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2019-2020年高一数学上学期期末试卷(含解析)V
一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)下列集合中,结果是空集的是()A.{x∈R|x2﹣1=0}B.{x|x>6或x<1}C.{(x,y)|x2+y2=0}D.{x|x>6且x<1}2.(5分)有以下四个结论
①lg(lg10)=0
②lg(lne)=0
③若10=lgx,则x=10
④若e=lnx,则x=e2,其中正确的是()A.
①③B.
②④C.
①②D.
③④3.(5分)已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线4.(5分)直线y=kx+b通过第
一、
三、四象限,则有()A.d>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<05.(5分)如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,那么实数a等于()A.﹣6B.﹣3C.D.6.(5分)函数f(x)=2x+x﹣4的零点坐在的区间为()A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7.(5分)圆x2+y2﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y﹣2=0B.x+y﹣4=0C.x﹣y+4=0D.x﹣y+2=08.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣b,4)且cosα=﹣,则b的值等于()A.3B.﹣3C.±3D.59.(5分)已知偶函数f(x)在区间13.(5分)设某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为14.(5分)矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D,则四面体ABCD的体积为.15.(5分)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24),则每天点时蓄水池中的存水量最少.
三、解答题16.(12分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3),M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程;
(2)求中线AM的长.17.(12分)已知函数f(x)=()2﹣2x(a>0,a≠1)的图象恒经过与a无关的定点A,
(1)求点A的坐标
(2)若偶函数g(x)=ax2+bx﹣c,x∈的图象过点A,求a,b,c的值.18.(12分)在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且EB=AB=2,CD=1,
(1)求二面角D﹣AB﹣C的正切值
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.19.(13分)已知圆C的方程为x2﹣y2﹣2x﹣4y+m=0
(1)若圆C的半径为2,求m的值
(2)若圆C与直线l x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值.20.(13分)正方形ABCD与正方形ABEF互相垂直,点M,N,G分别是AE,BC,CE的中点,AB=2,
(1)求证BE⊥MG
(2)求证MN∥平面EFDC
(3)求多面体A﹣EFDC的体积.21.(13分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈,就有f(x+t)≤x.湖南省常德一中xx高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)下列集合中,结果是空集的是()A.{x∈R|x2﹣1=0}B.{x|x>6或x<1}C.{(x,y)|x2+y2=0}D.{x|x>6且x<1}考点空集的定义、性质及运算.专题集合.分析根据集合的定义分别判断元素即可.解答解A.{x∈R|x2﹣1=0}={1,﹣1},B.{x|x>6或x<1}不是空集,C.{(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},D.{x|x>6且x<1}=∅,故选D点评本题主要考查集合元素的判断,比较基础.2.(5分)有以下四个结论
①lg(lg10)=0
②lg(lne)=0
③若10=lgx,则x=10
④若e=lnx,则x=e2,其中正确的是()A.
①③B.
②④C.
①②D.
③④考点对数的运算性质.专题计算题.分析通过底数的对数是1,1的对数为0判断出
①②对;通过对数式与指数式间的转化判断出
③④错.解答解对于
①∵lg(lg10)=lg1=lg0,故
①对对于
②∵lg(lne)=lg1=0∴
②对对于
③,∵10=lgx∴x=1010∴
③错对于
④,∵e=lnx∴x=ee∴
④错故选C点评本题考查两个特殊的对数值底数的对数是1,1的对数为
0、考查对数式与指数式间的互化.3.(5分)已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线考点平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论.分析由题意知B点与a确定唯一的一个平面γ,则γ与β相交且交线仅有一条,再由α∥β知a∥b.解答解B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交,设交线为b,由面面平行的性质定理知a∥b.故选D.点评本题考查了确定平面的依据和面面平行的性质定理,是基础题.4.(5分)直线y=kx+b通过第
一、
三、四象限,则有()A.d>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0考点一次函数的性质与图象.专题直线与圆.分析根据直线斜率和截距之间的关系进行判断求解即可.解答解若直线y=kx+b通过第
一、
三、四象限,则必有k>0,b<0,故选B.点评本题主要考查直线方程的应用,比较基础.5.(5分)如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,那么实数a等于()A.﹣6B.﹣3C.D.考点直线的一般式方程与直线的平行关系.专题计算题.分析根据它们的斜率相等,可得=3,解方程求a的值.解答解∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,∴它们的斜率相等,∴=3,∴a=﹣6.故选A.点评本题考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等.6.(5分)函数f(x)=2x+x﹣4的零点坐在的区间为()A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)考点二分法求方程的近似解.专题计算题;函数的性质及应用.分析可判断函数f(x)=2x+x﹣4在其定义域上连续且单调递增,从而利用函数零点判定定理判断即可.解答解易知函数f(x)=2x+x﹣4在其定义域上连续且单调递增,f
(0)=1﹣4<0,f
(1)=2+1﹣4<0,f
(2)=4+2﹣4=2>0;故函数f(x)=2x+x﹣4的零点坐在的区间为(1,2);故选C.点评本题考查了函数零点判定定理的应用,属于基础题.7.(5分)圆x2+y2﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y﹣2=0B.x+y﹣4=0C.x﹣y+4=0D.x﹣y+2=0考点圆的切线方程.专题计算题.分析本题考查的知识点为圆的切线方程.
