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2019-2020年高一上学期期中数学试卷含解析IV
一、选择题(本题8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题5分,共40分)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},则∁U(M∪N)的元素个数有( )A.0个B.1个C.2D.3个2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x3B.y=ln|x|C.y=﹣x2D.y=2x3.若,b=2﹣
0.1,,则a,b,c大小关系从小到大为( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c4.已知f(x)=ax3+bx+2且f
(5)=16,则f(﹣5)的值为( )A.﹣12B.﹣18C.12D.185.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是下图中的( )A.B.C.D.6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )A.B.C.D.7.已知函数是R上的增函数,那么实数a的范围( )A.B.C.(1,+∞)D.(1,2)8.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系f(t)=at,有以下叙述
①这个指数函数的底数是2;
②浮萍每个月增长的面积都相等;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过
1.5个月;
④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t1,t2,都有成立;
⑤若浮萍蔓延到2m
2、3m
2、6m2所经过的时间分别为t
1、t
2、t3,则t1+t2=t3.其中正确的是( )A.
①③④B.
①③④⑤C.
①④⑤D.
②③⑤
二、填空题(本题6个小题,每小题5分,共30分)9.计算的结果是 .10.若a>0且a≠1,则函数y=ax﹣2﹣1的图象必过定点 .11.有以下判断
①与是同一个函数;
②y=2x﹣1与y=2t﹣1是同一个函数;
③y=f(x)与直线x=2的交点最多有一个;
④y=1不是函数.其中正确的序号为 .12.函数f(x)=x2+(2﹣k)x+1在[﹣2,2]上是单调函数,则k的取值范围为 .13.函数定义域为 ;值域为 .14.已知f是有序数对集合M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一个映射,正整数数对(x,y)在映射f下的象为实数z,记作f(x,y)=z.对于任意的正整数m,n(m>n),映射f由表给出(x,y)(n,n)(m,n)(n,m)f(x,y)nm﹣nm+n则f(3,5)= ,使不等式f(2x,x)≤4成立的x的集合是 .
三、解答题(本题6个小题,共80分)15.已知集合,B={x|x2﹣12x+20<0},C={x|5﹣a<x<a},
(1)求A∪B,(∁RA)∩B;
(2)若C⊆(A∪B),求实数a的取值范围.16.已知函数.
(1)求的值;
(2)画出函数的图象,并根据图象写出函数的值域和单调区间;
(3)若方程f(x)=m有四个根,求实数m的取值范围,并求出这四个根的和.17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,
(1)求函数f(x)的值域A;
(2)解不等式f(lgx)>f(﹣1);
(3)设函数的定义域为集合B,若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.18.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为吨(0≤t≤24)
(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,写出y关于t的函数表达式;
(2)求从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(3)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?19.已知f(x)=loga(a>0,且a≠1,m≠﹣1)是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,
(1)求f
(0)的值和实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)若f()>0且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0成立,求实数b的取值范围.20.已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当a,b∈[﹣2,2],且a+b≠0时,有.
(1)比较f
(1)与f
(0)的大小;
(2)若m>n,试比较f(m)与f(n)的大小;
(3)若f
(2)=1,f(x)≤t2﹣2bt+1,对所有x∈[﹣2,2],b∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围. xx北京市通州区潞河中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本题8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题5分,共40分)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},则∁U(M∪N)的元素个数有( )A.0个B.1个C.2D.3个【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】先求出M∪N,再求∴∁U(M∪N),由此能求出∁U(M∪N)的元素个数.