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2019-2020年高一数学下学期期中试卷(含解析)IV
一、选择题(每题5分,共50分)1.(5分)(xx•湖南模拟)+1与﹣1,两数的等比中项是( ) A.1B.﹣1C.±1D.考点等比数列的性质.专题计算题.分析设出两数的等比中项为x,根据等比中项的定义可知,x的平方等于两数之积,得到一个关于x的方程,求出方程的解即可得到两数的等比中项.解答解设两数的等比中项为x,根据题意可知x2=(+1)(﹣1),即x2=1,解得x=±1.故选C点评此题考查学生掌握等比数列的性质,是一道基础题.学生做题时应注意等比中项有两个. 2.(5分)(xx春•汕头校级期中)sincos的值为( ) A.B.﹣C.D.﹣考点二倍角的正弦.专题计算题;三角函数的求值.分析利用二倍角的正弦函数公式化简后由特殊角的三角函数值即可得解.解答解sincos=sin=.故选A.点评本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值的应用,属于基本知识的考查. 3.(5分)(xx4秋•三元区校级期中)若log23=a,log25=b,则的值是( ) A.a2﹣bB.2a﹣bC.D.考点对数的运算性质.专题计算题.分析利用对数的运算性质,直接化简,即可用a,b表示结果.解答解=log29﹣log25=2log23﹣log25=2a﹣b.故选B.点评本题考查对数的运算性质,考查计算能力. 4.(5分)(xx春•汕头校级期中)已知,且,则x=( ) A.﹣3B.﹣C.0D.考点平行向量与共线向量.专题平面向量及应用.分析根据向量的平行的条件以及坐标的运算即可求出.解答解∵,且,∴1×(﹣3)﹣2×2x=0,解得x=﹣,故选B.点评本题考查了向量平行的条件,属于基础题. 5.(5分)(xx春•汕头校级期中)等于( ) A.B.C.tan6°D.考点两角和与差的正切函数.专题计算题;三角函数的求值.分析直接利用两角和的正切公式求解即可.解答解因为===.故选A.点评本题考查两角和的正切公式的应用,基本知识的考查. 6.(5分)(xx春•汕头校级期中)下列函数中,是偶函数的是( ) A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=x3D.f(x)=考点函数奇偶性的判断.专题函数的性质及应用.分析运用奇偶性的定义,逐一判断各个选项中的函数的奇偶性,从而得出结论.解答解由于函数f(x)=x2的定义域为R,且有f(﹣x)=(﹣x)2=x2=f(x),是偶函数,故A满足条件;由于函数f(x)=2x是指数函数,不具奇偶性,是非奇非偶函数,故排除B;由于函数f(x)=x3的定义域为R,且有f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3=﹣f(x),是奇函数,故排除C;由于函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},且f(﹣x)==﹣=﹣f(x)是奇函数,故排除D.故选A.点评本题主要考查函数的奇偶性的判断,属于基础题. 7.(5分)(xx3秋•菏泽期中)在△ABC中,已知a=4,b=4,B=60°,则角A的度数为( ) A.30°B.45°C.60°D.90°考点正弦定理.专题计算题.分析直接利用正弦定理求出A的正弦函数值,然后求出A的值即可.解答解在△ABC中,已知a=4,b=4,B=60°,由正弦定理可知,,∴sinA=,A=150°或A=30°,∵B=60°,b>a∴A=30°.故选A.点评本题考查正弦定理的应用,注意三角形中角的范围,否则容易出错,考查计算能力. 8.(5分)(xx4秋•榕城区校级期中)不等式的解集是( ) A.B.C.D.考点一元二次不等式的解法.专题计算题.分析根据两数相乘的符号法则同号得正,异号得负,原不等式可化为或,即可求出不等式的解集,解答解不等式,可化为
①或
②,解
①得﹣≤x≤,解
②得x∈∅,故选A.点评本小题主要考查一元二次不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 9.(5分)(xx1秋•清远期末)若a>b且c∈R,则下列不等式中一定成立的是( ) A.a2>b2B.ac>bcC.ac2>bc2D.a﹣c>b﹣c考点不等式的基本性质.专题计算题.分析把不等式两边同时加上同一个实数﹣c,不等号不变.解答解∵a>b且c∈R,不等式两边同时加上﹣c可得,a﹣c>b﹣c.故选D.点评本题主要考查不等式的性质的应用,利用了不等式两边同时加上同一个实数,不等号不变. 10.(5分)(xx春•汕头校级期中)函数y=x2+x+2,x∈(﹣5,5)的单调减区间为( ) A.B.C.D.考点二次函数的性质.专题函数的性质及应用.分析先求出函数的对称轴,结合二次函数的性质从而求出递减区间.解答解函数y=x2+x+2的对称轴是x=﹣,开口向上,∴函数在(﹣5,﹣)递减,故选B.点评本题考查了二次函数的性质,函数的单调性问题,是一道基础题.
