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2019-2020年高一数学下学期期中试卷(含解析)I一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.全集U=R,A={x|x2>4},B={x|log3x<1},则A∩B=()A.{x|x<﹣2}B.{x|2<x<3}C.{x|x>3}D.{x|x<﹣2或2<x<3}2.cos(﹣2640°)+sin1665°=()A.B.﹣C.D.﹣3.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x﹣1,则=()A.B.C.D.4.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是()A.y=cos2xB.y=2cos2xC.D.y=2sin2x5.函数y=2sin2(x﹣)﹣1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数6.函数的大致图象为()A.B.C.D.7.已知函数y=tanωx在上是减函数,则()A.0<ω≤1B.﹣1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤﹣18.已知点P在△ABC所在平面内,且,则点P是△ABC的()A.重心B.外心C.垂心D.内心9.已知sin2α=﹣,α∈(﹣,0),则sinα+cosα=()A.B.﹣C.﹣D.10.已知向量=(cosθ,sinθ),向量=(,﹣1)则|2﹣|的最大值,最小值分别是()A.4,0B.4,4C.16,0D.4,011.已知与为互相垂直的单位向量,,且与的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.(,+∞)C.(﹣2,)D.(﹣)12.设是两个不共线的向量,其夹角为θ(θ≠90°),若函数在(0,+∞)上有最大值,则()A.,且θ为钝角B.,且θ为锐角C.,且θ为钝角D.,且θ为锐角二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知向量,若,则x﹣y=.14.已知向量,则向量在向量方向上的投影为.15.已知f(x)=ax+bsin3x+3且f(﹣3)=7,则f
(3)=.16.设向量,向量,其中λ,m,α为实数.若向量,则的取值范围为.三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.已知集合A是函数的定义域,集合B是函数g(x)=2x+1的值域.
(1)求集合A∩B;
(2)设集合C={x|x<a},若集合A∩C=A,求实数a的取值范围.18.某车间20名工人年龄数据如下表年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.19.对于函数f(x)=a﹣
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数,若存在,求出a的取值;若不存在,说明理由?20.已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|﹣|=,求证⊥;
(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值.21.已知,,求sinα及.22.函数f(x)=2asin2x﹣2asinxcosx+a+b,x,值域为[﹣5,1],求a,b的值.附加题(本大题共3小题,每小题0分,共15分,把答案填在答卷纸的相应位置上)23.关于x的方程(x2﹣1)2﹣|x2﹣1|+k=0,给出下列四个题
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.正确命题的序号为.24.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得DE=2CD.动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,=λ+μ.则λ﹣μ的取值范围为.25.sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.山西省忻州一中xx高一下学期期中数学试卷一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.全集U=R,A={x|x2>4},B={x|log3x<1},则A∩B=()A.{x|x<﹣2}B.{x|2<x<3}C.{x|x>3}D.{x|x<﹣2或2<x<3}考点交集及其运算.专题计算题.分析求出集合A、集合B,然后求出两个集合的交集即可.解答解A={x|x2>4}={x|x>2或x<﹣2},B={x|log3x<1}={x|0<x<3},所以A∩B={x|x>2或x<﹣2}∩{x|0<x<3}={x|2<x<3},故选B点评本题考查集合间的交集的运算,注意不等式的解集,借助数轴解答或者韦恩图,是解答集合问题的常用方法,本题是基础题.2.cos(﹣2640°)+sin1665°=()A.B.﹣C.D.﹣考点运用诱导公式化简求值.专题三角函数的求值.分析运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值.解答解cos(﹣2640°)+sin1665°=cos(360°×7+120°)+sin(360°×4+225°)=cos(180°﹣60°)+sin(180°+45°)=﹣cos60°﹣sin45°=﹣.故选D.点评本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.3.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x﹣1,则=()A.B.C.D.考点函数的值.专题函数的性质及应用.分析先利用函数的周期性将=化为,再利用奇函数的性质即可把自变量化到区间(0,1)内,进而求出答案.