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第十章 算法、统计与概率第1课时 算 法
①算法初步是高中数学新课程标准中新添加的内容，高考对本章的考查主要以填空题的形式出现，单独命题以考查考生对流程图的识别能力为主，对算法语言的阅读理解能力次之，考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大.
②算法可结合在任何试题中进行隐性考查，因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课标的基本要求，常见的与其他知识的结合有分段函数、方程、不等式、数列、统计等知识综合，以算法为载体，以算法的语言呈现，实质考查其他知识.
①了解算法的含义、算法的思想.
②理解程序框图的三种基本逻辑结构顺序、选择、循环.
③理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
1.（必修3P37测试1改编）如图所示的流程图中，输出的x＝ ，y＝ Ｗ.答案4 5解析S1 先把1赋给x；S2 把3赋给y；S3 把y＋1赋给x，即将3＋1赋给x；∴x现在的值是4，它将x原来的值x＝1覆盖了.S4 把x＋1赋给y，即4＋1赋给y，∴y现在的值是5，它将y原来值y＝3覆盖了.∴输出x＝4，y＝
5.
2.（必修3P37测试2改编）运行如图所示的流程图.若输入值x∈[－2，2]，则输出值y的取值范围是 Ｗ.答案[－1，4]解析实际上是求函数y＝x（x－2），0≤x≤2的值域，作出函数的图象（图略）得到y的取值范围是[－1，4].
3.（原创）根据下面流程图，当输入x为6时，输出的y＝ Ｗ.答案10解析该流程图运行如下x＝6－3＝30，x＝3－3＝0，x＝0－3＝－30，y＝（－3）2＋1＝
10.
4.（必修3P37测试3改编）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为 Ｗ.ReadxIfx≤50Then y←
0.5xElse y←25＋
0.6（x－50）EndIfPrinty答案31解析算法语言给出的是分段函数y＝25＋
0.6（x－50），x50，输入x＝60时，y＝25＋
0.6（60－50）＝
31.
5.（必修3P37测试5改编）运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为 Ｗ.i←1S←0Whilei＜8 i←i＋3 S←2×i＋SEndWhilePrintS答案42解析由题设可知，循环体执行3次，从而有S＝0＋8＋14＋20＝
42.
1.流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序.
2.常见的图框、流程线及功能图形符号名称功能起止框表示算法的开始或结束，一般画成圆角矩形输入、输出框表示输入、输出操作，一般画成平行四边形处理框表示赋值或计算，一般画成矩形判断框根据条件决定执行两条路径中的某一条，一般画成菱形流程线表示执行步骤的路径，可用箭头线表示
3.基本的算法结构算法都可以由顺序结构、选择结构、循环结构组成.名称内容顺序结构选择结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体流程图
4.赋值语句用符号“x←y”表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或表达式Ｗ.
5.输入语句、输出语句
（1）输入语句“Reada，b”表示输入的数据依次送给a，bＷ.
（2）输出语句“Printx”表示输出运算结果xＷ.
6.条件语句条件语句的一般形式是IfAThenBElseCEndIf其中A表示判断的条件，B表示满足条件时执行的操作内容，C表示不满足条件时执行的操作内容，EndIf表示条件语句结束Ｗ.
7.循环语句循环语句一般有三种“While循环”“Do循环”“For循环”.
（1）当型循环一般采用“While循环”描述循环结构.格式功能先判断条件是否成立，当条件成立时，执行循环体，遇到EndWhile语句时，就返回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过程，若不成立，则退出循环.当型语句的特点是先判断，后执行.
（2）直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构.格式功能先执行循环体部分，然后再判断所给条件是否成立.如果条件不成立，那么再次执行循环体部分，如此反复，直到所给条件成立时退出循环.直到型语句的特点是先执行，后判断.