【解答】解∵全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},∴M∪N={2,3,4,5},∴∁U(M∪N)={1,6},∴∁U(M∪N)的元素个数是2个.故选C. 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x3B.y=ln|x|C.y=﹣x2D.y=2x【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【分析】根据奇函数、偶函数的定义,及对数函数和二次函数的单调性便可判断每个函数的奇偶性,以及在(0,+∞)上的单调性,从而找出正确选项.【解答】解A.y=x3是奇函数,不是偶函数,∴该选项错误;B.y=ln|x|的定义域为{x|x≠0},且ln|﹣x|=ln|x|;∴该函数为偶函数;x>0时,y=ln|x|=lnx为增函数;∴该选项正确;C.y=﹣x2在(0,+∞)上单调递减,∴该选项错误;D.指数函数y=2x的图象不关于y轴对称,不是偶函数,∴该选项错误.故选B. 3.若,b=2﹣
0.1,,则a,b,c大小关系从小到大为( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数的单调性得到0<a<b<1,利用对数函数的单调性得到c<0,由此能比较a,b,c的大小关系.【解答】解∵0<<b=2﹣
0.1=<=1,<=0,∴b>a>c.故选D. 4.已知f(x)=ax3+bx+2且f
(5)=16,则f(﹣5)的值为( )A.﹣12B.﹣18C.12D.18【考点】函数的值.【分析】由已知条件利用函数性质先求出125a+5b=14,由此能求出f(﹣5).【解答】解∵f(x)=ax3+bx+2,且f
(5)=16,∴f
(5)=125a+5b+2=16,∴125a+5b=14,∴f(﹣5)=﹣125a﹣5b+2=﹣+2=﹣14+2=﹣12.故选A. 5.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是下图中的( )A.B.C.D.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】判断得出f(x)>0,利用不等式得出g()<0,判断出a>1,根据指数,对数函数的单调性得出答案.【解答】解∵函数f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),∴f(x)>0,∵,∴g()<0,∴a>1,根据指数,对数函数的单调性得出f(x),g(x)都为增函数.故选B 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】本题考查的是分段函数的图象判断问题.在解答时应充分体会实际背景的含义,根据走了一段时间后,由于怕迟到,余下的路程就跑步,即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快慢,从而即可获得问题的解答.【解答】解由题意可知离学校的距离应该越来越小,所以排除C与D.由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.随着时间的增加,距离学校的距离随时间的推移应该减少的相对较快.而等跑累了再走余下的路程,则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间减少应该相对较慢.所以适合的图象为B故答案选B. 7.已知函数是R上的增函数,那么实数a的范围( )A.B.C.(1,+∞)D.(1,2)【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质.【分析】由题意可得,由此解得a的范围.【解答】解由题意可得,解得1<a<2,故选D. 8.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系f(t)=at,有以下叙述
①这个指数函数的底数是2;
②浮萍每个月增长的面积都相等;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过
1.5个月;
④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t1,t2,都有成立;
⑤若浮萍蔓延到2m
2、3m
2、6m2所经过的时间分别为t
1、t
2、t3,则t1+t2=t3.其中正确的是( )A.
①③④B.
①③④⑤C.
①④⑤D.
②③⑤【考点】指数函数的图象与性质.【分析】根据函数的图象与性质,结合图形确定函数的解析式,结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断,对于
⑤要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证.【解答】解对于
①,根据函数的图象知,点(1,2)在函数图象上,∴2=a1,∴a=2,函数为f(x)=2x,底数是2,
①正确;对于
②,根据函数f(t)=2t的图象知,1﹣2月增加2m2,2﹣3月增加4m2,每个月增长的面积不相等,
②错误;对于
③,4对应的t=2,经过
1.5月后面积是
23.5==<12,故
③错误;对于
④,函数y=f(t)=2t在R上是增函数,∴y′=f′(x)>0,∴对任意t1,t2,都有成立,故
④正确;对于
⑤,令2=,3=,6=,解得x1=1,x2=log23,x3=log26,又∵1+log23=log22+log23=log22×3=log26,∴x1+x2=x3成立,
⑤正确.故答案为
①④⑤.
二、填空题(本题6个小题,每小题5分,共30分)9.计算的结果是
1.6 .【考点】对数的运算性质.【分析】根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可.【解答】解=1﹣
0.4+lg2+lg5=
0.6+1=
1.6,故答案为
1.6. 10.若a>0且a≠1,则函数y=ax﹣2﹣1的图象必过定点 (2,0) .【考点】指数函数的图象与性质.【分析】由a0=1令x﹣2=0,求出x的值,再求出对应y的值即可.【解答】解∵a0=1,∴令x﹣2=0,则x=2,故y=1﹣1=0,故函数y=ax﹣2﹣1的图象必过定点(2,0).故答案为(2,0). 11.有以下判断
