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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、填空题
1.若α为第二象限角,则+的值是________.答案0解析因为α为第二象限角,所以sinα>0,=1,tanα<0,=-1,所以+=
0.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα=________.答案-解析因为点A的纵坐标yA=,且点A在第二象限.又圆O为单位圆,所以点A的横坐标xA=-.由三角函数的定义可得cosα=-.
3.已知角α的终边经过点P2,-1,则=________.答案-3解析由题意得sinα=-,cosα=,所以=-
3.
4.2017·泰州模拟设α是第二象限角,Px,4为其终边上的一点,且cosα=x,则tanα=________.答案-解析因为α是第二象限角,所以cosα=x0,即x
0.又cosα=,所以x=,解得x=-3,所以tanα==-.
5.函数y=的定义域为________.答案k∈Z解析∵2sinx-1≥0,∴sinx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围如图阴影部分所示.∴x∈k∈Z.
6.若420°角的终边所在直线上有一点-4,a,则a的值为________.答案-4解析由三角函数的定义有tan420°=.又tan420°=tan360°+60°=tan60°=,故=,解得a=-
4.
7.点P从1,0出发,沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为________.答案解析由弧长公式l=|α|r,l=,r=1得点P按逆时针方向转过的角度为α=,所以点Q的坐标为,即.
8.已知角α的终边在直线y=-x上,则2sinα+cosα=________.答案或-解析由题意知tanα=-,∴α在第二象限或第四象限,故sinα=,cosα=-或sinα=-,cosα=,∴2sinα+cosα=或-.
9.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是__________.答案解析如图,∠AOB=2弧度,过点O作OC⊥AB于C,并延长OC交弧AB于D.则∠AOD=∠BOD=1弧度,且AC=BC=
1.在Rt△AOC中,AO==.即r=,从而弧AB的长为l=|α|·r=.
10.已知角x的终边上一点的坐标为,则角x的最小正值为________.答案解析∵sin=,cos=-,∴角x的终边经过点,所以角x是第四象限角,tanx==-,∴x=2kπ+,k∈Z,∴角x的最小正值为.也可用同角基本关系式tanx=得出
11.设θ是第三象限角,且=-cos,则sin的值的符号是________.答案+解析由于θ是第三象限角,所以2kπ+πθ2kπ+k∈Z,kπ+kπ+k∈Z.又=-cos,所以cos≤0,从而2kπ+≤≤2kπ+k∈Z.综上可知2kπ+2kπ+k∈Z,即是第二象限角,所以sin
0.
二、解答题
12.如图所示,动点P,Q从点A4,0出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.解设点P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·=2π.所以t=4秒,即点P,Q第一次相遇时所用的时间为4秒.设点P,Q第一次相遇点为C,第一次相遇时点P和点Q已运动到终边在·4=的位置,则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-
2.所以点C的坐标为-2,-2.点P走过的弧长为4··4=,点Q走过的弧长为4··4=.
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.1若点B的横坐标为-,求tanα的值;2若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;3若α∈,请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.解1由题意可得B,根据三角函数的定义得tanα==-.2若△AOB为等边三角形,则∠AOB=.故与角α终边相同的角β的集合为{β+2kπ,k∈Z}.3若α∈,则S扇形AOB=αr2=α,α∈.而S△AOB=×1×1×sinα=sinα,故弓形AB的面积S=S扇形AOB-S△AOB=α-sinα,α∈.第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、填空题
1.sin750°=________.答案解析sin750°=sin2×360°+30°=sin30°=.
2.若α∈,sinα=-,则cos-α的值为________.答案解析因为α∈,sinα=-,所以cosα=,即cos-α=.
3.2017·镇江期末已知α是第四象限角,sinα=-,则tanα=________.答案-解析因为α是第四象限角,sinα=-,所以cosα==,故tanα==-.
4.已知α为锐角,且2tanπ-α-3cos+5=0,tanπ+α+6sinπ+β=1,则sinα的值是________.答案解析由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=
3.又α为锐角,故sinα=.
5.2017·射阳县中模拟若ftanx=sin2x-5sinx·cosx则f5=________.答案0解析由已知得ftanx==,所以f5==
0.