(1)我们可设出直线的点斜式方程,联立直线和圆的方程,根据一元二次方程根与图象交点间的关系,得到对应的方程有且只有一个实根,即△=0,求出k值后,进而求出直线方程.
(2)由于点在圆上,我们也可以切线的性质定理,即此时切线与过切点的半径垂直,进行求出切线的方程.解答解法一x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+(kx﹣k+)2=0.该二次方程应有两相等实根,即△=0,解得k=.∴y﹣=(x﹣1),即x﹣y+2=0.法二∵点(1,)在圆x2+y2﹣4x=0上,∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又∵圆心为(2,0),∴•k=﹣1.解得k=,∴切线方程为x﹣y+2=0.故选D点评求过一定点的圆的切线方程,首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为切点,若点P(x0,y0)在圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x﹣a)(x0﹣a)+(y﹣b)(y0﹣b)=r2(r>0);若在圆外,切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个,应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.8.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣b,4)且cosα=﹣,则b的值等于()A.3B.﹣3C.±3D.5考点任意角的三角函数的定义.专题三角函数的求值.分析根据三角函数的定义建立方程关系即可.解答解∵角α的终边经过点P(﹣b,4)且cosα=﹣,∴cosα==﹣,则b>0,平方得,即b2=9,解得b=3或b=﹣3(舍),故选A点评本题主要考查三角函数的定义的应用,注意求出的b为正值.9.(5分)已知偶函数f(x)在区间故选A.点评本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式,在这里要注意本题与下面这道题的区别已知函数f(x)在区间考点异面直线的判定;棱锥的结构特征.专题计算题;压轴题.分析先在三角形BCD中求出a的范围,再在三角形AED中求出a的范围,二者相结合即可得到答案.解答解设四面体的底面是BCD,BC=a,BD=CD=1,顶点为A,AD=在三角形BCD中,因为两边之和大于第三边可得0<a<2
(1)取BC中点E,∵E是中点,直角三角形ACE全等于直角DCE,所以在三角形AED中,AE=ED=∵两边之和大于第三边∴<2得0<a<(负值0值舍)
(2)由
(1)
(2)得0<a<.故选A.点评本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置.解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论.
二、填空题(每小题5分,共25分)11.(5分)sinθ=且θ是第二象限的角,则cosθ=﹣.考点同角三角函数基本关系的运用.专题三角函数的求值.分析由条件利用同角三角函数的基本关系,求得cosθ的值.解答解sinθ=且θ是第二象限的角,则cosθ=﹣=﹣,故答案为﹣.点评本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.12.(5分)已知点A(﹣,1),点B在y轴上,直线AB的倾斜角为120°,则点B的坐标为(0,﹣2).考点直线的倾斜角.专题直线与圆.分析由题意设出B的坐标,由两点求出AB所在直线的斜率,结合直线的斜率等于倾斜角的正切值求解.解答解由题意设B(0,m),又点A(﹣,1),直线AB的倾斜角为120°,∴,即m=﹣2.∴点B的坐标为(0,﹣2).故答案为(0,﹣2).点评本题考查直线的倾斜角与斜率,考查了由两点的坐标求直线的斜率,是基础题.13.(5分)设某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为4考点由三视图求面积、体积.专题空间位置关系与距离.分析由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,分别求出底面面积和高,代入锥体体积公式,可得答案.解答解由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,棱锥的底面面积S==6,棱锥的高h=2,故棱锥的体积V==4,故答案为4.点评本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.14.(5分)矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D,则四面体ABCD的体积为.考点与二面角有关的立体几何综合题.专题计算题.分析先作BO⊥AC,可得BO⊥平面ADC;通过面积相等可得BO得长,在代入体积计算公式即可.解答解作BO⊥AC于O;∵是直二面角B﹣AC﹣D∴BO⊥平面ADC;在△ABC,AB=4,BC=3⇒AC=5;∵BO•AC=AB•BC⇒BO=.∴VB﹣ACD=•BO•S△ADC=×××3×4=.故答案为.点评本题主要考察与二面角有关的立体几何综合题.解决本题得关键在于根据面面垂直得到BO⊥平面ADC.15.(5分)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24),则每天点时蓄水池中的存水量最少.考点函数的最值及其几何意义.专题应用题;函数的性质及应用.分析根据题意先设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨.写出蓄水池中的存水量的函数表达式,再利用换元法求此函数的最小值即得.解答解设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨.则y=400+60t﹣100(0≤t≤24),设u=,则u∈,y=60u2﹣100u+400∴当u=即t=时,蓄水池中的存水量最少.故答案为.点评本小题主要考查函数模型的选择与应用,解决实际问题通常有四个步骤
(1)阅读理解,认真审题;
(2)引进数学符号,建立数学模型;
(3)利用数学的方法,得到数学结果;
(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.属于基础题.
