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第六章 不等式第1课时 一元二次不等式及其解法掌握一元二次不等式解法,理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系并能灵活运用.
①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
③会解含参数的一元二次不等式.
1.必修5P77练习22改编不等式3x2-x-4≤0的解集是__________.答案解析由3x2-x-4≤0,得3x-4x+1≤0,解得-1≤x≤.
2.必修5P75例11改编不等式2x2-x-10的解集是________.答案解析∵2x2-x-10,∴2x+1x-10,∴x1或x-.
3.必修5P77练习31改编不等式-x2-2x+30的解集为__________.答案{x|-3x1}解析原不等式可化为x2+2x-30,得-3x
1.
4.必修5P80习题82改编已知不等式x2-2x+k2-30对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是________.答案k2或k-2解析由Δ=4-4k2-30,解得k2或k-
2.
5.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是________.答案{x|2x3}解析由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的根,所以由根与系数的关系得解得不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解得2x
3.
1.一元二次不等式的解法在二次函数y=ax2+bx+ca≠0中,令y=0,得到一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0.若将等号“=”改为不等号“>”或“<”,便得到一元二次不等式ax2+bx+c>0或<0.因此,可以通过y=ax2+bx+ca≠0图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解,具体如表所示
2.用一个流程图来描述求解一元二次不等式ax2+bx+c0a0的算法过程 1 一元二次不等式的解法 1 解关于x的不等式ax2+a-2x-2≥
0.解
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-
1.
②当a>0时,原不等式化为x+1≥0,解得x≥或x≤-
1.
③当a<0时,原不等式化为x+1≤
0.当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;当=-1,即a=-2时,解得x=-1;当<-1,即a>-2时,解得≤x≤-
1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为;当-2<a<0时,不等式的解集为;当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1};当a<-2时,不等式的解集为.变式训练解关于x的不等式ax2-ax+1<
0.解当0≤a≤4时,解集为;当a>4时,<x<;当a<0时,x<或x. 2 一元二次不等式的恒成立问题 2 设函数fx=mx2-mx-
1.1若对于一切实数x,fx0恒成立,求m的取值范围; 2若对于x∈[1,3],fx-m+5恒成立,求m的取值范围.解1要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10;若m≠0,则解得-4m0,综上,-4m≤
0.2要使fx-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m+m-60在x∈[1,3]上恒成立.解法1令gx=m+m-6,x∈[1,3].当m0时,gx在[1,3]上是增函数,所以gxmax=g3⇒7m-60,所以m,所以0m;当m=0时,-60恒成立;当m0时,gx在[1,3]上是减函数,所以gxmax=g1⇒m-60,所以m6,所以m
0.综上所述,m的取值范围是.解法2因为x2-x+1=+0,mx2-x+1-60,所以m.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m即可,所以m的取值范围是.变式训练已知函数fx=x2+ax+
3.1当x∈R时,fx≥a恒成立,求实数a的取值范围;2当x∈[-2,2]时,fx≥a恒成立,求实数a的取值范围.解1当x∈R时,fx≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0对任意实数x恒成立,则Δ=a2-43-a≤0,解得-6≤a≤2,∴实数a的取值范围是[-6,2].2当x∈[-2,2]时,fx≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0对任意x∈[-2,2]恒成立,令gx=x2+ax+3-a,∴Δ≤0或或解得-7≤a≤
2.∴实数a的取值范围是[-7,2]. 3 三个二次之间的关系 3 1已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为[0,+∞,若关于x的不等式fxc的解集为{x|mxm+6},则实数c的值为__________;2已知函数fx=.若对任意x∈[1,+∞,fx0恒成立,则实数a的取值范围是_________.答案19 2{a|a-3}解析1由题意知fx=x2+ax+b=+b-.∵fx的值域为[0,+∞,∴b-=0,即b=,∴fx=.∵fxc,∴c,即--x-+.∴
②-
①,得2=6,∴c=
9.2∵x∈[1,+∞时,fx=0恒成立,即x2+2x+a0恒成立,即当x≥1时,a-x2+2x=gx恒成立.而gx=-x2+2x=-x+12+1在[1,+∞上单调递减,∴gxmax=g1=-3,故a-
3.∴实数a的取值范围是-3,+∞.已知x2+px+q<0的解集为,则不等式qx2+px+1>0的解集为________.答案{x|-2<x<3}解析∵x2+px+q<0的解集为,∴-,是方程x2+px+q=0的两实数根,由根与系数的关系得解得∴不等式qx2+px+1>0可化为-x2+x+10,即x2-x-6<0,解得-2<x<3,∴不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}. 4 一元二次不等式的应用 4 一个服装厂生产风衣,月销售量x件与售价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x元.1该厂月产量多大时,月利润不少于1300元?2当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?解1由题意知,月利润y=px-R,即y=160-2xx-500+30x=-2x2+130x-
500.由月利润不少于1300元,得-2x2+130x-500≥1300,即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45,故该厂月产量在20~45件时,月利润不少于1300元.2由1得,y=-2x2+130x-500=-2+,由题意知,x为正整数,故当x=32或33时,y最大为1612,所以当月产量为32或33件时,可获得最大利润,最大利润为1612元. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律每生产产品x百台,总成本为Gx万元,其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元总成本=固定成本+生产成本;销售收入Rx万元满足Rx=假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律求下列问题.1要使工厂有赢利,产量x应控制在什么范围内?2工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?解依题意,Gx=x+2,设利润函数为fx,则fx=1要使工厂有赢利,即解不等式fx0,当0≤x≤5时,解不等式-
0.4x2+
3.2x-
2.80,即x2-8x+70,得1x7,∴1x≤
5.当x5时,解不等式
8.2-x0,得x
8.2,∴5x
8.