解答解∵函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴==.又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴.∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x﹣1,∴==.∴.故选B.点评掌握函数的周期性和奇偶性是解决此问题的关键.4.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是()A.y=cos2xB.y=2cos2xC.D.y=2sin2x考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题计算题;三角函数的图像与性质.分析利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案.解答解令y=f(x)=sin2x,则f(x+)=sin2(x+)=cos2x,再将f(x+)的图象向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x,故选B.点评本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查升幂公式的应用,属于中档题.5.函数y=2sin2(x﹣)﹣1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数考点三角函数的周期性及其求法.专题三角函数的图像与性质.分析由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性和奇偶性,得出结论.解答解函数y=2sin2(x﹣)﹣1=﹣[1﹣2sin2(x﹣)]=﹣cos(2x﹣)=﹣sin2x,故函数是最小正周期为=π的奇函数,故选A.点评本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式,正弦函数的周期性和奇偶性,属于基础题.6.函数的大致图象为()A.B.C.D.考点函数的图象;指数函数的图像与性质.专题压轴题;数形结合.分析观察题设中的函数表达式,应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号,化简之后再分段研究其图象.解答解由题设条件,当x≥1时,f(x)=﹣(x﹣)=当x<1时,f(x)=﹣(﹣x)=﹣(﹣x)=x故f(x)=,故其图象应该为综上,应该选D点评本题考查绝对值函数图象的画法,一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象.7.已知函数y=tanωx在上是减函数,则()A.0<ω≤1B.﹣1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤﹣1考点正切函数的单调性.分析先根据函数f(x)在上是减函数可得ω<0且T≥π,可得答案.解答解由题知ω<0,且周期,∴|ω|≤1,即﹣ω≤1,∴﹣1≤ω<0.故选B.点评本题主要考查正切函数的单调性问题.属基础题.8.已知点P在△ABC所在平面内,且,则点P是△ABC的()A.重心B.外心C.垂心D.内心考点三角形五心.专题计算题.分析根据,移向并根据向量的数量积的运算法则,得到,因此有PB⊥CA,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,根据三角形五心的定义,即可求得结果.解答解∵,∴,即,∴PB⊥CA,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,∴P是△ABC的垂心.故选C.点评本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.9.已知sin2α=﹣,α∈(﹣,0),则sinα+cosα=()A.B.﹣C.﹣D.考点二倍角的正弦.分析把要求的结论平方,就用到本题已知条件,这里用到二倍角公式,由角的范围,确定sinα+cosα的符号为正,实际上本题考的是正弦与余弦的和与两者的积的关系,解答解∵α∈(﹣,0),∴sinα+cosα>0,∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=,∴sinα+cosα=,故选A点评必须使学生熟练的掌握所有公式,在此基础上并能灵活的运用公式,培养他们的观察能力和分析能力,提高他们的解题方法.本题关键是判断要求结论的符号,可以用三角函数线帮助判断10.已知向量=(cosθ,sinθ),向量=(,﹣1)则|2﹣|的最大值,最小值分别是()A.4,0B.4,4C.16,0D.4,0考点平面向量数量积的运算;三角函数的最值.分析先表示2﹣,再求其模,然后可求它的最值.解答解2﹣=(2cosθ﹣,2sinθ+1),|2﹣|==,最大值为4,最小值为0.故选D.点评本题考查平面向量数量积的运算,三角函数的最值,是中档题.11.已知与为互相垂直的单位向量,,且与的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.(,+∞)C.(﹣2,)D.(﹣)考点平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角.分析本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,由与为互相垂直的单位向量,我们易得,,代入,可求出•,又由与的夹角为锐角,故•>0,由此得到一个关于λ的不等式,解不等式即可得到实数λ的取值范围,但要注意,与同向的排除.解答解∵与为互相垂直的单位向量∴,,又∵,且与的夹角为锐角,∴,但当λ=﹣2时,,不满足要求故满足条件的实数λ的取值范围是(﹣∞,﹣2)故选A点评两个向量夹角为锐角,则两个向量的数量积为正;两个向量夹角为钝角,则两个向量的数量积为负;两个向量夹角为直角,则两个向量的数量积为零;12.