①与是同一个函数;
②y=2x﹣1与y=2t﹣1是同一个函数;
③y=f(x)与直线x=2的交点最多有一个;
④y=1不是函数.其中正确的序号为
②③ .【考点】函数的概念及其构成要素.【分析】通过求函数的定义域和对应法则即可判断两个函数是否为同一函数,从而判断出
①②的正误,根据函数的定义便可判断
③正确,而y=1是常数函数,从而可判断出
④错误.【解答】解
①的定义域为{x|x≠0},的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数,∴该判断错误;
②y=2x﹣1与y=2t﹣1的定义域和对应法则都相同,是同一函数,∴该判断正确;
③对于y=f(x)中任意一个x都有唯一的y和它对应,∴y=f(x)与直线x=2的交点最多一个,∴该判断正确;
④y=1为常数函数,∴该判断错误;∴正确的序号为
②③.故答案为
②③. 12.函数f(x)=x2+(2﹣k)x+1在[﹣2,2]上是单调函数,则k的取值范围为 (﹣∞,﹣2]∪[6,+∞) .【考点】二次函数的性质.【分析】若函数f(x)=x2+(2﹣k)x+1在[﹣2,2]上是单调函数,则≤﹣2,或≥2,解得答案.【解答】解函数f(x)=x2+(2﹣k)x+1的图象是开口朝上,且以直线x=为对称轴的抛物线,若函数f(x)=x2+(2﹣k)x+1在[﹣2,2]上是单调函数,则≤﹣2,或≥2,解得k∈(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞),故答案为(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞) 13.函数定义域为 (﹣∞,2) ;值域为 (﹣2,+∞) .【考点】对数函数的图象与性质.【分析】由9﹣3x>0,解得x范围,可得函数f(x)的定义域.由9>9﹣3x>0,可得>.可得函数f(x)的值域.【解答】解由9﹣3x>0,解得x<2,可得函数定义域为(﹣∞,2).由9>9﹣3x>0,可得>=﹣2.因此函数f(x)的值域为(﹣2,+∞).故答案分别为(﹣∞,2),(﹣2,+∞). 14.已知f是有序数对集合M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一个映射,正整数数对(x,y)在映射f下的象为实数z,记作f(x,y)=z.对于任意的正整数m,n(m>n),映射f由表给出(x,y)(n,n)(m,n)(n,m)f(x,y)nm﹣nm+n则f(3,5)= 8 ,使不等式f(2x,x)≤4成立的x的集合是 {1,2} .【考点】映射;其他不等式的解法.【分析】根据已知中f(n,n)=n,f(m,n)=m﹣n,(n,m)=m+n,(m>n),可求出f(3,5),进而将不等式f(2x,x)≤4转化为2x﹣x≤4,列举出满足条件的x值,可得答案.【解答】解∵3<5,故f(3,5)=3+5=8;∵2x>x恒成立,故f(2x,x)=2x﹣x,当x=1时,f(2x,x)=2﹣1=1≤4成立,当x=2时,f(2x,x)=22﹣2=2≤4成立,当x≥3时,f(2x,x)>23﹣3=5,故使不等式f(2x,x)≤4成立的x的集合是{1,2}故答案为8,{1,2}.
三、解答题(本题6个小题,共80分)15.已知集合,B={x|x2﹣12x+20<0},C={x|5﹣a<x<a},
(1)求A∪B,(∁RA)∩B;
(2)若C⊆(A∪B),求实数a的取值范围.【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算.【分析】
(1)通过解分式不等式求得集合A,根据对数函数的定义域求得集合B,再利用数轴进行数集的交、并、补运算;
(2)根据C⊆(A∪B),分C=∅和C≠∅,求得a的取值范围.【解答】解
(1)={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},∴A∪B={x|2<x<10},∵CRA={x|x<3或x≥7},∴(CRA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10};
(2)由
(1)知A∪B={x|2<x<10},
①当C=φ时,满足C⊆(A∪B),此时5﹣a≥a,得;
②当C≠φ时,要C⊆(A∪B),则,解得.由
①②得可知a的取值范围a≤3. 16.已知函数.
(1)求的值;
(2)画出函数的图象,并根据图象写出函数的值域和单调区间;
(3)若方程f(x)=m有四个根,求实数m的取值范围,并求出这四个根的和.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值;函数的零点与方程根的关系.【分析】
(1)利用分段函数,直接代入求值即可.
(2)根据分段函数,作出函数的图象,结合图象确定函数的值域和单调区间.
(3)利用方程f(x)=m有四个根,建立条件关系,求实数m的取值范围.【解答】解
(1).
(2)由图象可知,函数的值域是(﹣∞,1],单调增区间(﹣∞,﹣1]和[0,1],减区间[﹣1,0]和[1,+∞).
(3)∵方程f(x)=m有四个根,∴根据图象可得实数m的取值范围是0<m<1,由图象判断f(x)是偶函数,所以这四个根的和是0. 17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,
(1)求函数f(x)的值域A;
(2)解不等式f(lgx)>f(﹣1);
(3)设函数的定义域为集合B,若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.【考点】函数奇偶性的性质.【分析】
(1)利用函数偶函数的性质,转化为求当x≥0时的取值范围即可.
(2)根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可.
(3)求出集合B,利用集合的关系建立不等式关系即可得到结论.【解答】解
(1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数,可得函数f(x)的值域A即为x≥0时,f(x)的取值范围.当x≥0时,,故函数f(x)的值域A=(0,1].