6.已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,则sinθ+cosθ=________.答案-解析由sinθ-2cosθ=-,sin2θ+cos2θ=1,θ是第三象限角,得sinθ=-,cosθ=-,则sinθ+cosθ=-.
7.已知sinπ-α=log8,且α∈,则tan2π-α的值为________.答案解析sinπ-α=sinα=log8=-.又α∈,得cosα==,tan2π-α=tan-α=-tanα=-=.
8.已知sinθ=2cosθ,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=________.答案解析由sinθ=2cosθ,得tanθ=
2.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ====.
9.设函数fxx∈R满足fx+π=fx+sinx,当0≤xπ时,fx=0,则f=________.答案解析由fx+π=fx+sinx,得fx+2π=fx+π+sinx+π=fx+sinx-sinx=fx,所以f=f=f=f=f+sinπ.因为当0≤xπ时,fx=0,所以f=0+=.
10.已知函数fx=asinπx+α+bcosπx+β,且f4=3,则f2017的值为________.答案-3解析∵f4=asin4π+α+bcos4π+β=asinα+bcosβ=3,∴f2017=asin2017π+α+bcos2017π+β=asinπ+α+bcosπ+β=-asinα-bcosβ=-asinα+bcosβ=-
3.
二、解答题
11.已知=-,求的值.解由同角三角函数关系式1-sin2α=cos2α及题意可得cosα≠0,且1-sinα≠0,可得1+sinα1-sinα=cosαcosα,所以=,所以=-,即=.
12.已知fx=n∈Z.1化简fx的解析式;2求f+f的值.解1当n为偶数,即n=2kk∈Z时,fx====sin2x;当n为奇数,即n=2k+1k∈Z时,fx=====sin2x.综上,fx=sin2x.2由1得f+f=sin2+sin2=sin2+sin2=sin2+cos2=
1.
13.是否存在角α和β,当α∈,β∈0,π时,等式同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.解存在α=,β=使等式同时成立.由得两式平方相加,得sin2α+3cos2α=2,得到cos2α=,即cosα=±.因为α∈,所以cosα=,所以α=或α=-.将α=代入cosα=cosβ,得cosβ=.由于β∈0,π,所以β=.将α=-代入sinα=sinβ,得sinβ=-.由于β∈0,π,这样的角β不存在.综上可知,存在α=,β=使等式同时成立.第3课时 三角函数的图象和性质
一、填空题
1.必修4P33例4改编函数y=-tan+2的定义域为____________.答案解析由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.
2.2017·珠海调研改编要得到函数y=sin的图象,只需要将函数y=sin2x的图象作平移变换____________.答案向左平移个单位解析y=sin=sin2,所以要得到函数y=sin的图象,只需要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位.
3.2017·南京、盐城一模将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得函数为偶函数,则φ=________.答案解析由题意得y=3sin为偶函数,所以-2φ+=+kπk∈Z.又0φ,所以φ=.
4.函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别是________.答案2,-2解析y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx=-sinx+12+
2.由-1≤sinx≤1知,当sinx=-1时,y取最大值2;当sinx=1时,y取最小值-
2.
5.若函数y=cosω∈N图象的一个对称中心是,则ω的最小值为____________.答案2解析由题意知+=kπ+k∈Z⇒ω=6k+2k∈Z⇒ωmin=
2.
6.2017·苏北四市第三次调研若函数fx=2sin2x+φ的图象过点0,,则函数fx在[0,π]上的单调递减区间是________.答案解析由题意可得2sin2×0+φ=,∴sinφ=,φ=,fx=2sin,函数fx在[0,π]上的单调递减区间是.
7.2017·南京调研如图是函数fx=Asinωx+φA0,ω0,φ∈0,2π图象的一部分,则f0的值为________.答案解析由函数图象得A=3,=2[3--1]=8,解得ω=,所以fx=3sin.因为3,0为函数fx=3sin的一个下降零点,所以×3+φ=2k+1πk∈Z,解得φ=+2kπk∈Z.因为φ∈0,2π,所以φ=,所以fx=3sin,则f0=3sin=.
8.若fx=2sinωx0ω1在区间上的最大值是,则ω的值为________.答案解析由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则fx在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sin=,且0<<,所以=,解得ω=.