二、填空题(每题5分,共20分)11.(5分)(xx4秋•成都期中)函数y=+的定义域是 {x|x≥﹣1,且x≠2} .考点函数的定义域及其求法.专题函数的性质及应用.分析根据使函数y=+的解析式有意义的原则,构造不等式组,解不等式组可得函数的定义域.解答解要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足解得x≥﹣1,且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1,且x≠2}故答案为{x|x≥﹣1,且x≠2}点评本题考查的知识点是函数的定义或及其求法,其中根据使函数y=+的解析式有意义的原则,构造不等式组,是解答的关键. 12.(5分)(xx•吴川市模拟)已知,α是第四象限角,则= .考点两角和与差的正弦函数;象限角、轴线角.专题计算题.分析根据α的范围和sinα的值,利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值,进而利用正弦的两角和公式求得答案.解答解∵,α是第四象限角,∴,∴==故答案为点评本题主要考查了两角和与差的正弦函数,同角三角函数的基本关系的应用.解题的时候要特别注意根据角的范围确定三角函数的正负值. 13.(5分)(xx春•汕头校级期中)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知S10=100,则a4+a7= 20 .考点等差数列的前n项和.专题计算题.分析由求和公式可得a1+a10=20,而由等差数列的性质可得a4+a7=a1+a10,代入可得答案.解答解由等差数列的求和公式可得S10==5(a1+a10)=100,解得a1+a10=20,而由等差数列的性质可得a4+a7=a1+a10=20,故答案为20点评本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 14.(5分)(xx3春•柯城区校级期中)不等式的解集为 (﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) .考点其他不等式的解法.专题不等式的解法及应用.分析不等式,即>0,即(x﹣4)(x+3)>0,由此求得它的解集.解答解不等式,即>0,等价于(x﹣4)(x+3)>0,解得x<﹣3,或x>4,故答案为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞).点评本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题. 三.解答题(本大题共6小题,满分80分)15.(12分)(xx春•汕头校级期中)设U=R,A={x|22x﹣1≥2},B={x|x2﹣5x<0},求
(1)A∩B,
(2)A∪B,
(3)CU(A∪B).考点交、并、补集的混合运算;指数型复合函数的性质及应用;一元二次不等式的解法.专题常规题型;计算题.分析
(1)
(2)根据指数的性质和不等式的性质,分别解出A={x|22x﹣1≥2},B={x|x2﹣5x<0},再根据交集和并集的定义进行求解;
(3)先算出A∪B再根据补集的定义进行求解;解答解
(1)∵A={x|22x﹣1≥2},B={x|x2﹣5x<0},U=R,∴A={x|x≥1},B={x|0<x<5},∴A∩B={x|1≤x<5}
(2)A∪B={x|x>0};
(3)CU(A∪B)={x|x≤0};点评此题考查交、并、补集的混合运算及一元二次不等式的解法,此题是一道综合题,比较简单; 16.(12分)(xx春•汕头校级期中)
(1)化简
(2)求值()
0.5+
0.1﹣2+()+().考点运用诱导公式化简求值;有理数指数幂的化简求值.专题三角函数的求值.分析
(1)由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果.