设是两个不共线的向量,其夹角为θ(θ≠90°),若函数在(0,+∞)上有最大值,则()A.,且θ为钝角B.,且θ为锐角C.,且θ为钝角D.,且θ为锐角考点平面向量数量积的运算.专题函数的性质及应用.分析化简是一元二次函数,根据二次函数的图象和性质,当函数有最大值需要开口向下对称轴在y轴右侧.解答解∵=x2+()x+,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则二次函数f(x)=x2+()x+的图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即<0,且>0∴θ为锐角,且.故选D.点评本题考查向量的运算和二次函数取最值的条件.二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知向量,若,则x﹣y=﹣1.考点数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题计算题.分析根据向量减法的坐标表示求出,然后运用垂直向量的数量积为0求得x﹣y.解答解因为,,所以,由,得﹣3x﹣3(1﹣y)=0,所以﹣3x+3y=3,所以x﹣y=﹣1.故答案为﹣1.点评本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系,考查计算能力,是基础题.14.已知向量,则向量在向量方向上的投影为﹣.考点平面向量数量积的含义与物理意义.专题平面向量及应用.分析投影即为||cosθ,利用数量积运算即可求出cosθ.解答解设的夹角为θ∵∴=﹣4,∴cosθ=∴||cosθ==故答案为﹣点评本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.15.已知f(x)=ax+bsin3x+3且f(﹣3)=7,则f
(3)=﹣1.考点正弦函数的奇偶性.专题整体思想;函数的性质及应用.分析根据题意,由f(﹣3)求出3a+bsin33的值,通过代换求出f
(3)的值.解答解∵f(x)=ax+bsin3x+3,∴f(﹣3)=﹣3a﹣bsin33+3=7;∴3a+bsin33=﹣4,∴f
(3)=3a+bsin33+3=﹣4+3=﹣1.故答案为﹣1.点评本题考查了求函数值的问题,解题时应用代换的方法,即可求出正确的结果,是基础题.16.设向量,向量,其中λ,m,α为实数.若向量,则的取值范围为[﹣6,1].考点平面向量的综合题;平面向量的坐标运算.专题平面向量及应用.分析根据λm,结合三角函数的恒等变换,求出m的取值范围,再求的取值范围即可.解答解∵向量,向量,向量,∴,把
①代入
②得,(2m﹣2)2﹣cos2α=m+sin2α,∴4m2﹣9m+4=sin2α+cos2α=2sin(2α+),∴﹣2≤4m2﹣9m+4≤2;解得≤m≤2;∴,∴==2﹣∈[﹣6,1].故答案为[﹣6,1].点评本题考查了平面向量的应用问题,也考查了三角恒等变换的应用问题,还考查了求函数的最值问题,是综合题.三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.已知集合A是函数的定义域,集合B是函数g(x)=2x+1的值域.
(1)求集合A∩B;
(2)设集合C={x|x<a},若集合A∩C=A,求实数a的取值范围.考点集合的包含关系判断及应用;交集及其运算;函数的定义域及其求法.专题集合.分析
(1)求出f(x)的定义域确定出A,求出B中g(x)的值域确定出B,求出A与B的交集即可;
(2)由A与C的交集为A,得到A为C的子集,确定出a的范围即可.解答解
(1)由,得﹣3≤x<3,即A=[﹣3,3),又g(x)=2x+1>1,∴B=(1,+∞),∴A∩B=(1,3);
(2)∵A∩C=A,∴A⊆C,∵A=[﹣3,3),C=(﹣∞,a),∴a≥3.点评此题考查了集合的包含关系判断及应用,交集及其运算,以及函数的定义域及其求法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.18.某车间20名工人年龄数据如下表年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.考点极差、方差与标准差;茎叶图;众数、中位数、平均数.专题概率与统计.分析
(1)根据众数和极差的定义,即可得出;
(2)根据画茎叶图的步骤,画图即可;
(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.解答解
(1)这这20名工人年龄的众数为30,极差为40﹣19=21;
(2)茎叶图如下
(3)年龄的平均数为=30.这20名工人年龄的方差为S2=[(19﹣30)2+3×(28﹣30)2+3×(29﹣30)2+5×(30﹣30)2+4×(31﹣30)2+3×(32﹣30)2+(40﹣30)2]=
12.6.点评本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题.19.对于函数f(x)=a﹣
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数,若存在,求出a的取值;若不存在,说明理由?考点利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断.专题函数的性质及应用.分析
(1)设x1<x2,化简计算f(x1)﹣f(x2)的解析式到因式乘积的形式,判断符号,得出结论.
(2))假设存在实数a使f(x)为奇函数,得到f(﹣x)=﹣f(x),由此等式解出a的值,若a无解,说明不存在实数a使f(x)为奇函数,若a有解,说明存在实数a使f(x)为奇函数.解答解
(1)∵f(x)的定义域为R,设x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=a﹣﹣a+=,∵x1<x2,∴,,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.
