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2019-2020年高一上学期第一次月考数学试卷含解析I
一、填空题(写出必要的演算过程)(每题5分)1.全集U={2,3,4,5,6},集合A={2,5,6},B={3,5},则(∁UA)∩B= .2.集合A={x|﹣1<x<2},则集合A∩Z的真子集个数为 .3.已知A={x|x﹣a>0},B={x|x≤0},若A∩B=∅,则a的取值范围是 .4.函数f(x)=x2﹣2x﹣3的单调减区间是 .5.已知函数f(x)=ax+b,且f
(3)=7,f
(5)=﹣1,那么f
(0)= .6.若集合A={x|kx2+4x+4=0},x∈R中只有一个元素,则实数k的值为 .7.已知函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围为 .8.设A={x|y=},B={y|y=2},则A与B的关系是 .9.设A={(x,y)|y=﹣4x+6},B={(x,y)|y=5x﹣3},则A∩B= .10.设函数f(x)=则f[f(﹣1)]的值为 .11.已知函数f(x)=|x|,在
①y=,
②,
③y=,
④y=中与f(x)为同一函数的函数的为 .(填序号)12.若集合M={x|x2+x﹣6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},且N⊆M,则a的取值的集合为 .13.已知函数y=,若f(x)=5,则x的值是 .14.已知含有三个元素的集合{a,,1}={a2,a+b,0},则axx+bxx= .
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来.16.
(1)求函数y=+(x﹣3)0的定义域.
(2)求函数y=2x﹣的值域.17.已知某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n.
(1)求一天生产1000双皮鞋的成本;
(2)如果某天的生产成本是48000元,那么这一天生产了多少双皮鞋?
(3)若每双皮鞋的售价为90元,且生产的皮鞋全部售出,试写出这一天的利润P关于这一天生产数量n的函数关系式,并求出每天至少生产多少双皮鞋,才能不亏本?18.已知f(x)是二次函数,且满足f
(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x,求f(x)的表达式.19.设函数f(x)=x2﹣2|x|﹣1.
(1)求证f(x)是偶函数;
(2)画出函数f(x)的图象,并写出f(x)增区间;
(3)若方程f(x)=a有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.20.设函数f(x)=x+,其中常数λ>0.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若λ=1,判断f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(3)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求常数λ的取值范围. xx江苏省泰州市姜堰市区艺术中学高一(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题(写出必要的演算过程)(每题5分)1.全集U={2,3,4,5,6},集合A={2,5,6},B={3,5},则(∁UA)∩B= {3} .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据补集与交集的定义计算即可.【解答】解U={2,3,4,5,6},集合A={2,5,6},B={3,5},所以∁UA={3,4},所以(∁UA)∩B={3}.故答案为{3}. 2.集合A={x|﹣1<x<2},则集合A∩Z的真子集个数为 3 .【考点】子集与真子集;交集及其运算.【分析】由题意用列举法写出集合,然后推出真子集的个数.【解答】解集合{x|﹣1<x≤2,x∈Z}={0,1},所以集合的真子集的个数为22﹣1=3.故答案为3. 3.已知A={x|x﹣a>0},B={x|x≤0},若A∩B=∅,则a的取值范围是 a≥0 .【考点】交集及其运算.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可.【解答】解由A中不等式解得x>a,即A={x|x>a},∵B={x|x≤0},且A∩B=∅,∴a的取值范围是a≥0,故答案为a≥0 4.函数f(x)=x2﹣2x﹣3的单调减区间是 (﹣∞,1] .【考点】二次函数的性质.【分析】分析二次函数图象的开口方向和对称轴方程,进而可得函数的单调区间.【解答】解函数f(x)=x2﹣2x﹣3的图象是开口朝上,且以直线x=1为对称轴的抛物线,故函数f(x)=x2﹣2x﹣3的单调减区间是(﹣∞,1],故答案为(﹣∞,1]. 5.已知函数f(x)=ax+b,且f
(3)=7,f
(5)=﹣1,那么f
(0)= 19 .【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】利用f
(3)=7,f
(5)=﹣1,求解出a,b的值,可得f(x)的解析式,在求f
(0)即可.【解答】解函数f(x)=ax+b,∵f
(3)=7,f
(5)=﹣1,∴,解得a=﹣4,b=19.故得f(x)=﹣4x+19.那么f