三、解答题16.(12分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3),M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程;
(2)求中线AM的长.考点直线的一般式方程;中点坐标公式.专题计算题.分析
(1)已知A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1),根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程;
(2)根据中点坐标公式求出M的坐标,然后利用两点间的距离公式求出AM即可.解答解
(1)由两点式写方程得,即6x﹣y+11=0或直线AB的斜率为直线AB的方程为y﹣5=6(x+1)即6x﹣y+11=0
(2)设M的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式得故M(1,1)点评考查学生会根据条件写出直线的一般式方程,以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标,会用两点间的距离公式求两点间的距离.17.(12分)已知函数f(x)=()2﹣2x(a>0,a≠1)的图象恒经过与a无关的定点A,
(1)求点A的坐标
(2)若偶函数g(x)=ax2+bx﹣c,x∈的图象过点A,求a,b,c的值.考点指数函数综合题;二次函数的性质.专题计算题;函数的性质及应用.分析
(1)由指数函数的性质得,令2﹣2x=0即可;
(2)由题意知1﹣2c+c=0,b=0,g
(1)=1,从而解得.解答解
(1)令2﹣2x=0得,x=1,此时f
(1)=1,故A(1,1);
(2)∵g(x)是偶函数,∴1﹣2c+c=0,b=0;∴c=1,b=0;故g(x)=ax2﹣1,又∵g
(1)=a﹣1=1,∴a=2;故a=2,b=0,c=1.点评本题考查了指数函数与二次函数的性质应用,属于基础题.18.(12分)在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且EB=AB=2,CD=1,
(1)求二面角D﹣AB﹣C的正切值
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.考点直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.专题空间位置关系与距离.分析
(1)由条件证明AB⊥平面BEDC,可得∠DBC为二面角D﹣AB﹣C的平面角.解直角三角形BCD,求得tan∠DBC=的值.
(2)取BE得中点N,则DN⊥BE.由平面和平面垂直的性质可得DN⊥平面ABE,∠DAN即为AD与平面ABE所成角.再根据sin∠DAN=,求得结果.解答解
(1)等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,∴AB⊥BC.又BE和CD都垂直于平面ABC,∴AB⊥BE,∴AB⊥平面BEDC,∴∠DBC为二面角D﹣AB﹣C的平面角.直角三角形BCD中,由EB=AB=2,CD=1,可得tan∠DBC==.
