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2019-2020年高一数学下学期期末试卷(含解析)III
一、填空题1.若点(5,b)在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间,则整数b的值为 . 2.直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线l的倾斜角的取值范围是 . 3.为了了解初中生的身体素质,某地区随机抽取了n名学生进行跳绳测试,根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右第一小组的频数是100,则n= . 4.正数数列{an}是公差不为零的等差数列,正项数列{bn}是等比数列,a1=b1,a3=b3,a7=b5,若a15=bm,求m的值. 5.已知等差数列,记此数列的第n项到第n+6项的和为Tn,当|Tn|取最小值时n= . 6.如图为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 . 7.在等比数列{an}中,a5•a11=4,a3+a13=5,则= . 8.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为m和n,则m>n的概率为 . 9.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为 . 10.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2﹣c2=ac﹣bc.则的值为 . 11.已知数列{an}中,a1=55,an+1=an+2n﹣1,n∈N*,则的最小值为 . 12.已知变量x,y满足约束条件.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为 . 13.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是 . 14.设a1,a2,…,an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0.若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对所组成的集合为 .
二、解答题15.在△ABC中,S为△ABC的面积,且S=c2﹣(a﹣b)2.
(1)求tanC;
(2)当a+b=4时,求S的最大值. 16.(xx•信阳一模)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x﹣a﹣1)(2a﹣x)](a<1)的定义域为R.
(1)求A;
(2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 17.如图1所示的茎叶图是青年歌手电视大奖赛中7位评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩,程序框图(图2)用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值),试根据下面条件回答下列问题
(1)根据茎叶图,乙选手的成绩中,中位数和众数分别是多少?
(2)在程序框图中,用k表示评委人数,用a表示选手的最后成绩(各评委所给有效分数的平均值).那么图中
①②处应填什么?“S1=S﹣max﹣min”的含义是什么?
(3)根据程序框图,甲、乙的最后成绩分别是多少?
(4)从甲、乙的有效分数中各取一个分数分别记作为x,y,若甲、乙的最后成绩分别是a,b,求“|x﹣a|≤1且|y﹣b|≤1”的概率. 18.已知数列{an}满足an=2an﹣1+2n﹣1(n∈N+,且n≥2),a4=81.
(1)求数列的前三项a1,a2,a3;
(2)数列为等差数列,求实数p的值;
(3)求数列{an}的前n项和Sn. 19.(xx•咸阳模拟)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).现已知此商品每件售价为500元,且该厂年内生产此商品能全部销售完.
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 20.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求证数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使,求数列{bn}的通项bn;
(3)求和b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1. xx江苏省泰州市靖江市刘国钧中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题1.若点(5,b)在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间,则整数b的值为 4 .考点两条平行直线间的距离.专题直线与圆.分析先用待定系数法求出过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程,再利用直线在y轴上的截距大于且小于,求出整数b的值.解答解设过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+c=0,把点(5,b)代入直线的方程解得c=4b﹣15,∴过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15=0,由题意知,直线在y轴上的截距满足<<,∴<b<5,又b是整数,∴b=4.故答案为4.点评本题考查用待定系数法求平行直线的方程,以及直线在y轴上的截距满足的大小关系. 2.直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线l的倾斜角的取值范围是 .考点直线的倾斜角.专题常规题型.分析设直线AB的倾斜角为θ,根据斜率的计算公式,可得AB的斜率表达式,即可得K的范围,由倾斜角与斜率的关系,可得tanθ的范围,进而由正切函数的图象分析可得答案.解答解设直线AB的倾斜角为θ,0≤θ<π,根据斜率的计算公式,可得AB的斜率为K==1﹣m2,易得k≤1,由倾斜角与斜率的关系,即tanθ≤1,由正切函数的图象,可得θ的范围是.点评本题考查直线的倾斜角,要求学生结合斜率的计算公式,结合斜率与倾斜角的关系,进行分析求解. 3.为了了解初中生的身体素质,某地区随机抽取了n名学生进行跳绳测试,根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右第一小组的频数是100,则n= 1000 .考点频率分布直方图.专题阅读型.分析先根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距×频率组距=频率,求出从左到右第一小组的频率,再根据样本容量=,求出样本容量即可.解答解从左到右第一小组的频率=