(0)=4×0+19=19.故答案为19. 6.若集合A={x|kx2+4x+4=0},x∈R中只有一个元素,则实数k的值为 0或1 .【考点】集合关系中的参数取值问题.【分析】集合A表示的是方程的解;讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意;再讨论二次项系数非0时,令判别式等于0即可.【解答】解当k=0时,A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意当k≠0时,要集合A仅含一个元素需满足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值为0;1故答案为0或1 7.已知函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围为 m≥0 .【考点】函数的定义域及其求法;函数恒成立问题.【分析】根据函数定义域为R,转化为不等式mx2﹣2mx+m+2≥0恒成立,即可得到结论.【解答】解∵函数y=的定义域为R,∴不等式mx2﹣2mx+m+2≥0恒成立,当m=0时,不等式等价为2≥0,此时满足条件.当m≠0,要使不等式恒成立,则满足,即,∴m>0,综上m≥0,即实数m的取值范围为m≥0,故答案为m≥0 8.设A={x|y=},B={y|y=2},则A与B的关系是 A⊊B .【考点】集合的表示法.【分析】通过计算得到集合A、B,然后根据真子集的定义便得到A⊊B.【解答】解A={x|y=}=[1,+∞),B={y|y=2}=[0,+∞),所以A的元素都是B的元素;所以A⊊B.故答案为A⊊B. 9.设A={(x,y)|y=﹣4x+6},B={(x,y)|y=5x﹣3},则A∩B= {(1,2)} .【考点】交集及其运算.【分析】直接联立方程组,求出方程组是解,就是A与B的交集.【解答】解由题意可知A={(x,y)|y=﹣4x+6},B={(x,y)|y=5x﹣3},所以解得,所以A∩B={(1,2)}.故答案为{(1,2)}. 10.设函数f(x)=则f[f(﹣1)]的值为 4 .【考点】函数的值.【分析】由函数f(x)=,知f(﹣1)=(﹣1)2+1=2,所以f[f(﹣1)]=f
(2),由此能求出结果.【解答】解∵函数f(x)=,∴f(﹣1)=(﹣1)2+1=2,∴f[f(﹣1)]=f
(2)=22+2﹣2=4,故答案为4. 11.已知函数f(x)=|x|,在
①y=,
②,
③y=,
④y=中与f(x)为同一函数的函数的为
① .(填序号)【考点】判断两个函数是否为同一函数.【分析】判断函数的定义域相同,对应关系也相同,这样的两个函数是同一函数.【解答】解∵f(x)=|x|,x∈R;∴
①y==|x|,x∈R,定义域相同,对应关系也相同,∴是同一函数;
②y==x,(x≥0),定义域不不同,∴不是同一函数;
③y==x,(x≠0),定义域不同,∴不是同一函数;
④y==|x|,(x≠0),定义域不同,∴不是同一函数;综上,与f(x)是同一函数的是
①.故答案为
①. 12.若集合M={x|x2+x﹣6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},且N⊆M,则a的取值的集合为 {﹣1,0,} .【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】化简集合M,根据N⊆M,建立条件关系,根据集合的基本运算即可求a的取值.【解答】解依题意得M={x|x2+x﹣6=0}={﹣3,2},N={x|ax+2=0,a∈R},∵N⊆M所以集合N可分为{﹣3},{2},或∅.
①当N=∅时,即方程ax+2=0无实根,所以a=0,符合题意;
②当N={﹣3}时,有﹣3是方程ax+2=0的根,所以a=,符合题意;
③当N={2}时,有2是方程ax+2=0的根,所以a=﹣1,符合题意;综上所得,a=0或a=或a=﹣1,所以a的取值的集合为{﹣1,0,}.故答案为{﹣1,0,}. 13.已知函数y=,若f(x)=5,则x的值是 ﹣2或 .【考点】函数零点的判定定理;函数的值;分段函数的应用.【分析】利用分段函数的解析式列出方程求解即可.【解答】解函数y=,若f(x)=5,可得x≤0时,x2+1=5,解得x=﹣2.x>0时,2x=5,解得x=.故答案为﹣2或. 14.已知含有三个元素的集合{a,,1}={a2,a+b,0},则axx+bxx= 1 .【考点】集合的相等.【分析】由集合相等的条件是两集合中的元素完全相等,建立元素之间的方程可求a,b.【解答】解由题意分析知a≠0,由两个集合相等得或,解得或,经检验b=0,a=1不合题意,∴b=0,a=﹣1,所以axx+bxx=1,故答案为1.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来.【考点】集合关系中的参数取值问题;元素与集合关系的判断.【分析】
(1)若A是空集,则方程ax2﹣3x+2=0无解,故△=9﹣8a<0,由此解得a的取值范围.
(2)若A中只有一个元素,则a=0或△=9﹣8a=0,求出a的值,再把a的值代入方程ax2﹣3x+2=0,解得x的值,即为所求【解答】解
(1)若A是空集,则方程ax2﹣3x+2=0无解,故△=9﹣8a<0,解得a>,故a的取值范围为(,+∞).
(2)若A中只有一个元素,则a=0或△=9﹣8a=0,解得a=0或a=.当a=0时,解ax2﹣3x+2=0可得x=.当a=时,解ax2﹣3x+2=0可得x=.故A中的元素为和. 16.
(1)求函数y=+(x﹣3)0的定义域.
(2)求函数y=2x﹣的值域.【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.【分析】
(1)根据函数解析式有意义,列不等式组求解.