9.函数fx=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x∈R都有fx1≤fx≤fx2成立,则|x2-x1|的最小值为__________.答案解析依题意得,当sinπx≥cosπx时,fx=2sinπx;当sinπxcosπx时,fx=2cosπx.由已知可知fx1,fx2分别是函数fx的最小值与最大值,结合函数y=fx的图象可知,|x2-x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值.由于x=时,函数取得最大值2,x=时函数取得最小值-,所以|x2-x1|的最小值是-=.
10.若函数fx=sinω0在区间上单调递增,则ω的取值范围是____________.答案解析由-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.取k=0,得-≤x≤.因为函数fx=sinω0在区间上单调递增,所以≥,即ω≤.又ω0,所以ω的取值范围是.
11.原创已知函数fx=cos2x+sinx,那么下列命题中是真命题的是________.填序号
①fx既不是奇函数也不是偶函数;
②fx是周期函数;
③fx在[-π,0]上恰有一个零点;
④fx在上是增函数;
⑤fx的值域为[0,2].答案
①②④解析∵f=1,f=-1,即f-x≠fx,∴fx不是偶函数.∵x∈R,f0=1≠0,∴fx不是奇函数,故
①为真命题.∵fx=fx+2π,∴T=2π,故函数fx为周期函数,故
②为真命题.令fx=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0,则sin2x-sinx-1=0,解得sinx=,当x∈[-π,0]时,sinx=,由正弦函数图象可知函数fx在[-π,0]上有两个零点,故
③为假命题.∵f′x=2cosx·-sinx+cosx=cosx·1-2sinx,当x∈时,cosx0,sinx1,∴f′x=cosx·1-2sinx0,∴fx在上是增函数,故
④为真命题.fx=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-+,由-1≤sinx≤1得fx的值域为,故
⑤为假命题.
二、解答题
12.已知函数fx=Asinωx+φ其中A>0,ω>0,0<φ<的周期为π,且图象上有一个最低点为M.1求fx的解析式;2求使fx<成立的x的取值集合.解1由题意知,A=3,ω=2,由3sin=-3,得φ+=-+2kπ,k∈Z,即φ=-π+2kπ,k∈Z.而0<φ<,所以k=1,φ=.故fx=3sin.2fx<等价于3sin<,即sin<,于是2kπ-<2x+<2kπ+k∈Z,解得kπ-<x<kπk∈Z,故使fx<成立的x的取值集合为{x|kπ-<x<kπ,k∈Z}.
13.2017·扬州中学质检如图,函数y=2cosωx+φ的部分图象与y轴交于点0,,最小正周期是π.1求ω,φ的值;2已知点A,点P是该函数图象上一点,点Qx0,y0是PA的中点,当y0=,x0∈时,求x0的值.解1将点0,代入y=2cosωx+φ,得cosφ=.∵0≤φ≤,∴φ=.∵最小正周期T=π,且ω0,∴ω==
2.2由1知y=2cos.∵A,Qx0,y0是PA的中点,y0=,∴P.∵点P在y=2cos的图象上,∴2cos=,∴cos=-.∵x0∈,∴4x0+∈,∴4x0+=2π+π-或4x0+=2π+π+,∴x0=或.第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、填空题
1.cos15°的值是____________.答案解析cos15°=cos60°-45°=.
2.计算cos42°cos18°-cos48°sin18°=_________.答案解析原式=sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin48°-18°=sin30°=.
3.设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则cosα+β的值为________.答案解析∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,∴cosα=,sinβ=,∴cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=.
4.2017·苏锡常镇四市调研二已知α是第二象限角,且sinα=,tanα+β=-2,则tanβ=________.答案解析由α是第二象限角,且sinα=,得cosα=-,tanα=-3,所以tanβ=tanα+β-α===.
5.已知α,β∈,若sin=,cos=,则sinα-β=__________.答案解析由题意可得α+∈,β-∈,所以cos=-,sinβ-=-,所以sinα-β=-sin[α+-β-]=-[×-×]=.
6.已知sin+sinα=,则sin=__________.答案-解析sin+sinα=⇒sincosα+cossinα+sinα=⇒sinα+cosα=⇒sinα+cosα=,故sin=sinαcos+cosαsin=-sinα+cosα=-.
