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2019-2020年高一上学期期中数学试卷含解析I
一、选择题(本答题共10小题,每小题5分,共50分)1.函数y=的定义域为( )A.{x|x≤1}B.{x|x<1}C.{x|x≥1}D.{x|x>1}2.设集合A={x|x2﹣1>0},B={x|log2x>0|},则A∩B等于( )A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<﹣1}D.{x|x>1或x<﹣1}3.=( )A.14B.0C.1D.64.如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数a取值范围是( )A.a≤﹣3B.a≥﹣3C.a≤5D.a≥55.已知函数,那么f[f()]的值为( )A.9B.C.﹣9D.﹣6.若a=
30.3,b=(
0.3)2,c=log
30.2,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b7.函数f(x)=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的反函数的图象过定点( )A.(0,2)B.(2,0)C.(0,3)D.(3,0)8.函数y=ax﹣(a>0,a≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.9.函数f(x)=log2x+x+2的零点个数为( )A.0B.1C.2D.310.函数y=()的单调增区间为( )A.[1,2]B.RC.(﹣∞,2]D.[2,+∞)
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分).11.已知集合M={0,x},N={1,2},若M∩N={1},则M∪N=______.12.函数f(x)=3x﹣1,若f[g(x)]=2x+3,则g(x)=______.13.不等式的解集是______.14.函数y=3+ax﹣1(a>0且a≠1)的图象必过定点P,P点的坐标为______.15.如果函数f(x)=是奇函数,则a=______.16.定义运算,例如,1*2=1,则函数f(x)=1*2x的值域是______.
三、解答题(本大题共3小题,共26分)17.已知函数f(x)=1+.(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并证明;(Ⅲ)求f(x)的值域.18.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米,
(1)设AN的长为x米,用x表示矩形AMPN的面积?
(2)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?19.已知f(x)=lg(ax﹣bx)(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性;
(3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a﹣b与1的大小. 卷(II)
四、选填题(本大题共3小题,每小题5分,共30分).20.若3a=4,则log32的值等于( )A.2aB.aC.D.21.若函数f(x)=|4x﹣x2|+a有4个零点,则实数a的取值范围是( )A.[﹣4,0]B.(﹣4,0)C.[0,4]D.(0,4)22.定义域为R的奇函数f(x)是减函数,当f(a)+f(a2)>0成立时,实数a的取值范围是( )A.a<﹣1或a>0B.﹣1<a<0C.a<0或a>1D.a<﹣1或a>1
五、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)23.若关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|<a无解,则实数a的取值范围是______.24.已知函数f(x)=()x﹣()x+1的定义域是[﹣3,2],则该函数的值域为______.25.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f
(1)>1,f
(2)=,则m的取值范围是______.
五、解答题(本大题共2小题,26题8分,27题12分,共20分)26.解关于x的不等式2log4(x﹣1)>log4[a(x﹣2)+1](a为常数且a>2)的解集.27.已知函数f(x)=m(x+)的图象与函数h(x)=(x+)+2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围. xx北京市房山四中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本答题共10小题,每小题5分,共50分)1.函数y=的定义域为( )A.{x|x≤1}B.{x|x<1}C.{x|x≥1}D.{x|x>1}【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域.【解答】解要使函数有意义,则1﹣x≥0,解得x≤1,故函数的定义域为{x|x≤1},故选A 2.设集合A={x|x2﹣1>0},B={x|log2x>0|},则A∩B等于( )A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<﹣1}D.{x|x>1或x<﹣1}【考点】交集及其运算.【分析】先化简集合,即解一元二次不等式x2>1,和对数不等式log2x>0,再求交集.【解答】解根据题意集合A={x|x<﹣1或x>1},集合B={x|x>1}∴A∩B={x|x>1}.故选A 3.=( )A.14B.0C.1D.6【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算.【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可.【解答】解=4﹣﹣lg10﹣2+3lne=4﹣9+2+3=0,故选B. 4.如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数a取值范围是( )A.a≤﹣3B.a≥﹣3C.a≤5D.a≥5【考点】二次函数的性质.【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果.【解答】解∵f(x)=x2+2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2其对称轴为x=1﹣a∵函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选A 5.已知函数,那么f[f()]的值为( )A.9B.C.﹣9D.﹣【考点】函数的值.【分析】首先判断自变量是属于哪个区间,再代入相应的解析式,进而求出答案.【解答】解∵,∴==﹣2,而﹣2<0,∴f(﹣2)=3﹣2=.∴=.故选B. 6.若a=
