两条切线PAPB由圆心到直线的距离公式可得≤2解得m∈[-22].答案:[-22]
15.已知p+2q-1=0则直线px-3y+q=0恒过定点A的坐标为 . 解析:直线方程可化为1-2qx-3y+q=0即:x-3y-q2x-1=
0.若直线过定点则有所以所以A.答案:
三、解答题本大题共6小题共75分
16.本小题满分12分试在坐标平面yOz内的直线2y-z=1上确定一点P使P到Q-104的距离最小.解:因为点P在yOz平面内所以可设P0y2y-1由两点间的距离公式得|PQ|===.显然当y=2时|PQ|取最小值这时点P
023.
17.本小题满分12分已知过点A01且斜率为k的直线l与圆C:x-22+y-32=1交于MN两点.求k的取值范围.解:由题设可知直线l的方程为y=kx+
1.因为直线l与圆C交于两点所以
1.解得k.所以k的取值范围为.
18.本小题满分12分有一种大型商品AB两地均有出售且价格相同某地居民从两地之一购得商品运回来每千米的运费A地是B地的2倍.若AB两地相距10千米顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点解:以直线AB为x轴线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图所示.设A-50则B
50.在坐标平面内任取一点Pxy设从A地运货到P地的运费为2a元/千米则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品则2aa.整理得x+2+y22即点P在圆C:x+2+y2=2的内部.也就是说圆C内的居民应在A地购物圆C外的居民应在B地购物圆C上的居民可随意选择AB两地之一购物.
19.本小题满分12分已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=
0.1求圆心的坐标及半径r;2已知不过原点的直线l与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等求直线l的方程;3从圆C外一点Pxy向圆引切线切点为MO为坐标原点且有PM=OP求点P的轨迹方程.解:1圆心C坐标为-12半径为.2因为切线在两坐标轴上的截距相等且不为零.设直线l的方程为x+y=a因为圆C与直线l相切所以圆心-12到切线的距离等于半径即=所以a=-1或a=
3.所以直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=
0.3因为切线PM与半径CM垂直所以PM2=PC2-CM2又PM=OP.所以PC2-CM2=OP2即x+12+y-22-2=x2+y2所以点P的轨迹方程为2x-4y+3=
0.
20.本小题满分13分已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0直线l:ax+y+2a=
0.1当a=时直线l与圆C相交于AB两点求弦AB的长;2若a0且直线l与圆C相切求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:1因为圆C:x+22+y-2a2=2又a=所以圆心C为-23直线l:3x+2y+6=0圆心C到直线l的距离d==所以|AB|=2=.2将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得1+a2x2+41+2a2x+16a2+1=0*所以Δ=[41+2a2]2-41+a216a2+1=43-a2=0因为a0所以a=所以此时圆心C为-22方程*的解为x=-所以切点坐标为-根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点故圆心C′的坐标为-5所以圆C′的方程为x+52+y-2=
3.
21.本小题满分14分已知点P22圆C:x2+y2-8y=0过点P的动直线l与圆C交于AB两点线段AB的中点为MO为坐标原点.1求M的轨迹方程;2当|OP|=|OM|时求l的方程及△POM的面积.解:1圆C的方程可化为x2+y-42=16所以圆心为C04半径为4设Mxy则=xy-4=2-x2-y由题设知·=0故x2-x+y-42-y=0则x-12+y-32=
2.由于点P在圆C内部所以M的轨迹方程是x-12+y-32=
2.2由1可知M的轨迹是以点N13为圆心为半径的圆.由于|OP|=|OM|故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3所以l的斜率为-故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2O到l的距离为|PM|=所以△POM的面积为.。