2.综上所述,要使工厂赢利,x应满足1x
8.2,即产品产量应控制在大于100台,小于820台的范围内.2当0≤x≤5时,fx=-
0.4x-42+
3.6,故当x=4时,fx有最大值
3.6;而当x5时,fx
8.2-5=
3.2,所以,当工厂生产400台产品时,赢利最多.
1.2017·苏州期中函数y=的定义域为________.答案-2,1]解析由≥0⇒-2x≤1,得函数的定义域为-2,1].
2.2017·苏锡常镇一模已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z},则∁UM=________.答案{6,7}解析M={x|1≤x≤5,x∈Z}={1,2,3,4,5},而U={1,2,3,4,5,6,7},则∁UM={6,7}.
3.函数fx=的定义域是________.答案[-2,2]解析因为lg5-x2≥0,所以5-x2≥1,x2≤4,则-2≤x≤
2.
4.已知函数fx=则不等式ffx≤3的解集为________.答案{x|x≤}解析当x≥0时,ffx=f-x2=-x22-2x2≤3,即x2-3x2+1≤0,解得0≤x≤;当-2<x<0时,ffx=fx2+2x=x2+2x2+2x2+2x≤3,即x2+2x-1x2+2x+3≤0,即-2<x<0;当x≤-2时,ffx=fx2+2x=-x2+2x2≤3,解得x≤-
2.综上,不等式的解集为{x|x≤}.
1.已知函数fx=若f3-a2<f2a,则实数a的取值范围是________.答案-3,1解析如图,画出fx的图象,由图象易得fx在R上单调递减.∵f3-a2<f2a,∴3-a2>2a,解得-3<a<
1.
2.定义在R上的运算x*y=x1-y,若不等式x-y*x+y<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是________.答案解析∵x-y*x+y=x-y1-x-y=x-x2-y+y2<1,∴-y+y2<x2-x+1,要使该不等式对一切实数x恒成立,则需有-y+y2<x2-x+1min=,解得-<y<.
3.已知fx是定义域为R的偶函数,当x≥0时,fx=x2-4x,那么不等式fx+25的解集是________.答案{x|-7x3}解析令x0,则-x0,∵x≥0时,fx=x2-4x,∴f-x=-x2-4-x=x2+4x.又fx为偶函数,∴f-x=fx,∴x0时,fx=x2+4x,故有fx=再求fx5的解,由得0≤x<5;由得-5x0,即fx5的解集为-5,5.由于fx向左平移两个单位即得fx+2,故fx+25的解集为{x|-7x3}.
4.已知函数fx=x3+3ax-1,gx=f′x-ax-5,其中f′x是fx的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有gx0,则实数x的取值范围是________.答案解析由题意,知gx=3x2-ax+3a-5,令φa=3-xa+3x2-5,-1≤a≤
1.对-1≤a≤1,恒有gx0,即φa0,∴即解得-x
1.
1.一元二次不等式ax2+bx+c0,ax2+bx+c0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0或小于0时x的范围,应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集.
2.解含参数的不等式x-ax-b0,应先讨论a与b的大小再确定不等式的解,解一元二次不等式的一般过程是一看看二次项系数的符号,二算计算判别式,判断方程的根的情况,三写写出不等式的解集.
3.应注意讨论ax2+bx+c0的二次项系数a是否为
0.