30.3,b=(
0.3)2,c=log
30.2,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数与对数函数的单调性,分析出三个数与0和1的关系,即可得出答案.【解答】解∵a=
30.3>1,b=(
0.3)2∈(0,1),c=log
30.2<0,则a,b,c的大小关系是c<b<a,故选C. 7.函数f(x)=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的反函数的图象过定点( )A.(0,2)B.(2,0)C.(0,3)D.(3,0)【考点】反函数.【分析】先求函数过的定点,再求关于y=x的对称点,对称点就是反函数过的定点.【解答】解函数f(x)=loga(x﹣1)恒过(2,0),函数和它的反函数关于y=x对称,那么(2,0)关于y=x的对称点是(0,2),即(0,2)为反函数图象上的定点.故选A. 8.函数y=ax﹣(a>0,a≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】讨论a与1的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可.【解答】解函数y=ax﹣(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移个单位得到的.当a>1时,函数y=ax﹣在R上是增函数,且图象过点(﹣1,0),故排除A,B.当1>a>0时,函数y=ax﹣在R上是减函数,且图象过点(﹣1,0),故排除C,故选D. 9.函数f(x)=log2x+x+2的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3【考点】函数零点的判定定理.【分析】由题意可得,函数y=log2x的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数,数形结合可得β结论.【解答】解函数f(x)=log2x+x+2的零点的个数,即函数y=log2x的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数,画出图象如图所示函数y=log2x的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数为1,即函数f(x)=log2x+x+2的零点的个数为1.故选B. 10.函数y=()的单调增区间为( )A.[1,2]B.RC.(﹣∞,2]D.[2,+∞)【考点】复合函数的单调性.【分析】令t=﹣3+4x﹣x2,则y=,本题即求函数t的单调减区间,利用二次函数的性质可得函数t的减区间.【解答】解令t=﹣3+4x﹣x2=﹣(x﹣2)2+1,则y=,本题即求函数t的单调减区间.利用二次函数的性质可得函数t的减区间为[2,+∞),故选D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分).11.已知集合M={0,x},N={1,2},若M∩N={1},则M∪N= {0,1,2} .【考点】并集及其运算;交集及其运算.【分析】由M,N,以及两集合的交集确定出x的值,进而确定出M,求出M与N的并集即可.【解答】解∵M={0,x},N={1,2},且M∩N={1},∴x=1,即M={0,1},则M∪N={0,1,2},故答案为{0,1,2} 12.函数f(x)=3x﹣1,若f[g(x)]=2x+3,则g(x)= .【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】直接利用函数的解析式,求解即可.【解答】解函数f(x)=3x﹣1,若f[g(x)]=2x+3,可得3g(x)﹣1=2x+3,解得g(x)=.故答案为. 13.不等式的解集是 (﹣∞,0]∪[6,+∞). .【考点】其他不等式的解法.【分析】转化指数不等式为二次不等式,然后求解即可.【解答】解不等式可以转化为x2+x+6≤2x2﹣5x+6,即x2﹣6x≥0,解得x≤0或x≥6.所以不等式的解集为(﹣∞,0]∪[6,+∞).故答案为(﹣∞,0]∪[6,+∞). 14.函数y=3+ax﹣1(a>0且a≠1)的图象必过定点P,P点的坐标为 (1,4) .【考点】指数函数的单调性与特殊点.【分析】通过图象的平移变换得到y=3+ax﹣1与y=ax的关系,据y=ax的图象恒过(0,1)得到f(x)恒过(1,4)【解答】解y=3+ax﹣1的图象可以看作把y=ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且y=ax一定过点(0,1),则y=ax﹣1+3应过点(1,4)故答案为(1,4) 15.如果函数f(x)=是奇函数,则a= 2 .【考点】函数奇偶性的判断.【分析】由奇函数的定义可得,f(﹣x)+f(x)=0,再化简整理,即可得到a.【解答】解函数f(x)=是奇函数,则f(﹣x)+f(x)=0,即有+=0,则=0,化简得到,=0,即=1,故a=2.故答案为2 16.定义运算,例如,1*2=1,则函数f(x)=1*2x的值域是 (0,1] .【考点】函数的值域.【分析】为了求函数f(x)=1*2x的值域,先将其化成分段函数的形式,再画出其图象,最后结合图象即得函数值的取值范围,即可得到数f(x)=1*2x的值域.【解答】解当1≤2x时,即x≥0时,函数y=1*2x=1当1>2x时,即x<0时,函数y=1*2x=2x∴f(x)=作出函数的图象,由图知,函数y=1*2x的值域为(0,1].故答案为(0,1].