（3）当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示.格式ForIFrom“初值”To“终值”Step“步长” 循环体EndFor功能根据For语句中所给定的初值、终值和步长来确定循环次数，反复执行循环体内各语句.通过For语句进入循环，将初值赋给变量I，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个语句，遇到EndFor，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体.这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环. 1 选择结构的算法功能 1 （2017·江苏卷）如图是一个算法流程图.若输入x的值为，则输出y的值是 Ｗ.答案－2解析因为输入x的值为，不满足x≥1，所以y＝2＋log2＝－
2.变式训练（2017·南京三模）执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为 Ｗ.ReadxIfx≥0 Then y←2x＋1Else y←2－x2EndIfPrinty答案－1解析若x≥0，则2x＋1＝1，解得x＝－1（舍去）；若x＜0，则2－x2＝1，解得x＝±1，所以x＝－
1.综上所述，输入x的值为－
1. 2 循环结构的算法功能 2 根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 Ｗ.S←0ForIFrom1To28Step3S←S＋IEndForPrintS答案145解析由算法伪代码知，此算法为计算首项为1，公差为3的等差数列的前10项的和，所以S＝1＋4＋…＋28＝＝
145.变式训练根据如图所示的伪代码，可以输出的结果S为 Ｗ.I←1Do I←I＋2 S←2I＋3UntilI≥8EndDoPrintS答案21解析I＝1，第一次循环，I＝3，S＝9；第二次循环，I＝5，S＝13；第三次循环，I＝7，S＝17；第四次循环，I＝9，S＝21；退出循环，故输出的结果为
21. 3 算法的综合运用 3 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 Ｗ.答案－1解析由流程图知循环体执行8次，第1次循环S＝，n＝2；第2次循环S＝－1，n＝3；第3次循环S＝2，n＝4，…，第8次循环S＝－1，n＝
9.变式训练（2017·苏锡常镇二模）下图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出S的值为 Ｗ.答案14解析模拟执行程序，可得，输入x的值为1，S＝1，不满足条件S＞5，x＝2，S＝5；不满足条件S＞5，x＝3，S＝14；满足条件S＞5，退出循环，输出S的值为
14.
1.（2017·扬州期末）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为 Ｗ.答案－15解析由题意，y＝当x＝5时，y＝5－4×5＝－15，所以输出的y的值为－
15.
2.（2017·南京、盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 Ｗ.答案9解析由题意，x＝1，y＝9，x＜y，第1次循环，x＝5，y＝7，x＜y；第2次循环，x＝9，y＝5，x＞y，退出循环，输出
9.
3.（2017·苏州期末）阅读下面的流程图，如果输出的函数f（x）的值在区间内，那么输入的实数x的取值范围是 Ｗ.答案[－2，－1]解析由题意，f（x）＝当f（x）∈时，所以所以输入的实数x的取值范围是[－2，－1].
4.（2017·南通、泰州一调）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为 Ｗ.答案5解析由题意，n＝1，a＝1，第1次循环，a＝5，n＝3，满足a＜16，第2次循环，a＝17，n＝5，不满足a＜16，退出循环，输出的n的值为
5.
5.（2017·苏北四市期末）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为 Ｗ.S←0I←1WhileI≤5 I←I＋1 S←S＋IEndWhilePrintS答案20解析第一次I＝1，满足条件I≤5，I＝1＋1＝2，S＝0＋2＝2；第二次I＝2，满足条件I≤5，I＝2＋1＝3，S＝2＋3＝5；第三次I＝3，满足条件I≤5，I＝3＋1＝4，S＝5＋4＝9；第四次I＝4，满足条件I≤5，I＝4＋1＝5，S＝9＋5＝14；第五次I＝5，满足条件I≤5，I＝5＋1＝6，S＝14＋6＝20；第六次I＝6，不满足条件I≤5，循环终止，输出S＝
20.
1.运行如图所示的伪代码，其结果为 Ｗ.S←1ForIFrom1To7Step2 S←S＋IEndForPrintS答案17解析题设伪代码的循环体执行如下S＝1＋1＋3＋5＋7＝
17.
2.（2017·无锡期末）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 Ｗ.i←1S←－2While i＜8 i←i＋2 S←3i＋SEndWhilePrintS答案70解析第一次i＝1，满足条件i＜8，i＝1＋2＝3，S＝3×3－2＝7；第二次i＝3，满足条件i＜8，i＝3＋2＝5，S＝3×5＋7＝22；第三次i＝5，满足条件i＜8，i＝5＋2＝7，S＝3×7＋22＝43；第四次i＝7，满足条件i＜8，i＝7＋2＝9，S＝3×9＋43＝70；第五次i＝9，不满足条件i＜8，循环终止，输出S＝
70.
3.（2017·北京卷）执行如图所示的程序框图，输出s的值为 Ｗ.答案解析k＝0，s＝1，满足k3；k＝1，s＝＝2，满足k3；k＝2，s＝＝，满足k3；k＝3，s＝＝，不满足k3，故输出s的值为.