4.要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想.分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则.[备课札记]第2课时 二元一次不等式组与简单的线性规划对应学生用书文、理95~96页会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
1.必修5P84练习3改编点3,1和-4,6在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是________.答案-7<a<24解析点3,1和-4,6在直线3x-2y+a=0的两侧,说明将这两点坐标代入3x-2y+a后,符号相反,所以9-2+a-12-12+a<0,解得-7<a<
24.
2.必修5P86练习21改编不等式组所表示的平面区域的面积是________.答案25解析直线x-y+4=0与直线x+y=0的交点为A-2,2,直线x-y+4=0与直线x=3的交点为B3,7,直线x+y=0与直线x=3的交点为C3,-3,则不等式组表示的平面区域是一个以点A-2,2,B3,7,C3,-3为顶点的三角形,所以其面积为S△ABC=×5×10=
25.
3.设实数x,y满足则z=3x+2y的最大值是________.答案7解析由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为0,0,2,0,0,3,1,2.因此3x+2ymax=3×1+2×2=
7.
4.必修5P89练习2改编设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为________.答案-8解析画出可行域与目标函数线,如图可知,目标函数在点-2,2处取最小值-
8.
5.已知实数x,y满足不等式组则z=2x-y的最大值为________.答案8解析画出可行域,如图中阴影部分所示.由图可知z=2x-y在点A4,0处取最大值,即zmax=
8.
1.二元一次不等式组表示的平面区域1二元一次不等式表示的平面区域一般地,直线y=kx+b把平面分成两个区域,ykx+b表示直线y=kx+b上方的平面区域,ykx+b表示直线y=kx+b下方的平面区域.2选点法确定二元一次不等式表示的平面区域
①任选一个不在直线上的点;
②检验它的坐标是否满足所给的不等式;
③若满足,则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域,否则,直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域.3二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域.
2.线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x,y满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 在直角坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为,则t的值为________.答案1解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由解得交点Bt,t+1.在y=x+1中,令x=0得y=1,即直线y=x+1与y轴的交点为C0,1.由平面区域的面积S==,得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3不合题意,舍去.变式训练若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m=________.答案1解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,m>-
1.由解得即A1-m,1+m.由解得即B.所围成的区域为△ABC,则S△ABC=S△ADC-S△BDC=2+2m1+m-2+2m·1+m=1+m2=,解得m=-3舍去或m=
1. 2 线性规划问题 2 1设变量x,y满足则目标函数z=2x+3y的最小值为________;2变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m=________.答案17 21解析1作出可行域如图所示,目标函数z=2x+3y的几何意义是直线y=-x+在y轴上的截距为,因此z的最小值也就是直线截距的最小值,平移直线y=-x,经过点B2,1时,zmin=2×2+3×1=
7.2如图所示,目标函数z=2x-y取最大值2,即y=2x-2时,画出表示的区域,由于mx-y≤0过定点0,0,要使z=2x-y取最大值2,则目标函数必过两直线x-2y+2=0与y=2x-2的交点A2,2,因此直线mx-y=0过点A2,2,故有2m-2=0,解得m=
1.变式训练已知实数x,y满足1若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;2若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.解由作出可行域,如图中阴影部分所示.1z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率直线OA的斜率不存在,即zmax不存在.由得B1,2,∴kOB==2,即zmin=2,∴z的取值范围是[2,+∞.2z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此x2+y2的值最小为OA2取不到,最大值为OB
2.由得A0,1,∴OA2=02+12=1,OB2=12+22=
5.∴zmax=5,z无最小值.∴z的取值范围是1,5]. 3 线性规划的实际应用 3 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨,生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,求该企业可获得的最大利润.解设甲、乙两种产品分别需生产x,y吨,利润为z万元,则z=5x+3y.由题意可得,x,y满足约束条件作出可行域如图所示.由图可知当z=5x+3y经过可行域中的点3,4时,直线z=5x+3y在y轴上的截距最大,故该企业可获得的最大利润zmax=5×3+3×4=27万元.
1.2017·课标Ⅱ设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是________.答案-15解析目标函数即y=-2x+z,其中z表示斜率为k=-2的直线系与可行域有交点时直线的截距值,数形结合可得目标函数在点B-6,-3处取得最小值z=-12-3=-
15.
2.2017·南京、盐城已知实数x,y满足则的最小值是________.答案解析表示可行域内的点与原点连线的斜率,作出可行域,发现可行域内的点4,3为最优解,代入可得的最小值是.
3.2017·课标Ⅰ设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为________.答案-5解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,易求得A-1,1,B,C,由z=3x-2y得y=x-在y轴上的截距越大,z就越小,所以当直线z=3x-2y过点A时,z取得最小值,所以z的最小值为3×-1-2×1=-
5.