三、解答题(本大题共3小题,共26分)17.已知函数f(x)=1+.(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并证明;(Ⅲ)求f(x)的值域.【考点】函数奇偶性的性质;函数的值域.【分析】(Ⅰ)利用分母不为0,求f(x)的定义域;(Ⅱ)利用函数奇偶性的定义,判断、证明f(x)的奇偶性;(Ⅲ)x>0时,f(x)>1,即可求f(x)的值域.【解答】解(Ⅰ)由2x﹣1≠0,可得x≠0,∴函数的定义域为{x|x≠0}.(Ⅱ)奇函数证明f(﹣x)=1+==﹣1﹣=﹣f(x).∴f(x)是奇函数;(Ⅲ)x>0时,f(x)>1,∴值域为(﹣∞,1)∪(1,+∞) 18.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米,
(1)设AN的长为x米,用x表示矩形AMPN的面积?
(2)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题.在解答时对
(1)根据实际问题由AN的长为x米,利用相似关系即可转化出边长AM,从而建立函数解析式,要注意自变量的取值范围.对
(2)利用
(1)的结论由于矩形AMPN的面积大于32平方米,即可找到不等关系,变形后是解关于X在定义域内的一元二次不等式即可获得问题的解答.【解答】解
(1)设AN的长为x米(x>2)∵,∴|AM|=∴SAMPN=|AN|•|AM|=(x>2)
(2)由SAMPN>32得>32,∵x>2,∴3x2﹣32x+64>0,即(3x﹣8)(x﹣8)>0∴或x>8;AN长的取值范围是. 19.已知f(x)=lg(ax﹣bx)(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性;
(3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a﹣b与1的大小.【考点】函数的定义域及其求法;函数单调性的性质.【分析】
(1)由对数的真数大于零得,ax﹣bx>0,再由a>1>b>0和指数函数的性质,求出不等式解集即函数的定义域;
(2)先在定义域任取两个自变量,即x2>x1>0,利用指数函数的性质比较对应真数的大小,再根据y=lgx在定义域上是增函数,得出f(x2)与f(x1)的大小,判断出此函数的单调性;
(3)根据
(2)证出的函数单调性,求出此区间内的函数的最小值f
(1),只要f
(1)≥0成立即可,代入函数解析式,利用lg1=0判断a﹣b与1的大小.【解答】解
(1)要使函数有意义,则ax﹣bx>0,∴,∵,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设x2>x1>0,∵a>1>b>0,∴,,则,∴,∴.∵函数y=lgx在定义域上是增函数,∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)是增函数.