0.004×25=
0.1而从左到右第一小组的频数是100,样本容量===1000故答案为1000点评本题主要考查了频率分布直方图,小长方形的面积=组距×频率组距=频率,各个矩形面积之和等于1,样本容量=,属于基础题. 4.正数数列{an}是公差不为零的等差数列,正项数列{bn}是等比数列,a1=b1,a3=b3,a7=b5,若a15=bm,求m的值.考点等差数列的性质.专题计算题.分析令an=a1+(n﹣1)d,bn=b1•qn﹣1,设a1=b1=x,由题意知q=,d=,由a15=bm,得x+14d=x•qm﹣1,,m=7.解答解令an=a1+(n﹣1)d,bn=b1•qn﹣1,∵{an}为正数数列∴d>0令a1=b1=x则由a3=b3,a7=b5得x+2d=x•q2,x+6d=x•q4,解得q=,d=,∴由a15=bm,得x+14d=x•qm﹣1即,m=7.点评本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 5.已知等差数列,记此数列的第n项到第n+6项的和为Tn,当|Tn|取最小值时n= 5 .考点等差数列的前n项和.专题等差数列与等比数列.分析由等差数列通项公式求出an,an+6,然后由前n项和公式可求得Tn,根据其表达式可得答案.解答解首项a1=5,公差d=﹣,则=﹣n+,=﹣n+,则=﹣5n+25,所以当n=5时,|Tn|取得最小值0,故n=5,故答案为5点评本题考查等差数列求和公式,根据条件求出等差数列的通项公式是解决本题的关键. 6.如图为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 i>20 .考点伪代码.专题阅读型.分析根据程序的功能为一个求20个数的平均数的程序,得到循环次数,从而得到判定的条件.解答解根据题意为一个求20个数的平均数的程序则循环体需执行20次从而横线上应填充的语句为i>20故答案为i>20点评本题主要考查了直到型循环,以及循环的次数的判定,如果将程序摆在我们的面前时,要从识别逐个语句,整体把握,概括程序的功能,属于基础题. 7.在等比数列{an}中,a5•a11=4,a3+a13=5,则= 4或 .考点等比数列的性质.专题计算题.分析先用a1,q表示出a
5、a
11、a
3、a13,然后代入关系式a5•a11=4,a3+a13=5可得a5•a11=a12q14=
4、a3+a13=a1(q2+q12)=5,然后对a1(q2+q12)=5两边平方后与a12q14相比即可得到答案.解答解∵=q10a5•a11=a12q14=4
①a3+a13=a1(q2+q12)=5然后两边平方a12(q4+q24+2q14)=25
②===所以或4故答案为4或点评本题主要考查等比数列的通项公式.等比数列的基本性质一定要熟练掌握,这是答对题的前提条件. 8.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为m和n,则m>n的概率为 .考点等可能事件的概率.专题计算题;压轴题.分析由题意知本题是一个几何概型,根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一个矩形区域,做出面积,看出满足条件的事件对应的面积,根据几何概型公式得到结果.解答解由题意知本题是一个几何概型,∵试验包含的所有事件是以m,n为横轴,纵轴建立直角坐标系,1≤m≤6,2≤n≤4,构成一矩形封闭区域,它的面积5×2=10,而满足条件的事件是作直线l m=nl与矩形区域相交,把它分成两部分,下面得部分即为m>n的区域,它的面积为6∴由几何概型概率公式得到m>n的概率为=故答案为点评古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到. 9.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为 9 .考点基本不等式.专题计算题.分析对展开,利用基本不等式即可求得其最小值.解答解∵x,y∈R,且xy≠0,∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立,∴的最小值为9.故答案为9.点评此题是个基础题.考查利用基本不等式求最值,注意正、定、等,考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力. 10.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2﹣c2=ac﹣bc.则的值为 .考点余弦定理.专题解三角形.分析由a,b,c成等比数列,利用等比数列的性质得到b2=ac,代入已知等式中变形,利用余弦定理表示出cosA,将得出的关系式代入求出cosA的值,确定出A的度数,再利用正弦定理表示出sinB,代入所求式子中变形,将b2=ac及sinA的值代入计算即可求出值.解答解∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,将b2=ac代入a2﹣c2=ac﹣bc,即a2﹣c2=b2﹣bc,即b2+c2﹣a2=bc,∴cosA===,即A=60°,由正弦定理得sinB=,则=sinA=.故答案为.点评此题考查了余弦定理,正弦定理,以及等比数列的性质,熟练掌握定理是解本题的关键. 11.已知数列{an}中,a1=55,an+1=an+2n﹣1,n∈N*,则的最小值为 13 .考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析通过an+1=an+2n﹣1可知an+1﹣an=2n﹣1,利用累加法可知an﹣a1=(n﹣1)2,进而=n+﹣2,利用基本不等式计算即得结论.解答解∵an+1=an+2n﹣1,∴an+1﹣an=2n﹣1,∴an﹣an﹣1=2n﹣3,an﹣1﹣an﹣2=2n﹣5,…a3﹣a2=3,a2﹣a1=1,累加得an﹣a1=1+3+5+…+2n﹣3==(n﹣1)2,又∵a1=55,∴an=55+(n﹣1)2=n2﹣2n+56,∴=n+﹣2≥2﹣2,当且仅当n=即n=2时取等号,∵6<2<8,∴n取7时最小,∴=7+﹣2=13,故答案为13.