4.2017·无锡期末设不等式表示的平面区域为M.若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值范围是________.答案[2,5]解析由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.因为函数y=kx-2的图象是过点A0,-2,且斜率为k的直线l,由图知,当直线l过点B1,3时,k取最大值5,当直线l过点C2,2时,k取最小值2,故实数k的取值范围是[2,5].
1.已知实数x,y满足则z=2x-y的最大值是________.答案5解析作出可行域如图阴影部分所示,发现当直线z=2x-y过点C3,1时,目标函数z取最大值,且最大值为
5.
2.若实数x,y满足则z=2x+3y的最大值为________.答案8解析由约束条件作出可行域如图阴影部分所示,可行域的三个顶点分别为0,1,1,0,1,2,由图可得,目标函数过点1,2时,z取最大值,故z=2x+3y的最大值为
8.
3.已知实数x,y满足若不等式4x2+y2-axy≤0恒成立,则实数a的最小值为________.答案5解析由得2≤≤
4.由已知得a≥+,则实数a的最小值为
5.
4.已知变量x,y满足约束条件且有无穷多个点x,y使目标函数z=x+my取得最小值,则m=________.答案1解析作出线性约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示.若m=0,则z=x,目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个,不符合题意;若m≠0,则目标函数z=x+my可看作斜率为-的动直线y=-x+.若m0,则-0,数形结合知使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个;若m0,则-0,数形结合可知,当动直线与直线AB重合时,有无穷多个点x,y在线段AB上,使目标函数z=x+my取得最小值,即-=-1,则m=
1.综上可知,m=
1.
1.确定不等式Ax+By+C00,≥0,≤0表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域,常用两种方法一是在直线的某一侧取一特殊点;二是将不等式化为ykx+b,≥,≤.
2.在线性约束条件下,当b0时,求目标函数z=ax+by+c的最值的步骤1作出可行域;2作出直线l0ax+by=0;3平移直线l0ax+by=0,依可行域判断取得最值的最优解的点;4解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最值.
3.常见的非线性目标函数的几何意义1表示点x,y与原点0,0的距离;2表示点x,y与点a,b的距离;3表示点x,y与原点0,0连线的斜率值;4表示点x,y与点a,b连线的斜率值.[备课札记]第3课时 基本不等式对应学生用书文、理97~98页掌握基本不等式,能利用基本不等式推导不等式,能利用基本不等式求最大小值.
①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大小值问题.
1.必修5P99练习4改编若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是________.答案6解析由基本不等式,得3a+3b≥2=2=6,当且仅当a=b=1时取等号,所以3a+3b的最小值是
6.
2.必修5P105复习题9改编若fx=x+-2x<0,则fx的最大值为________.答案-4解析∵x<0,∴fx=-[-x+]-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.
3.必修5P105复习题10改编若x-3,则x+的最小值为________.答案2-3解析∵x+30,∴x+=x+3+-3≥2-3=2-3,当且仅当x+3=,即x=-3+时取等号.
4.原创若对任意x0,≤a恒成立,则实数a的取值范围是________.答案解析因为≤a恒成立,所以a≥.又=≤=,当且仅当x=,即x=1时等号成立,所以a≥.
5.原创已知a0,b0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为________.答案9解析原不等式恒成立等价于m≤,而2a+b=5++≥5+2=9,当且仅当a=b时等号成立.所以m≤9,即m的最大值为
9.
1.算术平均数与几何平均数对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
2.基本不等式≤1基本不等式成立的条件a≥0,b≥0;2等号成立的条件当且仅当a=b时取等号;3结论两个非负数a,b的算术平均数不小于其几何平均数.