(3)由
(2)知,函数f(x)在(0,+∞)是增函数,∴f(x)在(1,+∞)是增函数,即有f(x)>f
(1),要使f(x)>0恒成立,必须函数的最小值f
(1)≥0,即lg(a﹣b)≥0=lg1,则a﹣b≥1. 卷(II)
四、选填题(本大题共3小题,每小题5分,共30分).20.若3a=4,则log32的值等于( )A.2aB.aC.D.【考点】对数的运算性质.【分析】先将指数式3a=4转化为对数式a=log34,再根据对数的运算性质得到a=log34=log322=2log32,所以log32=.【解答】解根据3a=4,得a=log34,根据对数的运算性质得到,a=log34=log322=2log32∴log32=故选C. 21.若函数f(x)=|4x﹣x2|+a有4个零点,则实数a的取值范围是( )A.[﹣4,0]B.(﹣4,0)C.[0,4]D.(0,4)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】函数f(x)=|4x﹣x2|+a零点的个数,即为函数y=|4x﹣x2|与函数y=﹣a交点个数,结合图象可得实数a的取值范围.【解答】解∵函数f(x)=|4x﹣x2|+a有4个零点函数y=|4x﹣x2|与函数y=﹣a有4个交点,如图所示结合图象可得0<﹣a<4,∴﹣4<a<0故选B 22.定义域为R的奇函数f(x)是减函数,当f(a)+f(a2)>0成立时,实数a的取值范围是( )A.a<﹣1或a>0B.﹣1<a<0C.a<0或a>1D.a<﹣1或a>1【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】先根据函数是定义在R上的奇函数,把不等式f(a)+f(a2)>0变形为f(a2)>f(﹣a),再根据f(x)在R上是减函数,去函数符号,再解关于a的二次不等式即可.【解答】解∵f(a)+f(a2)>0,∴f(a2)>﹣f(a),又∵f(x)为奇函数,∴f(a2)>f(﹣a),∵f(x)在R上是减函数,∴a2<﹣a,解得﹣1<a<0.故选B.
五、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)23.若关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|<a无解,则实数a的取值范围是 (﹣∞,5] .【考点】绝对值不等式.【分析】由绝对值的意义可得|x+2|+|x﹣3|的最小值为5,故当a≤5时,关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|<a无解,从而得到要求的a的范围.【解答】解由于|x+2|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣2和3对应点的距离之和,它的最小值为5,故当a≤5时,关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|<a无解,故答案为(﹣∞,5]. 24.已知函数f(x)=()x﹣()x+1的定义域是[﹣3,2],则该函数的值域为 [] .【考点】指数型复合函数的性质及应用.【分析】由于x∈[﹣3,2],可得≤≤8,令t=,有y=t2﹣t+1=+,再利用二次函数的性质求出它的最值.【解答】解由于x∈[﹣3,2],∴≤≤8,令t=,则有y=t2﹣t+1=+,故当t=时,y有最小值为,当t=8时,y有最大值为57,故答案为[]. 25.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f
(1)>1,f
(2)=,则m的取值范围是 ﹣1<m< .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系,即可得到结论.【解答】解∵若f(x)的最小正周期为3,且f
(1)>1,∴f
(2)=f(2﹣3)=f(﹣1),∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f
(2)=f(﹣1)=﹣f
(1)<﹣1,即f
(2)=<﹣1,即+1==,则等价为(m+1)(3m﹣2)<0,解得﹣1<m<,故答案为﹣1<m<.
五、解答题(本大题共2小题,26题8分,27题12分,共20分)26.解关于x的不等式2log4(x﹣1)>log4[a(x﹣2)+1](a为常数且a>2)的解集.【考点】指、对数不等式的解法.【分析】利用对数函数的单调性把已知不等式变形,由a的范围求得的范围,求解不等式组得答案.【解答】解原不等式等价于⇔,∵a>2,∴,则2﹣,从而不等式组等价于,即x>a或.∴不等式的解集为{x|x>a或}. 27.已知函数f(x)=m(x+)的图象与函数h(x)=(x+)+2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.【考点】函数的图象与图象变化;函数单调性的判断与证明.【分析】
(1)由题意,h
(1)=,从而可得(1,)关于(0,1)的对称点(﹣1,﹣)在函数f(x)=m(x+)的图象上,从而求m;
(2)由对勾函数的单调性求实数a的取值范围.【解答】解
(1)由h
(1)=得,(1,)关于(0,1)的对称点(﹣1,﹣)在函数f(x)=m(x+)的图象上,故﹣=﹣2m,解得,m=;
(2)g(x)=(x+)+==+,故1+a>0,≥2,解得a≥3. xx年9月30日。