(2)当x≥0时,则函数为减函数,∵f(lgx)>f(﹣1),∴不等式等价为f(|lgx|)>f
(1),即|lgx|<1,∴﹣1<lgx<1解得,即不等式的解集为(,10),
(3)∵∴函数g(x)的定义域B={x|﹣x2+(a﹣1)x+a≥0}={x|(x﹣a)(x+1)≤0}若a≤﹣1,则B={x|a≤x≤﹣1},此时A∩B=∅,不符合题意,故a>﹣1,即B={x|﹣1<x<a},∵A∩B≠∅,所以a>0,综上所述,a的取值范围为a>0. 18.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为吨(0≤t≤24)
(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,写出y关于t的函数表达式;
(2)求从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(3)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?【考点】函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法;分段函数的应用.【分析】
(1)t小时后蓄水池中的水量为y吨,根据条件建立方程关系即可.
(2)根据函数关系转化为一元二次函数形式进行求解.
(3)根据条件建立不等式关系进行求解.【解答】解
(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则(0≤t≤24)
(2)令,则x2=6t(0≤x≤12)即y=400+10x2﹣120x=10(x﹣6)2+40(0≤x≤12)∴当x=6时,即t=6时,ymin=40即从供水开始到第6个小时时,蓄水池水量最少,最少水量为40吨.
(3)依题意,400+10x2﹣120x<80,得x2﹣12x+32<0解得4<x<8,即,解得由,所以每天约有8小时供水紧张. 19.已知f(x)=loga(a>0,且a≠1,m≠﹣1)是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,
(1)求f
(0)的值和实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)若f()>0且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0成立,求实数b的取值范围.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】
(1)根据奇函数的特性,可得f
(0)=0,再由f(﹣x)=﹣f(x),m≠﹣1,可得实数m的值;
(2)结合对数函数的图象和性质,及复合函数同增异减的原则,可得函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调性;
(3)由f()>0,可得函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调递增,结合函数的定义域和奇偶性,解不等式,可得实数b的取值范围.【解答】解
(1)∵f(x)=loga(a>0,且a≠1,m≠﹣1)是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,∴f
(0)=0,且f(﹣x)=﹣f(x),即=﹣,即+==loga1=0,故m2=1,又∵m≠﹣1,故m=1,
(2)由
(1)得f(x)==,令t=,则t在区间(﹣1,1)上单调递减,当0<a<1时,y=logat为减函数,此时函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调递增;当a>1时,y=logat为增函数,此时函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调递减;
(3)若f()=>0,则0<a<1,由
(1)得,函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调递增,若f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,则f(b﹣2)>﹣f(2b﹣2),则f(b﹣2)>f(2﹣2b),则﹣1<2﹣2b<b﹣2<1,解得b∈(,) 20.已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当a,b∈[﹣2,2],且a+b≠0时,有.
(1)比较f
(1)与f
(0)的大小;
(2)若m>n,试比较f(m)与f(n)的大小;
(3)若f
(2)=1,f(x)≤t2﹣2bt+1,对所有x∈[﹣2,2],b∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.【分析】
(1)根据奇函数的定义可知f
(0)=0,结合条件,令a=1,b=0,得出f
(1)>f
(0);
(2)只需判断函数的单调性即可.根据定义,只需分别令a=x1,b=﹣x2,得出函数的单调性.
(3)恒成立问题可转化为1≤t2﹣2bt+1恒成立,只需求出右式的最小值即可.构造函数记g(b)=﹣2tb+t2,看成关于b的一次函数,通过讨论t,确定函数的单调性,求出最值即可.【解答】解
(1)∵f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数∴f
(0)=0∵,令a=1,b=0∴,即f
(1)>0∴f
(1)>f
(0)
(2)设x1,x2∈[﹣2,2],且x1<x2,在中,令a=x1,b=﹣x2则∵x1<x2,∴x1﹣x2<0又∵f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,∴f(﹣x2)=﹣f(x2)则∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)故f(x)在[﹣2,2]上为增函数∵m>n∴f(m)>f(n)
(3)∵f
(2)=1,且f(x)在[﹣2,2]上为增函数,对所有x∈[﹣2,2],b∈[﹣1,1]总有f(x)≤t2﹣2bt+1恒成立∴应有1≤t2﹣2bt+1恒成,即t2﹣2bt≥0对于任意b∈[﹣1,1]恒成立记g(b)=﹣2tb+t2,若对所有b∈[﹣1,1],总有g(b)≥0成立,则只需g(b)在[﹣1,1]上的最小值不小于零即可.
①当t=0时,g(b)=0,满足题意;
②当t>0时,g(b)=﹣2tb+t2是减函数,故在[﹣1,1]上,g(b)在b=1处取得最小值,则需满足g
(1)=﹣2t+t2≥0,解得t≥2或t≤0(舍);
③当t<0时,g(b)=﹣2tb+t2是增函数,故在[﹣1,1]上,g(b)在b=﹣1处取得最小值,则需满足g(﹣1)=2t+t2≥0,解得t≤﹣2或t≥0(舍);综上所述,t的取值范围为t∈(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞) xx年1月4日。