3.几个重要的不等式1重要不等式a2+b2≥2aba,b∈R.当且仅当a=b时取等号.2ab≤a,b∈R,当且仅当a=b时取等号.3≥a,b∈R,当且仅当a=b时取等号.[备课札记] 1 通过配凑法利用基本不等式求最值 1 1已知x,则fx=4x-2+的最大值为________;2若函数fx=x+x2在x=a处取最小值,则a=________.答案11 23解析1因为x,所以5-4x0,则fx=4x-2+=-+3≤-2+3=
1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.故fx=4x-2+的最大值为
1.2因为x2,所以x-20,则fx=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.所以当fx取最小值时,x=3,即a=
3.变式训练若-4<x<1,求的最大值.解=·=[x-1+]=-.∵-4<x<1,∴-x-1>0,>
0.从而≥2,-≤-1,当且仅当-x-1=,即x=0时取等号.即=-
1.正数x,y满足+=
1.1求xy的最小值;2求x+2y的最小值.解1由1=+≥2得xy≥36,当且仅当=,即x=2,y=18时取等号,故xy的最小值为
36.2由题意可得x+2y=x+2y=19++≥19+2=19+6,当且仅当=,即9x2=2y2时取等号,故x+2y的最小值为19+
6. 2 通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值 2 1已知x0,y0且x+y=1,则+的最小值为________;2已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.答案118 26解析1常数代换法∵x0,y0且x+y=1,∴+=x+y=10++≥10+2=
18.当且仅当=,即x=2y时等号成立,∴当x=,y=时,+有最小值
18.2由已知得x=.解法1消元法∵x0,y0,∴y3,∴x+3y=+3y=+3y+3-6≥2-6=6,当且仅当=3y+3,即y=1,x=3时,x+3ymin=
6.解法2∵x0,y0,∴9-x+3y=xy=x·3y≤·,当且仅当x=3y时等号成立.设x+3y=t0,则t2+12t-108≥0,∴t-6t+18≥
0.又t0,∴t≥
6.故当x=3,y=1时,x+3ymin=
6.变式训练1已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为________;2若x,y∈0,+∞且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________.答案12-3 218解析1由xy+2x+y=4,解得y=,则x+y=x-2+=x+1+-3≥2-3,当且仅当x=-1时等号成立.2由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1,∴x+y=x+y=10++=10+2≥10+2×2=18,当且仅当=,即x=2y时取等号.又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,即当x=12,y=6时,x+y取最小值
18. 3 基本不等式与函数的综合应用 3 已知函数fx=a∈R,若对于任意x∈N*,fx≥3恒成立,则a的取值范围是________.答案解析对任意x∈N*,fx≥3恒成立,即≥3恒成立,可得a≥-+
3.设gx=x+,x∈N*.∵gx在0,2]上单调递减,在[2,+∞上单调递增,而x∈N*,∴gx在x取距离2较近的整数值时达到最小,而距离2较近的整数为2和3,且g2=6,g3=.∵g2g3,∴gxmin=.∴-+3≤-,∴a≥-,故a的取值范围是.变式训练要制作一个如图的框架单位m,要求所围成的总面积为
19.5m2,其中四边形ABCD是一个矩形,四边形EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=AB,tan∠FED=,设AB=xm,BC=ym.1求y关于x的函数解析式;2怎样设计x,y的长度,才能使所用材料最少?解1如图,作DH⊥EF于点H.依题意,DH=AB=x,EH==×x=x,∴=xy+x=xy+x2,∴y=-x.∵x>0,y>0,∴-x>0,解得0<x<,∴所求解析式为y=-x.2在Rt△DEH中,∵tan∠FED=,∴sin∠FED=,∴DE==x×=x,设框架的周长为lm.则l=2x+2y+2×x+=2y+6x=-x+6x=+x≥2=
26.当且仅当=x,即x=3时取等号,此时y=-x=4,∴AB=3m,BC=4m时,能使整个框架所用材料最少. 4 基本不等式的实际应用 4 某单位拟建一个扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成的.按设计要求扇环面的周长为30m,其中大圆弧所在圆的半径为10m.设小圆弧所在圆的半径为xm,圆心角为θ弧度.1求θ关于x的函数解析式;2已知在花坛的边缘实线部分进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数解析式,并求出x为何值时,y取得最大值.解1由题意可得,30=θ10+x+210-x,所以θ=0<x<10.2花坛的面积为θ102-x2=5+x10-x=-x2+5x+500<x<10.装饰总费用为9θ10+x+810-x=170+10x,所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-.令t=17+x,则y=-≤,当且仅当t=18时取等号,此时x=1,θ=.所以当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.去年冬季,我国多地区遭遇了雾霾天气,引起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元,售价为8元,月销售5万只.1据市场调查,若售价每提高
0.5元,月销售量将相应减少
0.2万只,要使月总利润不低于原来的月总利润月总利润=月销售总收入-月总成本,该口罩每只售价最多为多少元?2为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每只售价xx≥9元,并投入x-9万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每只售价每提高
0.5元,月销售量将相应减少万只.则当每只售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.解1设每只售价为x元x8,则月销售量为万只,由已知得x-6≥8-6×5,∴x2-x+≤0,即2x2-53x+296≤0,解得8≤x≤,即每只售价最多为
18.5元.2下月的月总利润y=x-6-x-9=-x+=-x+=-+.∵x≥9,∴+≥2=,当且仅当=,即x=10时取等号,ymax=
14.答当x=10时,下月的月总利润最大,且最大利润为14万元.