(2)利用换元法求解函数的值域.【解答】解
(1)函数y=+(x﹣3)0其定义域需满足.解得x≥﹣2且x≠0,x≠3.∴函数y=+(x﹣3)0的定义域为{x|x≥﹣2且x≠0,x≠3}.
(2)函数y=2x﹣,令t=,(t≥0),那么x=t2+1.则函数y=2x﹣转化为f(t)=2(t2+1)﹣t.整理得f(t)=2t2﹣t+2.(t≥0)根据二次函数的性质可知开口向上,对称轴t=,当t=时,函数f(t)取得最小值为.∴函数y=2x﹣的值域为[,+∞). 17.已知某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n.
(1)求一天生产1000双皮鞋的成本;
(2)如果某天的生产成本是48000元,那么这一天生产了多少双皮鞋?
(3)若每双皮鞋的售价为90元,且生产的皮鞋全部售出,试写出这一天的利润P关于这一天生产数量n的函数关系式,并求出每天至少生产多少双皮鞋,才能不亏本?【考点】函数模型的选择与应用.【分析】
(1)令n=1000,根据生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n,即可求解;
(2)令C=48000,生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n,即可求解;
(3)根据题意建立p(n)的关系,然后根据要不亏本,必须p(n)≥0,求出n的范围即可.【解答】解
(1)∵生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n∴n=1000时,C=4000+50000=54000;
(2)令C=4000+50n=48000,解得n=880;
(3)由题意得∵某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n∴p(n)=90n﹣=40n﹣4000(n∈N+)要不亏本,必须p(n)≥0,解得n≥100.即每天至少生产100双皮鞋,才能不亏本. 18.已知f(x)是二次函数,且满足f
(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x,求f(x)的表达式.【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】先由二次函数,设出其解析式,再利用f
(0)=1,求得c,再利用待定系数法应用f(x+1)﹣f(x)=2x求解.【解答】解设f(x)=ax2+bx+c由f
(0)=1得c=1∴f(x)=ax2+bx+1∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+a+b+1∴f(x+1)﹣f(x)=ax2+(2a+b)x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1=2ax+a+b∵f(x+1)﹣f(x)=2x∴2ax+a+b=2x∴2a=2且a+b=0∴a=1,b=﹣1∴f(x)=x2﹣x+1 19.设函数f(x)=x2﹣2|x|﹣1.
(1)求证f(x)是偶函数;
(2)画出函数f(x)的图象,并写出f(x)增区间;
(3)若方程f(x)=a有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.【考点】二次函数的性质.【分析】
(1)根据已知中函数解析式可得f(﹣x)=f(x),结合偶函数定义,可得答案;
(2)根据二次函数的图象和性质,可得函数图象,数形结合,要得函数的单调增区间;
(3)由
(2)中的图象可得当a=﹣2,或a>﹣1时,方程f(x)=a有两个不相等的实数根.【解答】证明
(1)函数f(x)=x2﹣2|x|﹣1的定义域R关于原点对称,又由f(﹣x)=(﹣x)2﹣2|﹣x|﹣1=x2﹣2|x|﹣1=f(x),故f(x)是偶函数;
(2)函数f(x)的图象如下图所示由图可得函数f(x)的递增区间为[﹣1,0],[1,+∞)
(3)由
(2)中的图象可得当a=﹣2,或a>﹣1时,方程f(x)=a有两个不相等的实数根. 20.设函数f(x)=x+,其中常数λ>0.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若λ=1,判断f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(3)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求常数λ的取值范围.【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的性质.【分析】
(1)函数的定义域为R,且f(﹣x)=﹣x+=﹣f(x),可得函数为奇函数.
(2)任取1≤x1<x2,计算f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)•<0,可得f(x1)<f(x2),从而得到函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)任取1≤x1<x2,根据f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)•,且函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调递增,可得f(x1)﹣f(x2)<0,即λ<x1•x2对1≤x1<x2恒成立.再由1<x1•x2,可得λ的范围.【解答】解
(1)由于函数f(x)=x+,其中常数λ>0,故函数的定义域为R,且f(﹣x)=﹣x+=﹣f(x),故函数为奇函数.
(2)函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明任取1≤x1<x2,∵f(x1)﹣f(x2)=(x1+)﹣(x2+)=(x1﹣x2)+=(x1﹣x2)•,由1≤x1<x2,可得x1﹣x2<0,x1•x2,>1,∴f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.…
(3)任取1≤x1<x2,∵f(x1)﹣f(x2)=(x1+)﹣(x2+)=)=(x1﹣x2)+λ•=(x1﹣x2)•,且函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调递增.∴f(x1)﹣f(x2)<0,∴x1•x2﹣λ>0对1≤x1<x2恒成立,∴λ<x1•x2,再由1<x1•x2,可得0<λ≤1.… xx年1月8日。