7.若锐角α,β满足tanα+tanβ=-tanαtanβ,则α+β=____________.答案解析由已知可得=,即tanα+β=.又α+β∈0,π,所以α+β=.
8.计算=________.答案1解析原式====
1.
9.若α,β都是锐角,且cosα=,sinα-β=,则β=________.答案解析∵α,β都是锐角,且cosα=,sinα-β=,∴sinα=,cosα-β=,从而cosβ=cos[α-α-β]=cosαcosα-β+sinαsinα-β=.∵β是锐角,∴β=.
10.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC,ED,则sin∠CED=__________.答案解析因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC=,cos∠BEC=.sin∠CED=sin=cos∠BEC-sin∠BEC=×=.
二、解答题
11.在△ABC中,已知sinA+B=2sinA-B.1若B=,求A;2若tanA=2,求tanB的值.解1由条件,得sin=2sinA-,∴sinA+cosA=
2.化简,得sinA=cosA,∴tanA=.又A∈0,π,∴A=.2∵sinA+B=2sinA-B,∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-cosAsinB.化简,得3cosAsinB=sinAcosB.又cosAcosB≠0,∴tanA=3tanB.又tanA=2,∴tanB=.
12.已知α∈,且sin+cos=.1求cosα的值;2若sinα-β=-,β∈,求cosβ的值.解1已知sin+cos=,两边同时平方,得1+2sincos=,则sinα=.又απ,所以cosα=-=-.2因为απ,βπ,所以-α-β.又sinα-β=-,所以cosα-β=.则cosβ=cos[α-α-β]=cosαcosα-β+sinαsinα-β=-×+×=-.
13.已知函数fx=sinωxcosφ+tan·cosωxsinφ的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.1求ω和φ的值;2若f=,求cos的值.解1由已知得fx=sinωx+φ,因为fx的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以fx的最小正周期T=π,从而ω==
2.又fx的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ得k=0,所以φ=-=-.2由1得fx=sin,所以f=sin=,即sin=.由α得0α-,所以cos===.因此cos=sinα=sin=sincos+cossin=×+×=.第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、填空题
1.-sin2的值为________.答案解析-sin2==cos=×=.
2.函数y=sinx-cosx2的最小正周期为__________.答案π解析y=sinx-cosx2=1-2sinxcosx=1-sin2x,最小正周期T=π.
3.若=-,则sinα+cosα=__________.答案解析由已知得=-,整理得sinα+cosα=.
4.已知sinα-45°=-,且0°<α<90°,则cos2α的值为________.答案解析由sinα-45°=-,展开得sinα-cosα=-.又sin2α+cos2α=1,得sinα=,cosα=,则cos2α=cos2α-sin2α=.
5.若函数fx=sin2+cos2-1,则函数fx的单调增区间是____________.答案k∈Z解析fx=sin2+x+sin2+x-1=2sin2+x-1=-cos=sin2x.易得函数fx的单调增区间是k∈Z.
6.2017·苏州调研已知α是第二象限角,且tanα=-,则sin2α=________.答案-解析因为α是第二象限角,且tanα=-,所以sinα=,cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××-=-.
7.已知sin2α=,则cos2=___________.答案解析cos2====.
8.若=2017,则tan2α+=________.答案2017解析tan2α+=+===
2017.
9.设fx=+sinx+a2sin的最大值为+3,则常数a=____________.答案±解析fx=+sinx+a2sin=cosx+sinx+a2sin=sin+a2sin=+a2sinx+.依题意有+a2=+3,∴a=±.
10.已知θ∈,且sin=,则tan2θ=________.答案-解析由sin=,得sinθ-cosθ=
①,θ∈,
①平方得2sinθcosθ=,可求得sinθ+cosθ=,∴sinθ=,cosθ=,∴tanθ=,tan2θ==-.
11.已知函数fx=sin2xsinφ+cos2xcosφ-·sin0φπ,将函数fx的图象向左平移个单位后得到函数gx的图象,且g=,则φ=________.答案解析∵fx=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin=sin2xsinφ+cosφ-cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=cos2x-φ,∴gx=cos=cos.∵g=,∴2×+-φ=2kπk∈Z,即φ=-2kπk∈Z.∵0φπ,∴φ=.