点评本题考查数列的通项,考查基本不等式,注意解题方法的积累,属于中档题. 12.已知变量x,y满足约束条件.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为 a .考点简单线性规划的应用.专题计算题;压轴题;数形结合.分析本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为根据已知的约束条件,画出满足约束条件的可行域,再用图象判断,求出目标函数的最大值.解答解画出可行域如图所示,其中B(3,0),C(1,1),D(0,1),若目标函数z=ax+y仅在点(3,0)取得最大值,由图知,﹣a<﹣解得a>故答案为a>点评用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解. 13.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是 m>2 .考点正弦定理;数列与三角函数的综合.专题计算题.分析由题意可得B=60°,A+C=120°,由正弦定理结合题意可得m==;由于钝角三角形中,C大于90°可得0<A<30°,故0<sinA<,0<sinC<1,从而得到m>=2.解答解设三内角分别为A,B,C,设C为钝角,则2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°.由正弦定理可得,根据题意可得m==.由于0<sinA<,0<sinC<1,∴m>=2,故答案为m>2.点评本题考查正弦定理的应用,大角对大边,正弦函数的值域,判断0<sinA<,0<sinC<1,是解题的关键. 14.设a1,a2,…,an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0.若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对所组成的集合为 {(4,﹣4),(4,1)} .考点等比数列的性质;集合的表示法;等差数列的性质.专题综合题;压轴题.分析设出数列的公差d,列举出数列的各项,讨论从第一项开始删去,由得到的数列为等比数列,利用等比数列的性质,列出关于d与首项的方程,求出方程的解即可得到d的值,根据d不为0,得到满足题意的d的值,即可求出满足题意的所有数对,组成集合的形式即可.解答解设数列{an}的公差为d,则各项分别为a1,a1+d,a1+2d,…,a1+(n﹣1)d,且a1≠0,d≠0,假设去掉第一项,则有(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d)2,解得d=0,不合题意;去掉第二项,有a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简得4d2+a1d=0即d(4d+a1)=0,解得d=﹣,因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项(a1+4d=0),所以数对=(4,﹣4);去掉第三项,有a1(a1+3d)=(a1+d)2,化简得d2﹣a1d=0即d(d﹣a1)=0,解得d=a1则此数列为a,2a,3a,4a,…此数列仍然不会出现第五项,因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对=(4,1);去掉第四项时,有a1(a1+2d)=(a1+d)2,化简得d=0,不合题意;当去掉第五项或更远的项时,必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况,即d=0,不合题意.所以满足题意的数对有两个,组成的集合为{(4,﹣4),(4,1)}.故答案为{(4,﹣4),(4,1)}点评此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道中档题.学生做题时应时刻注意公差d不为0和各项不为0的条件.
二、解答题15.在△ABC中,S为△ABC的面积,且S=c2﹣(a﹣b)2.
(1)求tanC;
(2)当a+b=4时,求S的最大值.考点余弦定理;正弦定理.专题三角函数的求值;解三角形.分析
(1)由已知及正弦定理得,利用余弦定理及三角函数恒等变换化简即可求值.
(2)结合范围C∈(0,π),可求,利用三角形面积公式及基本不等式即可得解.解答解
(1)在△ABC中,由正弦定理得,∴,∴sinC=4(1﹣cosC),,,,
(2)∵C∈(0,π),∴,∴.当且仅当a=b=2时.点评本题主要考查了三角形面积公式,正弦定理,余弦定理,基本不等式的综合应用,属于中档题. 16.(xx•信阳一模)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x﹣a﹣1)(2a﹣x)](a<1)的定义域为R.
(1)求A;
(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.考点函数的定义域及其求法;集合的包含关系判断及应用;对数函数的定义域.专题综合题.分析
(1)令被开方数大于等于零,列出不等式进行求解,最后需要用集合或区间的形式表示出来;
(2)先根据真数大于零,求出函数g(x)的定义域,再由B⊆A和a<1求出a的范围.解答解
(1)由2﹣≥0,得≥0,解得,x<﹣1或x≥1,即A=(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞),
(2)由(x﹣a﹣1)(2a﹣x)>0,得(x﹣a﹣1)(x﹣2a)<0,∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1),∵B⊆A,∴2a≥1或a+1≤﹣1,即a≥或a≤﹣2,∵a<1,∴≤a<1或a≤﹣2,故当B⊆A时,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[,1).点评本题是有关集合和函数的综合题,涉及了集合子集的运算,函数定义域求法的法则,如被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等. 17.如图1所示的茎叶图是青年歌手电视大奖赛中7位评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩,程序框图(图2)用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值),试根据下面条件回答下列问题
(1)根据茎叶图,乙选手的成绩中,中位数和众数分别是多少?