(2)假设存在实数a使f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x)即a﹣,解得a=1,故存在实数a使f(x)为奇函数.点评本题考查函数的奇偶性、单调性的判断.20.已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|﹣|=,求证⊥;
(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值.考点平面向量数量积的运算;向量的模;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.专题平面向量及应用.分析
(1)由给出的向量的坐标,求出的坐标,由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0,由此得到结论;
(2)由向量坐标的加法运算求出+,由+=(0,1)列式整理得到,结合给出的角的范围即可求得α,β的值.解答解
(1)由=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),则=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ),由=2﹣2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2,得cosαcosβ+sinαsinβ=0.所以.即;
(2)由得,
①2+
②2得.因为0<β<α<π,所以0<α﹣β<π.所以,,代入
②得.因为.所以.所以,.点评本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量的模,考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数,解答的关键是注意角的范围,是基础的运算题.21.已知,,求sinα及.考点两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数;二倍角的余弦.专题计算题.分析把题目中所给的两个条件展开,一个使用两角差的正弦公式,一个使用二倍角公式,得到关于角的正弦和余弦的二元一次方程,解方程,求出角的正弦和余弦,得到结果.解答解由题设条件,应用两角差的正弦公式得,即
①由题设条件,应用二倍角余弦公式得故
②由
①和
②式得,因此,,由两角和的正切公式点评本题考查两角的三角函数关系和同角的三角函数关系,解题过程中用到方程的思想,已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式,通过恒等变形或解方程求解.22.函数f(x)=2asin2x﹣2asinxcosx+a+b,x,值域为[﹣5,1],求a,b的值.考点二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值域.专题三角函数的图像与性质.分析利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为﹣2asin(2x+)+2a+b,根据x,求得﹣≤sin(2x+)≤1.分a>0和a<0两种情况,根据值域为[﹣5,1],分别求得a,b的值.解答解∵函数f(x)=2asin2x﹣2asinxcosx+a+b=a(1﹣cos2x)﹣asin2x+a+b=﹣2asin(2x+)+2a+b,又x,∴≤2x+≤,﹣≤sin(2x+)≤1.当a>0时,有,解得a=2,b=﹣5.当a<0时,有,解得a=﹣2,b=1.综上可得,当a>0时,a=2,b=﹣5;当a<0时,a=﹣2,b=1.点评本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.附加题(本大题共3小题,每小题0分,共15分,把答案填在答卷纸的相应位置上)23.关于x的方程(x2﹣1)2﹣|x2﹣1|+k=0,给出下列四个题
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.正确命题的序号为
①②③④.考点命题的真假判断与应用.专题函数的性质及应用.分析将方程根的问题转化成函数图象的问题,画出函数图象,结合图象可得结论.解答解关于x的方程(x2﹣1)2﹣|x2﹣1|+k=0可化为(x2﹣1)2﹣(x2﹣1)+k=0(x≥1或x≤﹣1)
(1)或(x2﹣1)2+(x2﹣1)+k=0(﹣1<x<1)
(2)
①当k=﹣2时,方程
(1)的解为±,方程
(2)无解,原方程恰有2个不同的实根;
②当k=时,方程
(1)有两个不同的实根±,方程
(2)有两个不同的实根±,即原方程恰有4个不同的实根;
③当k=0时,方程
(1)的解为﹣1,+1,±,方程
(2)的解为x=0,原方程恰有5个不同的实根;
④当k=时,方程
(1)的解为±,±,方程
(2)的解为±,±,即原方程恰有8个不同的实根.∴四个命题都是真命题.故答案为
①②③④.点评本题主要考查了分段函数,以及函数与方程的思想,数形结合的思想,属于中档题.24.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得DE=2CD.动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,=λ+μ.则λ﹣μ的取值范围为[0,2].考点平面向量的基本定理及其意义.专题平面向量及应用.分析设正方形的边长为1,建立如图所示的坐标系,利用坐标法即可得到结论.解答解建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为1,则B(1,0),E(﹣2,1),∵=λ+μ=λ(1,0)+μ(﹣2,1)=(λ﹣2μ,μ).当P∈AB时,有0≤λ﹣2μ≤1,μ=0,可得0≤λ≤1,故有0≤λ﹣μ≤1;当P∈BC时,有λ﹣2μ=1,0≤μ≤1,∴0≤λ﹣μ≤2;当P∈CD时,有0≤λ﹣2μ≤1,μ=1,∴1≤λ﹣μ≤2;当P∈AD时,有λ﹣2μ=0,0≤μ≤1,∴0≤λ﹣μ≤1.综上可得0≤λ﹣μ≤2.故答案为[0,2]点评本题考查了向量的坐标运算、不等式的性质,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.25.sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.考点二倍角的余弦;二倍角的正弦.专题三角函数的求值.分析先根据二倍角公式降幂,再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案.解答解sin220°+cos250°+sin20°cos50°=(1﹣cos40°)+(1+cos100°)+sin20°cos50°=1+(cos100°﹣cos40°)+(sin70°﹣sin30°)=+×(﹣2)sin70°sin30°+sin70°=,故答案为.点评本题主要考查二倍角公式、积化和差公式、和和差化积公式的应用,属于基础题.。