二、解答题
12.2017·江阴期初已知函数fx=sin+sin+2cos2x-1,x∈R.1求函数fx的最小正周期;2求函数fx在区间上的最大值和最小值.解1∵fx=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin,∴函数fx的最小正周期T==π.2∵函数fx在区间上是增函数,在区间上是减函数,又f=-1,f=,f=1,∴函数fx在上的最大值为,最小值为-
1.
13.已知函数fx=2cos2x-1sin2x+cos4x.1求fx的最小正周期及单调递减区间;2若α∈0,π,且f=,求tan的值.解1fx=2cos2x-1sin2x+cos4x=cos2xsin2x+cos4x=sin4x+cos4x=sin,∴fx的最小正周期T=.令2kπ+≤4x+≤2kπ+π,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z.∴fx的单调递减区间为,k∈Z.2∵f=,即sin=1,又α∈0,π,-α-,∴α-=,故α=.因此tan===2-.第6课时 简单的三角恒等变换
一、填空题
1.已知cos4α-sin4α=,则cos4α=________.答案-解析∵cos4α-sin4α=sin2α+cos2αcos2α-sin2α=cos2α=,∴cos4α=2cos22α-1=2×-1=-.
2.若sin=,则cos2α=________.答案-解析cosα=1-2sin2=1-2×=,cos2α=2cos2α-1=2×-1=-.
3.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是__________.答案等腰三角形解析在△ABC中,C=π-A+B,∴2cosBsinA=sin[π-A+B]=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB.∴-sinAcosB+cosAsinB=0,即sinB-A=
0.∴A=B,故△ABC的形状一定是等腰三角形.
4.在△ABC中,tanA+tanB+=tanA·tanB,则C=__________.答案解析由已知可得tanA+tanB=tanA·tanB-1,∴tanA+B==-.又0<A+B<π,∴A+B=,∴C=.
5.若2cos2α=sin,且α∈,则sin2α=___________.答案-解析由2cos2α=sin,得2cos2α-sin2α=cosα-sinα,所以cosα+sinα=.又cosα+sinα2=1+2sinα·cosα=1+sin2α=,所以sin2α=-.
6.若α∈[0,2π,则满足=sinα+cosα的α的取值范围是__________.答案∪解析由=sinα+cosα,得sinα+cosα=sin≥
0.因为α∈[0,2π,所以α的取值范围为∪.
7.=___________.答案解析原式====.
8.已知sin2α=-,且α∈,则sinα=________.答案解析∵α∈,∴cosα<0,sinα>0,且|cosα|>|sinα|.又sinα+cosα2=1+sin2α=1-=,∴sinα+cosα=-,同理可得sinα-cosα=,∴sinα=.
9.sin18°cos36°=________.答案解析原式====.
10.已知sinα=+cosα,且α∈,则的值为________.答案-解析由sinα=+cosα,得sinα-cosα=,∴sinα-cosα2=,∴2sinαcosα=,∴sinα+cosα2=1+2sinαcosα=.又α∈,∴sinα+cosα=,∴==-sinα+cosα=-.
二、解答题
11.已知△ABC是锐角三角形,且sin·cos=.1求角B的值;2若tanAtanC=3,求角A,C的值.解1sincos==sin2B-cos2B=sin2B-=,所以sin2B=.因为B为锐角三角形的内角,所以sinB=,即B=.2因为B=,所以A+C=.又△ABC是锐角三角形,所以tanA>0,tanC>
0.而tanA+C==-,所以tanA+tanC=tanAtanC-=2
①.又tanAtanC=3
②,由
①②解得tanA=tanC=,所以A=C=.
12.2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模已知sin=,α∈.1求cosα的值;2求sin的值.解1解法1因为α∈,所以α+∈.又sin=,所以cos=-=-=-.所以cosα=cos=coscos+sinsin=-×+×=-.解法2由sin=得,sinαcos+cosαsin=,即sinα+cosα=
①.又sin2α+cos2α=1
②.由
①②解得cosα=-或cosα=.因为α∈,所以cosα=-.2因为α∈,cosα=-,所以sinα===.所以sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=2cos2α-1=2×-1=-.所以sin=sin2αcos-cos2αsin=×-×=-.