4.（2017·全国卷Ⅰ）下面程序框图是为了求出满足3n－2n1000的最小偶数n，那么在两个空白框中，可以分别填入 Ｗ.（填序号）
①A1000和n←n＋1；
②A1000和n←n＋2；
③A≤1000和n←n＋1；
④A≤1000和n←n＋
2.答案
④解析根据程序框图可知，判断框中如果满足条件则再次进入循环，不满足则结束循环，所以不能填“A＞1000”，只能填“A≤1000”.由于要求解的是最小偶数n，而n的初始值为0，所以处理框中应填“n←n＋2”.
1.求解伪代码问题的基本思路关键是理解基本算法语言.在一个赋值语句中，只能给一个变量赋值，同一个变量的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次为准.对于条件语句要注意准确判断和语句格式的完整性理解.对于循环语句，要注意是当型循环，还是直到型循环，弄清何时退出循环.
2.注意算法与其他知识的综合交汇，特别是用流程图来设计数列的求和是高考的常考题型.数列的求和计算问题是典型的算法问题，要求能看懂流程图和伪代码，能把流程图或伪代码转化为数列问题，体现了化归的思想方法.[备课札记]第2课时 统计初步（对应学生用书（文）156～158页、（理）161～162页）统计内容在高考中多为基础题，常以填空题的形式出现，以实际问题为背景，考查学生的计算能力和读图能力，重点考查频率分布直方图和用样本来估计总体（平均数和方差），有时也会对抽样的方法进行考查.
①了解抽样的方法以及科学、合理地选用抽样方法的必要性；了解抽样的操作步骤；
②会用频率分布直方图对总体分布规律进行统计；
③能用样本数据的平均值估计总体的水平；
④理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
1.（必修3P47练习2改编）为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样的方法，则分段间隔k为 Ｗ.答案40解析k＝＝＝
40.
2.（必修3P49练习4改编）某中学三个年级共240人，其中七年级100人，八年级80人，九年级60人，为了了解初中生的视力状况，抽查12人参加体检，应采用 Ｗ.（填序号）
①简单随机抽样法；
②系统抽样法；
③分层抽样法.答案
③解析学生视力会随年级的不同而变化，应用分层抽样法.
3.（必修3P62习题2改编）一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，
2.则样本在（10，50]上的频率为 Ｗ.答案
0.7解析样本在（10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14，故频率为14÷20＝
0.
7.
4.（必修3P68练习3改编）某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均分作为该班节目的实际得分.对于某班的演出，7位评委的评分分别为
9.65，
9.70，
9.68，
9.75，
9.72，
9.65，
9.78，则这个班节目的实际得分是 Ｗ.答案
9.70解析x＝×（
9.65＋
9.70＋
9.68＋
9.75＋
9.72）＝
9.
70.
5.（必修3P71练习4改编）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表甲乙丙丁平均成绩x（环）
8.
68.
98.
98.2方差s2（环2）
3.
53.
52.
15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 Ｗ.答案丙解析乙与丙的平均成绩好于甲与丁的平均成绩，而且丙的方差小于乙的方差，说明丙的成绩比乙稳定，所以应派丙参加比赛.
1.简单随机抽样
（1）定义从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（nN），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样.
（2）分类简单随机抽样
2.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为
（1）采用随机的方式将总体中的N个个体编号；
（2）将编号按间隔k分段，当是整数时，取k＝；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝，并将剩下的总体重新编号；
（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；
（4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋（n－1）k的个体抽出.
3.分层抽样当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样.
4.绘制频率分布表的步骤
（1）求全距，决定组数和组距，组距＝；
（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.
5.作频率分布直方图的方法
（1）先制作频率分布表，然后作直角坐标系.
（2）把横轴分成若干段，每一线段对应1个组的组距，然后以此线段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形Ｗ.
（3）每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.
6.茎叶图茎相同者共用一个茎（如两位数中的十位数），茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶（如两位数中的个位数）一般按从小到大（或从大到小）的顺序同行列出.这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图.其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好.