1.2017·苏北四市模拟若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值是________.答案8解析由已知得x=,而0<x<,所以y>
3.则+=y+3+=y-3++6≥8,当且仅当y=4,x=时等号成立.即=
8.
2.2017·苏州期末已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为________.答案解析由x+y=1,得x+2+y+1=4,+=x+2+y+1=[4+1++]≥5+4=,当且仅当=,即x=,y=时取等号.即=.
3.2017·泰州、南通模拟若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值是________.答案8解析+=+=x+y-1=++4≥
8.当且仅当=,即x=,y=时取等号.
4.2017·苏锡常镇二模已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则-+b2-的最小值为________.答案7解析∵a,b均为正数,且ab-a-2b=0,即a+2b=ab,∴+=
1.则-+b2-=+b2-
1.+b==++2≥2+2=4,当且仅当a=4,b=2时取等号.∴+b2≥≥8,当且仅当a=4,b=2时取等号.∴-+b2-=+b2-1≥
7.
5.2016·江苏卷在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是__________.答案8解析解法1∵sinA=2sinBsinC,sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,两边同除以cosBcosC,可得tanB+tanC=2tanBtanC,tanAtanBtanC=-tanB+CtanBtanC=-·tanBtanC=,由三角形为锐角三角形得tanB0,tanC0,tanA=0,即tanBtanC-
10.令tanBtanC-1=tt0,则tanAtanBtanC==2t++4≥8,当且仅当t=1,即tanBtanC=2时取等号.解法2同解法1可得tanB+tanC=2tanBtanC,又tanA+tanB+tanC=tanA+1-tanBtanC·tanB+C=tanA-tanA+tanAtanBtanC=tanA·tanBtanC,∴tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2⇒tanAtanBtanC≥8,当且仅当tanA=2tanBtanC=4时取等号.
7.忽视最值取得的条件致误典例 1已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________;2函数y=1-2x-x<0的最小值为________.易错分析1多次使用基本不等式,忽略等号成立的条件.如∵1=+≥2,∴≥2,∴x+y≥2≥4,∴x+ymin=
4.2没有注意到x<0这个条件,误用基本不等式得2x+≥
2.解析1∵x>0,y>0,∴x+y=x+y=3++≥3+2当且仅当y=x时取等号,∴当x=+1,y=2+时,x+ymin=3+
2.2∵x<0,∴y=1-2x-=1+-2x+≥1+2=1+2,当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+
2.答案13+2 21+2特别提醒1利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;2尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.
1.已知正数a,b满足+=-5,则ab的最小值为________.答案36解析由+=-5≥2,得ab-5-6≥0,解得≥6,ab≥
36.
2.已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是________.答案-2解析+=+=++≥-+2=,当且仅当a=-2,b=4时等号成立.
3.2017·南京三模已知a,b,c为正实数,且a+2b≤8c,+≤,则的取值范围是________.答案[27,30]解析因为a,b,c为正实数,对a+2b≤8c的左右两边同除以c,得+≤8;对+≤的左右两边同乘c,得+≤2;令x=,y=,则条件可转化为再进行化简,可得即求z==3x+8y的取值范围,转化为线性规划的问题,画出可行域,对y=+求导,并令导函数值为-,可得切点横坐标为3,代入曲线,计算出切点坐标为,利用线性规划,可知z=3x+8y分别在2,3和处取最值,可得的取值范围是[27,30].
4.2017·无锡期末已知a0,b0,c2,且a+b=2,则+-+的最小值为________.答案+解析由a>0,b>0,c>2,且a+b=2,得+-+=c+=+.由2=,可得==≥=,当且仅当b=a时等号成立,则原式≥c+=≥·=+.当且仅当c=2+时等号成立.
1.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,而≥成立的条件是a≥0,b≥0,使用时要注意公式成立的前提条件.
2.在运用基本不等式时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中的“一正”即条件中字母为正数“二定”不等式的另一边必须为定值“三相等”等号取得的条件.
3.正确理解定理“和一定,相等时积最大;积一定,相等时和最小”.
4.连续使用公式两次或以上,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
5.掌握函数y=ax+a0,b0的单调性,特别是当运用基本不等式不能满足“三相等”时.[备课札记]第4课时 不等式的综合应用对应学生用书文、理99~100页掌握不等式的综合应用;掌握基本不等式的综合应用;掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用. 解决应用性问题的基本思路读题背景、结论—条件—建模—解题—反思—作答.