13.2017·泰州模拟如图,现要在一块半径为1m,圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S.1求S关于θ的函数关系式;2求S的最大值及相应的θ值.解1分别过P,Q作PD⊥OB于点D,QE⊥OB于点E,则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1m,得PD=sinθ,OD=cosθ.在Rt△OEQ中,OE=QE=PD,MN=QP=DE=OD-OE=cosθ-sinθ,所以S=MN·PD=·sinθ=sinθcosθ-sin2θ,θ∈.2由1得S=sin2θ-1-cos2θ=sin2θ+cos2θ-=sin-,因为θ∈,所以2θ+∈,所以sin∈.当θ=时,Smax=m2.第7课时 正弦定理和余弦定理
一、填空题
1.2017·江阴期初在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC=________.答案2解析由已知及正弦定理得=,即AC===
2.
2.在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=______.答案解析由题意得B=180°-A-C=60°.由正弦定理得=,则BC=,所以BC==.
3.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为____________.答案解析S=AB·ACsin60°=×2××AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=.
4.已知在△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为________.答案解析∵a2=b2+c2-bc,∴cosA=.∴A=.又bc=4,∴△ABC的面积为bcsinA=.
5.2017·苏锡常镇调研二在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,若满足2bcosA=2c-a,则角B的大小为________.答案解析由正弦定理得2sinBcosA=2sinC-sinA⇒2sinBcosA=2sinA+B-sinA⇒2sinAcosB=sinA.∵A∈0,π,∴cosB=.∵B∈0,π,∴B=.
6.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b21-sinA,则A=________.答案解析由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,因为b=c,a2=2b21-sinA,所以b2+b2-2b2cosA=2b21-sinA,所以cosA=sinA,即tanA=
1.因为A∈0,π,所以A=.
7.2017·盐城诊断在△ABC中,cos2=a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,则△ABC的形状为________.答案直角三角形解析因为cos2=,所以2cos2-1=-1,所以cosB=,所以=,所以c2=a2+b
2.所以△ABC为直角三角形.
8.在△ABC中,三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若S△ABC=2,a+b=6,=2cosC,则c=________.答案2解析∵=2cosC,由正弦定理,得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosC,∴sinA+B=sinC=2sinCcosC.由于0<C<π,sinC≠0,∴cosC=,∴C=.∵S△ABC=2=absinC=ab,∴ab=
8.又a+b=6,∴或∴c2=a2+b2-2abcosC=4+16-8=12,∴c=
2.
9.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足csinA=acosC,则sinA+sinB的最大值是______.答案解析由csinA=acosC,得sinCsinA=sinAcosC,即sinC=cosC,∴tanC=,∴C=,A=-B,∴sinA+sinB=sin+sinB=sin.∵0<B<,∴<B+<,∴当B+=,即B=时,sinA+sinB的最大值为.
10.在锐角三角形ABC中,若A=2B,则的取值范围是________.答案,解析因为△ABC为锐角三角形,且A=2B,所以所以B.因为A=2B,sinA=sin2B=2sinBcosB,所以==2cosB∈,.
二、解答题
11.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足a2-b2-c2+bc=0,2bsinA=a,BC边上中线AM的长为.1求角A和角B的大小;2求△ABC的面积.解1∵cosA==,∴A=.由2bsinA=a,得b=a,∴B=A=.2设AC=BC=x,由余弦定理,得AM2=x2+-2x··=2,解得x=2,故S△ABC=×2×2×=
2.
12.2017·江西联考已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且·=
1.1求角C;2若c=,△ABC的周长为5+,求△ABC的面积S.解1由正弦定理与余弦定理,得2cosCsinAcosB+sinBcosA=sinC,即2cosCsinA+B=sinC,∴2sinCcosC=sinC,故cosC=,∴C=.2∵a+b+c=5+且c=,∴a+b=
5.由余弦定理,得a2+b2-2abcosC=c2,∴a+b2-2ab-2abcosC=7,∴52-3ab=7,∴ab=6,S△ABC=absinC=.