7.平均数、标准差和方差设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x－，则x－＝，称s2＝为这个样本的方差，其算术平方根s＝为这个样本的标准差Ｗ.[备课札记] 1 抽样 1 （2017·南通三模）为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 Ｗ.答案7500解析设该校学生总人数为n，则1－＝，解得n＝
7500.变式训练某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 Ｗ.答案12解析抽样间隔为＝
20.设在1，2，…，20中抽取号码x0（x0∈[1，20]），在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*.∴24≤k＋≤
36.∵∈，∴k＝24，25，26，…，35，∴k的值共有35－24＋1＝12（个），即所求人数为
12. 2 频率分布直方图 2 （2017·扬州考前调研）随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为 Ｗ.答案900解析由图知，成绩不超过60分的学生的频率为（
0.005＋
0.01）×20＝
0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为
0.3×3000＝
900.变式训练为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费额（单位元），所有数据均在区间[0，4500]内，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有 户月消费额在1000元以下.答案750解析月消费额在1000元以下的频率为
0.00015×500＝
0.075，总户数为10000，则所求的户数为10000×
0.075＝
750. 3 样本的数字特征 3 （2017·南京三模）如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员得分的方差为 Ｗ.答案
6.8解析由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员是乙，他在五场比赛中得分分别为8，9，10，13，15，所以他的平均得分x乙＝＝11，他的方差s＝＝
6.
8.变式训练（2017·南通、泰州一调）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位分），结果如下学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那名学生的成绩的方差为 Ｗ.答案20分2解析根据表格知，成绩较为稳定（方差较小）的那名学生是乙，x乙＝×（80＋70＋75＋80＋70）＝75（分），其方差s＝×[（80－75）2＋（70－75）2＋（75－75）2＋（80－75）2＋（70－75）2]＝20（分2）.
1.（2017·苏州期末）用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生的总人数为 Ｗ.答案900解析样本中高二年级抽45－20－10＝15（人），设该校学生的总人数为n，则＝，所以n＝
900.
2.（2017·苏北三市三模）已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 Ｗ.答案（或
5.2）解析x＝×（3＋6＋9＋8＋4）＝6，s2＝×[（3－6）2＋（6－6）2＋（9－6）2＋（8－6）2＋（4－6）2]＝＝
5.
2.
3.为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位h）如下表使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡中使用寿命不低于1100h的灯泡约有 只.答案1400解析使用寿命不低于1100h的灯泡约有×5000＝1400（只）.
4.（2017·苏锡常镇二模）下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数x，则x的值为 Ｗ.数据[
12.5，
15.5）[
15.5，
18.5）[
18.5，
21.5）[
21.5，
24.5）频数2134答案
19.7解析x＝×（14×2＋17×1＋20×3＋23×4）＝
19.
7.
5.随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60]年龄段抽取的人数为 Ｗ.答案2解析不小于40岁的人数为100×（
0.015＋
0.005）×10＝20，在[50，60]年龄段的人数为100×
0.005×10＝5，设在[50，60]年龄段抽取的人数为x，则＝，则x＝
2.
1.（2017·南京、盐城二模）下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”中抽取了8人，则n的值为 Ｗ.答案30解析由题意得＝，解得n＝
30.
2.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是 Ｗ.答案16解析根据系统抽样的方法和特点，知样本的编号成等差数列，一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，故此等差数列的公差为13，故还有一个学生的学号是
16.
3.（2017·苏北四市期末）某次比赛甲得分的茎叶图如图，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为 Ｗ.答案14解析剩下的4个分数是42，44，46，52，这4个数的平均数是46，方差是×[（42－46）2＋（44－46）2＋（46－46）2＋（52－46）2]＝
14.
4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为 Ｗ.答案9解析（
0.004＋
0.002）×50×30＝
9.
5.（2017·山东卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为 、 Ｗ.答案3 5解析由茎叶图知，甲组的中位数为65，当乙组的中位数也为65时，y＝5，此时乙组的平均数为＝66，所以甲组中的未知数为66×5－（56＋65＋62＋74）＝73，所以x＝
3.
1.总体分布反映的是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不清晰的，所以用样本的分布估计总体分布，解频率分布表问题的关键是正确理解频率分布表，注意区分频数、频率的意义.
2.对于个体所取不同数值较少的总体，常用条形统计图表示其样本分布，而对于个体所取不同数值较多或无限的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布.解频率分布直方图问题，识图掌握信息是关键，特别要注意纵、横坐标所代表的意义及单位.