1.必修5P102习题7改编函数y=x+x≠0的值域是________.答案-∞,-4]∪[4,+∞解析当x0时,y=x+≥2=4;当x0时,y=x+=-≤-2=-
4.
2.必修5P102习题9改编某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙第一次提价q%,第二次提价p%;方案丙第一次提价%,第二次提价%.其中pq0,上述三种方案中提价最多的是________.答案方案丙解析设原来价格为A,方案甲经两次提价后价格为A=A;方案乙经两次提价后价格为A;方案丙经两次提价后价格为A=A[1++·].因为,所以方案丙提价最多.
3.设x∈R,fx=,若不等式fx+f2x≤k对于任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是________.答案k≥2解析不等式转化为k≥+,因为∈0,1],所以k≥
2.
4.必修5P106复习题16改编已知x0,y0且满足+=1,则x+y的最小值是________.答案18解析∵x0,y0,∴x+y=x+y=2+8++≥10+2=18,当且仅当=时等号成立.又+=1,∴当x=6,y=12时,x+y有最小值
18.
5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.答案[9,+∞解析由a0,b0,得a+b≥2,则ab=a+b+3≥2+3,即ab-2-3≥0⇒-3+1≥0⇒≥3,∴ab≥
9.[备课札记] 1 含参数的不等式问题 1 若不等式组的解集中所含整数解只有-2,求k的取值范围.解由x2-x-20得x<-1或x>2,由2x2+5+2kx+5k<0得2x+5x+k<0,因为-2是原不等式组的解,所以k<
2.由2x+5x+k<0有-<x<-k.因为原不等式组的整数解只有-2,所以-2<-k≤3,即-3≤k<2,故k的取值范围是[-3,2.变式训练解关于x的不等式>0a∈R.解原不等式等价于ax-1x+1>
0.
①当a=0时,由-x+1>0,得x<-1;
②当a>0时,不等式化为x+1>0,解得x<-1或x>;
③当a<0时,不等式化为x+1<0;若<-1,即-1<a<0,则<x<-1;若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若>-1,即a<-1,则-1<x<.综上所述,a<-1时,解集为;a=-1时,原不等式无解;-1<a<0时,解集为;a=0时,解集为{x|x<-1};a>0时,解集为. 2 不等式在实际问题中的应用 2 某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120时,每小时的油耗所需要的汽油量为L,其中k为常数,且60≤k≤
100.1若汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为
11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,求x的取值范围;2求该汽车行驶100km的油耗的最小值.解1由题意,当x=120时,=
11.5,所以k=
100.由≤9,得x2-145x+4500≤0,∴45≤x≤
100.∵60≤x≤120,∴60≤x≤
100.2设该汽车行驶100km的油耗为yL,则y=·=20-+60≤x≤120.令t=,则t∈,∴y=90000t2-20kt+20=90000+20-.对称轴为直线t=.∵60≤k≤100,∴∈.
①若≥,即75≤k≤100,则当t=,即x=时,ymin=20-;
②若<,即60≤k<75,则当t=,即x=120时,ymin=-.答当75≤k≤100时,该汽车行驶100km的油耗的最小值为L;当60≤k<75时,该汽车行驶100km的油耗的最小值为L.现有一占地1800m2的矩形地块,中间三个矩形设计为花圃如图,种植不同品种的观赏花卉,周围则均是宽为1m的赏花小径,设花圃占地面积为Sm2,设矩形一边的长为x如图所示.1试将S表示为x的函数;2问应该如何设计矩形地块的边长,使花圃占地面积S取得最大值?解1由题知S=ax-2+2ax-3=a3x-8,又3a+3=,则a=-1,所以S=3x-8=1808-3x-.2S=1808-3x-=1808-3≤1808-240=1568当且仅当x=40时取等号,此时另一边长为45m.答当x=40m,另一边长为45m时花圃占地面积S取得最大值1568m
2. 3 基本不等式的灵活运用 3 设x,y均为正实数,且+=1,则xy的最小值为__________.答案16解析由+=1,得xy=8+x+y.∵x,y均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2当且仅当x=y时等号成立,即xy-2-8≥0,解得≥4,即xy≥
16.故xy的最小值为
16.变式训练已知x+y=1,y>0,x>0,则+的最小值为________.答案解析将x+y=1代入+中,得+=++.设=t>0,则原式=+==·=[1+2t++1]≥×2+=,当且仅当t=,即x=,y=时等号成立.
1.已知正数x,y满足x+2y=1,则的最大值为________.答案解析∵正数x,y满足x+2y=1,∴=x+2y·=10++≥10+2=18,当且仅当=,即x=,y=时取等号,∴的最小值为18,∴的最大值为.