(2)在程序框图中,用k表示评委人数,用a表示选手的最后成绩(各评委所给有效分数的平均值).那么图中
①②处应填什么?“S1=S﹣max﹣min”的含义是什么?
(3)根据程序框图,甲、乙的最后成绩分别是多少?
(4)从甲、乙的有效分数中各取一个分数分别记作为x,y,若甲、乙的最后成绩分别是a,b,求“|x﹣a|≤1且|y﹣b|≤1”的概率.考点列举法计算基本事件数及事件发生的概率;程序框图.专题算法和程序框图.分析
(1)根据众数出现次数最多的数求众数;根据中位数是数据从小到大排列位于中间位置的数,求中位数;
(2)根据k表示评委人数及评委的人数,确定跳出循环条件
①;再根据a表示评委所给有效分数的平均值,可得执行语句
②;
(3)利用平均数公式求得甲、乙的平均数;
(4)分别求出满足|x﹣a|≤1和|y﹣b|≤1”的概率,从而得到答案.解答解
(1)选手乙的成绩为79,84,84,84,86,87,93,众数为84,乙选手的中位数和众数分别是84,84;
(2))∵7名评委给参赛的选手打分,k表示评委人数,∴跳出循环条件应为
①k>7;又a表示评委所给有效分数的平均值,∴执行语句
②;
(3)甲、乙的最后成绩分别是84,85“S1=S﹣max﹣min”的含义S1七位评委评定的成绩总和S除去最高分max及最低分min;
(4)选手乙的有效成绩为84,84,84,86,87,满足|y﹣b|≤1的概率是;选手甲的成绩为78,84,85,85,88,满足|x﹣a|≤1的概率是,∴.点评本题借助茎叶图考查了选择结构与循环结构相结合的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 18.已知数列{an}满足an=2an﹣1+2n﹣1(n∈N+,且n≥2),a4=81.
(1)求数列的前三项a1,a2,a3;
(2)数列为等差数列,求实数p的值;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.考点数列递推式;等差关系的确定;数列的求和.专题计算题;综合题.分析
(1)利用已知条件直接求出a3,然后求出a2,a1.
(2)通过数列为等差数列,按照等差数列的定义,公差是常数,直接求解p的值.
(3)利用
(2)求出通项公式,然后通过错位相减法求出数列{an}的前n项和Sn.解答解
(1)由(n∈N+,且n≥2)得,得a3=33同理,得a2=13,a1=5…(4分)
(2)对于n∈N,且n≥2,∵又数列为等差数列,∴是与n无关的常数,∴1+p=0,p=﹣1…(8分)
(3)由
(2)知,等差数列的公差为1,∴,得.…(9分)∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n,记,则有,两式相减,得,故.…(13分)点评本题考查数列的定义判断等差数列的应用,数列求和的常用方法﹣﹣错位相减法,考查计算能力. 19.(xx•咸阳模拟)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).现已知此商品每件售价为500元,且该厂年内生产此商品能全部销售完.
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?考点根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用.专题应用题.分析
(1)根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0<x<80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式;
(2)当0<x<80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值,当x≥80时,利用基本不等式来求L的最大值.解答解
(1)当0<x<80,x∈N*时,当x≥80,x∈N*时,L(x)=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣(x+)∴.
(2)当0<x<80,x∈N*时,,当x=60时,L(x)取得最大值L
(60)=950当x≥80,x∈N,∵,∴当,即x=100时,L(x)取得最大值L
(100)=1000>950.综上所述,当x=100时L(x)取得最大值1000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.点评考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力,以及运用基本不等式求最值的能力. 20.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求证数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使,求数列{bn}的通项bn;
(3)求和b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1.考点数列的求和;等比数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析
(1)通过3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t与3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t作差、整理得(n=2,3,…),进而可得结论;
(2)通过
(1)可知bn=f+bn﹣1,即数列{bn}是一个首项为
1、公差为的等差数列,进而即得结论;
(3)通过bn=可知数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和、公差均为的等差数列,并项取公因式,计算即得结论.解答
(1)证明∵a1=S1=1,S2=1+a2,∴a2=又3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t
①∴3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t
②①﹣
②得3tan﹣(2t+3)an﹣1=0,∴,(n=2,3,…)∴{an}是一个首项为
1、公比为的等比数列;
(2)解∵f(t)=,∴bn=f+bn﹣1.∴数列{bn}是一个首项为
1、公差为的等差数列.∴bn=1+(n﹣1)=;
(3)解∵bn=,∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和,公差均为的等差数列,于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1=b2(b1﹣b3)+b4(b3﹣b5)+b6(b5﹣b7)+…+b2n(b2n﹣1+b2n+1)=﹣(b2+b4+…+b2n)=﹣=﹣(2n2+3n).点评本题考查数列的通项及前n项和,注意解题方法的积累,属于中档题. 。