3.描述数据数字特征的有平均数、众数、中位数、方差等，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与其平均数的离散程度.解题时重在理解概念、公式并正确进行计算.[备课札记]第3课时 古典概型
（1）（对应学生用书（文）159～162页、（理）163～165页）概率的考查主要考查古典概型，计数的方法局限于枚举法，因而更趋向于考查概率的基本概念.
①了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的区别，知道根据概率的统计定义计算概率的方法.
②理解古典概型的特点及其概率计算公式.
③会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.
1.（必修3P94练习2改编）下列事件是随机事件的有 Ｗ.（填序号）
①若a，b，c都是实数，则a·（b·c）＝（a·b）·c；
②没有空气和水，人也可以生存下去；
③掷一枚硬币，出现反面；
④在标准大气压下，水的温度达到90℃时沸腾.答案
③解析
①为必然事件，
③为随机事件，
②④为不可能事件.
2.（必修3P97练习1改编）某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是 Ｗ.（填序号）
①明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨；
②明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨；
③明天本地降雨的可能性是80%；
④以上说法均不正确.答案
③解析本题主要考查对概率的意义的理解.选项
①②显然不正确，因为80%的概率是指降雨的概率，而不是指80%的区域降雨，更不是指有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.
3.（必修3P101例3改编）同时投掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件有 个.答案6解析由题意知，事件A包含的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个.
4.（必修3P103练习6改编）从A，B，C三名同学中选2名为代表，则A被选中的概率为 Ｗ.答案解析从A，B，C三名同学中选2名为代表，有AB，AC，BC三种可能，则A被选中的概率为.
5.（必修3P94练习4改编）从16个同类产品（其中有14个正品，2个次品）中任意抽取3个，则下列事件中概率为1的是 Ｗ.（填序号）
①三个都是正品；
②三个都是次品；
③三个中至少有一个是正品；
④三个中至少有一个是次品.答案
③解析16个同类产品中，只有2个次品，从中抽取三件产品，则
①是随机事件，
②是不可能事件，
③是必然事件，
④是随机事件.又必然事件的概率为1，所以答案为
③.
1.确定性现象与随机现象确定性现象随机现象在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象
2.事件及其分类
（1）定义对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件Ｗ.
（2）分类事 件确定性现象必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件不可能事件在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件随机事件
①定义在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件
②表示一般用A，B，C等大写英文字母表示
3.概率一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）Ｗ.
（1）有界性对任意事件A，有0≤P（A）≤1Ｗ.
（2）规范性若Ω，Ø分别代表必然事件和不可能事件，则P（Ω）＝1，P（Ø）＝0Ｗ.
4.事件
（1）基本事件在1次试验中可能出现的每一个基本结果Ｗ.
（2）等可能基本事件若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.
5.古典概型的特点
（1）所有的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的Ｗ.
6.古典概型的计算公式如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是Ｗ.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝，即P（A）＝.[备课札记] 1 随机事件的频率与概率 1 （2017·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位℃）有关.如果最高气温不低于25℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表最高气温（℃）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]频数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解
（1）当且仅当最高气温低于25℃时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为＝
0.6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为
0.
6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300＋2×（450－300）－4×450＝300；若最高气温低于20℃，则Y＝6×200＋2×（450－200）－4×450＝－
100.所以，Y的所有可能值为900，300，－
100.Y大于零是在最高气温不低于20℃时，由表格中数据知，最高气温不低于20℃的频率为＝
0.8，因此Y大于零的概率的估计值为
0.
8.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下分组[
1.5，
3.5）[
3.5，
5.5）[
5.5，
7.5）[
7.5，
9.5）[
9.5，
11.5]频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在[
5.5，
9.5）的概率约是 .答案解析根据数据分组，数据落在[
5.5，
9.5）的频率为＝，用频率估计概率，所以数据落在[
5.5，
9.5）的概率约是. 2 简单的古典概型问题 2 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求
（1）向上的点数之和是4的倍数的概率；
（2）向上的点数之和大于5且小于10的概率.解从图中容易看出，基本事件共36个.
（1）记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件为（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），共9个，所以P（A）＝＝.
（2）记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件为（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），共20个，所以P（B）＝＝.变式训练用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 Ｗ.答案解析由图案的规律可知黑色积木共有1＋2＋3＋…＋8＝36（个），白色积木共有6＋（6＋4）＋（6＋4×2）＋…＋（6＋4×7）＝160（个），则黑、白两种颜色的正六边形积木共有196个，则取出黑色积木的概率为＝. 3 古典概型与统计的综合 3 20名学生某次数学考试成绩（单位分）的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率.解
（1）由频率分布直方图可知组距为10，由（2a＋3a＋7a＋6a＋2a）×10＝1，解得a＝＝
0.