(2)由条件利用分数指数幂的运算法则化简所给的式子,可得结果.解答解
(1)==1.
(2)()
0.5+
0.1﹣2+()+()=+100++2=105.点评本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,分数指数幂的运算法则的应用,属于基础题. 17.(12分)(xx1•惠州模拟)设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,c=,sinA=4sinB.
(1)求b边的长;
(2)求角C的大小;
(3)求三角形ABC的面积S.考点余弦定理;正弦定理.专题计算题.分析
(1)利用正弦定理列出关系式,将a的值代入,与已知的等式比较,即可求出b的值;
(2)利用余弦定理表示出cosC,将a,b及c的值代入求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
(3)由a,b及sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.解答解
(1)依正弦定理=得bsinA=asinB,又a=4,sinA=4sinB,则b=1;
(2)依余弦定理有cosC===,又0<C<180°,∴C=60°;
(3)a=4,b=1,sinC=,则S△ABC=absinC=×4×1×sin60°=.点评此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.(12分)(xx春•汕头校级期中)已知.,
(1)若的夹角θ为45°,求
(2)若,求的夹角θ.考点平面向量的基本定理及其意义;数量积表示两个向量的夹角.专题平面向量及应用.分析
(1)利用|﹣|2=(﹣)2,直接计算即可;
(2)通过,可得(﹣)•=0,化简得cosθ=1,结合0°≤θ≤180°即得结论.解答解
(1)∵,,的夹角θ为45°,∴=2﹣2||||cos45°+1=2﹣2+1=1;
(2)∵,∴(﹣)•=0,∴=,即||||cosθ=1,∴cosθ=1,又∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.点评本题考查平面向量的相关知识,注意解题方法的积累,属于基础题. 19.(16分)(xx春•汕头校级期中)设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调増区间;
(3)当时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的值.考点三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性.专题计算题.分析利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,按要求求解即可;解答解f(x)=2sinxcosx﹣cos(2x﹣)=sin2x﹣(cos2xcos+sin2xsin)=﹣cos(2x+)
(1)T==π
(2)函数f(x)的单调増区间为2x+∈[2kπ,π+2kπ]k∈Z∴x∈[]k∈Z即函数f(x)的单调増区间为x∈[]k∈Z
(3)当x时,2x+∴当2x+=π时,f(x)取最大值,即x=时,f(x)max=1点评此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的周单调性以及最值,熟练掌握公式是解本题的关键 20.(16分)(xx3•东城区模拟)已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+bn=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证数列{bn}是等比数列;
(3)记cn=an•bn,求{cn}的前n项和Sn.考点等差数列的通项公式;等比关系的确定;数列的求和.专题计算题;压轴题.分析
(1)设an的公差为d,根据等差数列通项公式根据a2=6,a5=18可求得a1和d,进而可求得数列{an}的通项公式;
(2)先看当n≥2时根据Tn﹣Tn﹣1=bn,可得bn与bn﹣1的关系式整理的,进而可知为等比数列,最后验证n=1时,也成立.原式得证.
(3)由
(2)可求得数列{bn}的通项公式,进而可得{cn}的通项公式.数列{cn}由等差数列和等比数列构成,进而可用错位将减法求和.解答解
(1)设an的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d,∵a2=6,a5=18,∴,∴a1=2,d=4.∴an=2+4(n﹣1)=4n﹣2.
(2)当n=1时,b1=T1,由,得.当n≥2时,∵,,∴,即∴.bn是以为首项,为公比的等比数列.
(3)由
(2)可知.∴=.Sn=c1+c2+…cn﹣1+cn=∴.∴===∴点评本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题.当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时,一般采用错位相减法. 。