2.若x>0,y>0,则+的最小值为________.答案-解析设=t>0,则+=+t=+2t+1-≥2-=-,当且仅当t==时取等号.
3.若x,y,z均为正实数,且x2+y2+z2=1,则的最小值为________.答案3+2解析x,y,z均为正实数,且x2+y2+z2=1,可得1-z2=x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,则≥==≥=3+
2.当且仅当z=-1,即x=y=时,取得最小值3+
2.
4.已知x>y>0,且x+y≤2,则+的最小值为________.答案解析由x>y>0,可得x+3y>0,x-y>0,[x+3y+x-y]=5++≥5+2=9,可得+≥=≥.当且仅当2x-y=x+3y,即x=5y=时,取得最小值.
5.2017·苏州期中如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度,EF将绿地分成两部分,且右边面积是左边面积的3倍.设EC=x百米,EF=y百米.1当点F与点D重合时,试确定点E的位置;2试求x的值,使路EF的长度y最短.解1平行四边形ABCD的面积为S▱ABCD=2××1×2sin120°=,当点F与点D重合时,S△CFE=CE·CD·sin120°=x.∵S△CFE=S▱ABCD,∴x=,∴x=1,∴E是BC的中点.2
①当点F在CD上时,∵S△CFE=CE·CF·sin120°=S▱ABCD=,∴CF=.在△CFE中,EF2=CE2+CF2-2CE·CF·cos120°,∴y=≥,当且仅当x=1时取等号,此时E在BC中点处且F与D重合,符合题意;
②当点F在DA上时,∵S梯形CEFD=·=S▱ABCD=,∴DF=1-x.ⅰ当CE<DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=1-2x,∠EGF=60°,由余弦定理得y=;ⅱ当CE≥DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=2x-1,∠EGF=120°,由余弦定理得y=;由ⅰ,ⅱ可得y==,∴当x=时,ymin=,此时E在BC的八等分点靠近C处且DF=百米,符合题意;∴由
①②可知,当x=时,路EF的长度y最短为百米.
1.设D为不等式组表示的平面区域,区域D上的点与点1,0之间的距离的最小值为________.答案解析不等式组表示的区域D如图阴影部分所示.由图知点P1,0与平面区域D上的点的最短距离为点P1,0到直线y=2x的距离d==.
2.已知正实数a,b,c满足+=1,++=1,则实数c的取值范围是________.答案1<c≤解析∵++=1,∴+=1,化为c=.∵正实数a,b满足+=1,∴1≥2,化为ab≥
4.则c==1+,ab-1≥3,则1<c≤.
3.已知对于一切x,y∈R,不等式x2+-2xy--a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.答案-∞,6]解析x2+-2xy-=x-y2+-2,令z=x-y2+,则z表示点A与点By,之间距离d的平方,因为A为双曲线y=上一点,B为半圆x2+y2=2y≥0上一点,在同一坐标系中画出两曲线的图象,如图所示.可以看出两点间距离的最小值为2,即距离的平方为8,故z≥8,∴x2+-2xy-=x-y2+-2-2≥6,∴a≤6,所以实数a的取值范围是-∞,6].
4.2017·苏北四市期中某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中∠ABC=∠BAD=90°,AD=DC=2km,BC=1km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分成面积相等的两部分.1如图
①,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;2如图
②,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度.解1因为AD=DC=2,BC=1,∠ABC=∠BAD=90°,所以AB=.如图
①,取AB中点G,连结EG,则四边形BCEF的面积为S梯形ABCD=S梯形BCEG+S△EFG,即×××1+2=××+GF×,解得GF=,所以EF==km.故灌溉水管EF的长度为km.
①
②2设DE=a,DF=b,连结AC,在△ABC中,CA==2,所以在△ADC中,AD=DC=CA=2,所以∠ADC=60°,所以△DEF的面积为absin60°=ab.又S梯形ABCD=,所以ab=即ab=
3.在△DEF中,由余弦定理,得EF=≥=,当且仅当a=b=时等号成立.故灌溉水管EF的最短长度为km.
1.不等式应用大致可分为两类一类是建立不等式求参数的取值范围,或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题中涉及的各部分知识及联系,充分利用数学思想和数学方法解题.
2.建立不等式的主要途径有利用基本不等式;利用问题的几何意义;利用判别式;利用函数的有界性;利用函数的单调性等.
3.解答不等式的实际应用问题一般分四步,即审题、建模、求解、检验.[备课札记]。