005.
（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×
0.005×10×20＝
2.成绩落在[60，70）中的学生人数为3×
0.005×10×20＝
3.
（3）记成绩落在[50，60）中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70）中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70）的学生中任选2人的基本事件共有10个，即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）.其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有3个，即（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）.故所求概率为P＝.变式训练根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000
（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.解
（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为×（8000×
0.25a＋4000×
0.30a＋6000×
0.15a＋3000×
0.10a＋10000×
0.20a）＝6400（美元）.因为6400∈[4085，12616），所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.
（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是（A，C），（A，E），（C，E），共3个，所以所求概率为P（M）＝.
1.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是立德树人、我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力.某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 Ｗ.答案解析从5个版块的试题中任选2个主题作答共有10个基本事件，“立德树人”主题被该队选中的基本事件有4个，则所求概率为＝.
2.（2017·苏锡常镇一模）从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 Ｗ.答案解析从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数的基本事件共有6个，这两个数的和为3的倍数所包含的基本事件有（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的概率P＝＝.
3.（2017·苏北三市三模）现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 Ｗ.答案解析把这三张卡片随机排序后有“中国梦”“中梦国”“国中梦”“国梦中”“梦中国”“梦国中”，共6种情况，能组成“中国梦”的只有1种，故所求概率为.
4.（2017·南通二调）100张卡片上分别写有1，2，3，…，
100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 Ｗ.答案（或
0.16）解析从分别写有1，2，3，…，100的100张卡片中任取1张的基本事件共有100个，所取的这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有6，12，…，96，共16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率P＝＝＝
0.
16.
5.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 Ｗ. 答案解析同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次所得的结果有8种，有两枚硬币正面向上的结果有3种，有三枚硬币正面向上的结果有1种，则至少有两枚硬币正面向上的结果有4种，从而至少有两枚硬币正面向上的概率P＝＝.
1.若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 Ｗ.答案解析甲与丙都不在第一天值班，说明乙在第一天值班，则乙在第一天值班的概率为.
2.（2017·天津卷）现有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .答案解析从5支不同颜色的彩笔中任取2支的取法有10种，取到红色彩笔的取法有4种，故所求概率P＝＝.
3.（2017·南京三模）甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球.现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 Ｗ.答案解析由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4＝8（种）情况，编号之和大于6的情况有（1，6），（2，5），（2，6），共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为.
4.2015年10月5日，我国科学家屠呦呦教授凭借对青蒿素的研究成果获得诺贝尔生理学或医学奖.目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员从某地随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）
（1）若该地有青蒿人工种植地180个，试估计该地中长势等级为三级的个数；
（2）从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个，求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率.解
（1）计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表种植地编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标1446245353由上表可知，长势等级为三级的只有A11个，其频率为，用样本的频率估计总体的频率，可估计该地中长势等级为三级的个数为180×＝18（个）.
（2）由
（1）可知，长势等级是一级（ω≥4）的有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，从中随机抽取两个，所有可能的结果为（A2，A3），（A2，A4），（A2，A6），（A2，A7），（A2，A9），（A3，A4），（A3，A6），（A3，A7），（A3，A9），（A4，A6），（A4，A7），（A4，A9），（A6，A7），（A6，A9），（A7，A9），共15个，其中综合指标ω＝4的有A2，A3，A6，共3个，符合题意的可能结果为（A2，A3），（A2，A6）（A3，A6），共3个，所以所求概率为P＝＝.[备课札记]第4课时 古典概型
（2）（对应学生用书（文）163～165页、（理）166～167页）代数中函数、方程、不等式、向量、复数、数列、导数，几何中的平面图形、空间图形的概念及其位置关系等知识，都是与概率问题有机组合命题的素材，近年来高考、模考中这种交汇、综合题频频出现.这些问题的主旨是以代数或几何知识为背景，概率为核心.
①理解古典概型的特征以及能用枚举法解决古典概型的概率问题.
②概率与代数、几何等其他数学知识的交汇、融合，涵盖了概率与相关数学内容的双重知识，孕育着确定与非确定两种思想.
1.（必修3P102例4改编）用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是 Ｗ.。
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