(2)由于DB=DE=,故△DBE为等腰三角形,取BE得中点N,则DN⊥BE.由
(1)AB⊥平面BEDC,可得平面ABE⊥平面BEDC,且平面ABE和平面BEDC的交线为BE,故DN⊥平面ABE,∠DAN即为AD与平面ABE所成角.sin∠DAN===.点评本题主要考查直线和平面成的角的定义和求法,平面和平面垂直的性质,二面角的平面角的定义和求法,体现了转化的数学思想,属于中档题.19.(13分)已知圆C的方程为x2﹣y2﹣2x﹣4y+m=0
(1)若圆C的半径为2,求m的值
(2)若圆C与直线l x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值.考点圆的一般方程.专题直线与圆.分析
(1)配方可化圆的方程为标准方程(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m,由题意可得5﹣m=4,解方程可得;
(2)易得l到圆心(1,2)的距离d,|MN|=,由弦长公式可得m的方程,解方程可得.解答解
(1)化圆的方程为标准方程可得(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m,若圆C的半径为2,则5﹣m=4,解得m的值为1;
(2)由点到直线的距离公式可得l到圆心(1,2)的距离d==,由|MN|=可得|MN|=,由弦长公式可得5﹣m=()2+()2,解方程可得m=4.点评本题考查圆的一般方程,化为标准方程是解决问题的关键,属基础题.20.(13分)正方形ABCD与正方形ABEF互相垂直,点M,N,G分别是AE,BC,CE的中点,AB=2,
(1)求证BE⊥MG
(2)求证MN∥平面EFDC
(3)求多面体A﹣EFDC的体积.考点棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.专题空间位置关系与距离.分析
(1)由平面ABCD⊥平面ABEF,可得BE⊥AB,进一步得到BE⊥AC,再由中位线定理得到MG∥AC,则BE⊥MG;
(2)由M,N分别为BF,BC的中点,结合中位线定理得MN∥CF,再由线面平行的判断得答案;
(3)由题意可得平面EFDC⊥平面AFD,过A作AH⊥DF交DF于H,可得AH⊥平面EFDC,解直角三角形求得AH=,代入三棱锥的体积公式求得多面体A﹣EFDC的体积.解答
(1)证明如图,∵平面ABCD⊥平面ABEF,BE⊥AB,∴BE⊥平面ABCD,则BE⊥AC,由M,G分别为AE,CE的中点,可得MG∥AC,∴BE⊥MG;
(2)证明连接BF,则M,N分别为BF,BC的中点,∴MN∥CF,而CF⊂平面EFDC,MN⊄平面EFDC,∴MN∥平面EFDC;
(3)解由题意可得,平面EFDC⊥平面AFD,又AD=AF,且∠DAF=90°,过A作AH⊥DF交DF于H,∴AH⊥平面EFDC,在Rt△DAF中,由AD=AF=2,可得AH=,∴.点评本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.21.(13分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈点评本题
(1)主要考查了函数的中心对称问题若函数y=f(x)与y=g(x)关于点M(a,b)对称,则y=f(x)上的任意一点(x,y)关于M(a,b)对称的点(2a﹣x,2b﹣y)在函数y=g(x)的图象上.
(2)主要考查了函数的恒成立问题,往往转化为求最值问题m≥h(x)恒成立,则m≥h(x)maxm≤h(x)恒成立,则m≤h(x)min22.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件
(1)当x∈R时,f(x﹣4)=f(2﹣x),且f(x)≥x
(2)当x∈(0,2)时,f(x)≤;
(3)f(x)在R上的最小值为0.求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈,就有f(x+t)≤x.考点函数最值的应用;函数单调性的性质.专题计算题.分析通过三个条件先求出函数解析式f(x)=x2+x+,只要x∈,就有f(x+t)≤x.那么当x=1时也成立确定出t的范围,然后研究当x=m时也应成立,利用函数的单调性求出m的最值.解答解因f(x﹣4)=f(2﹣x),则函数的图象关于x=﹣1对称,∴=﹣1,b=2a,由
(3),x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,由
(1)得,f
(1)≥1,由
(2)得,f
(1)≤1,则f
(1)=1,即a+b+c=1.又a﹣b+c=0,则b=,a=,c=,故f(x)=x2+x+.假设存在t∈R,只要x∈,就有f(x+t)≤x.取x=1,有f(t+1)≤1,即(t+1)2+(t+1)+≤1,解得﹣4≤t≤0,对固定的t∈,取x=m,有f(t+m)≤m,即(t+m)2+(t+m)+≤m.化简有m2﹣2(1﹣t)m+(t2+2t+1)≤0,解得1﹣t﹣≤m≤1﹣t+,故m≤1﹣t﹣≤1﹣(﹣4)+=9当t=﹣4时,对任意的x∈,恒有f(x﹣4)﹣x=(x2﹣10x+9)=(x﹣1)(x﹣9)≤0.∴m的最大值为9.另解∵f(x﹣4)=f(2﹣x)∴函数的图象关于x=﹣1对称∴b=2a由
③知当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0由
①得f
(1)≥1,由
②得f
(1)≤1∴f
(1)=1,即a+b+c=1,又a﹣b+c=0∴a=,b=,c=∴f(x)=…(5分)假设存在t∈R,只要x∈,就有f(x+t)≤x取x=1时,有f(t+1)≤1⇒(t+1)2+(t+1)+≤1⇒﹣4≤t≤0对固定的t∈,取x=m,有f(t+m)≤m⇒(t+m)2+(t+m)+≤m⇒m2﹣2(1﹣t)m+(t2+2t+1)≤0⇒≤m≤…(10分)∴m≤≤=9…(15分)当t=﹣4时,对任意的x∈,恒有f(x﹣4)﹣x=(x2﹣10x+9)=(x﹣1)(x﹣9)≤0∴m的最大值为9.…点评本题考查了函数的最值问题,以及利用函数单调性进行求解最值,考查了学生的计算能力,属于中档题.。