13.2017·苏州期中已知函数fx=2sincosx.1若0≤x≤,求函数fx的值域;2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若A为锐角,且fA=,b=2,c=3,求cosA-B的值.解1fx=2sincosx=sinx+cosxcosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+.由0≤x≤,得≤2x+≤,∴-≤sin≤1,∴0≤sin+≤1+,∴函数fx的值域为.2由fA=sin+=,得sin=0,又0<A<,∴<2A+<,∴2A+=π,解得A=.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=7,解得a=.由正弦定理=,得sinB==.∵b<a,∴B<A,∴cosB=,∴cosA-B=cosAcosB+sinAsinB=×+×=.第8课时 解三角形应用举例
一、填空题
1.在相距2km的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离是________km.答案解析由题意知∠ACB=45°,由正弦定理得=,∴AC=×=.
2.如图,在坡度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100m后,又从点B测得斜度为,假设建筑物高50m,设山坡对于地平面的坡角为,则cos=________.答案-1解析在△ABC中,AB=100mCAB=15°,45°-15°=30°.由正弦定理=,∴BC=200sin15°.在△DBC中,CD=50m,CBD=45°,CDB=90°+,由正弦定理得=,∴cosθ=-
1.
3.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.答案45°解析依题意可得AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD====.又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,即从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
4.如图,某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min,从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min,则该扇形的半径为________m.答案50解析如图,连结OC,在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2×100×150×=17500,解得OC=50m.
5.如图,一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午1000到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8nmile.此船的航速是__________nmile/h.答案32解析设航速为vnmile/h,在△ABS中,AB=v,BS=8nmile,∠BSA=45°,由正弦定理,得=,∴v=32nmile/h.
6.某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°距离为10nmile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向航行,以9nmile/h的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,则舰艇靠近渔船所需的时间为____________h.答案解析如图,设舰艇在B′处靠近渔船,所需的时间为th,则AB′=21t,CB′=9t.在△AB′C中,根据余弦定理,则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°,可得212t2=102+81t2+2×10×9t×.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=-舍去.故舰艇靠近渔船所需的时间为h.
7.如图,甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向的B处,两船相距anmile,乙船正向北行驶.若甲船速度是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,则应向北偏东________填角度的方向前进.答案30°解析设两船在C处相遇,则由题意∠ABC=180°-60°=120°,且=.由正弦定理,得==⇒sin∠BAC=.又0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°.所以甲船应向北偏东30°的方向前进才能尽快追上乙船.
8.如图,长为
3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处
1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处
2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=__________.答案解析由题意,可得在△ABC中,AB=
3.5m,AC=
1.4m,BC=
2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即
3.52=
1.42+
2.82-2×
1.4×
2.8×cosπ-α,解得cosα=,所以sinα=,所以tanα==.
9.如图,某大学的大门蔚为壮观,有个学生想弄清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离,他站在地面C处,利用皮尺量得BC=9m,利用测角仪测得仰角∠ACB=45°,测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD=,则AD的距离为__________m.答案3解析设AD=x,则BD=9-x,CD=.在△ACD中,应用正弦定理得=,即=,2x2+3x-27=0,解得x1=3m,x2=-
4.5m舍去.
10.如图,要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔AB的高度为________m.答案40解析设电视塔AB高为xm,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即x2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40x=-20舍去,所以电视塔的高度为40m.
二、解答题
11.用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角是α和β,已知B,D间的距离为a,测角仪的高度是b,求气球的高度.解在△ACE中,AC=BD=a,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得AE=.在Rt△AEG中,EG=AEsinα=,∴EF=EG+b=+b,答气球的高度是+b.
12.2017·扬州期末如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在△ADE区域内参观.在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,∠MPN为监控角,其中M,N在线段DE含端点上,且点M在点N的右下方.经测量得知AD=6米,AE=6米,AP=2米,∠MPN=.记∠EPM=θ弧度,监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米.1求S关于θ的函数关系式,并写出θ的取值范围;2求S的最小值.解1解法1在△PME中,∠EPM=θ,PE=AE-AP=4米,∠PEM=,∠PME=-θ,由正弦定理得=,所以PM===,同理在△PNE中,由正弦定理得=,所以PN===,所以△PMN的面积S=PM×PN×sin∠MPN====,当M与E重合时,θ=0;当N与D重合时,tan∠APD=3,即∠APD≈,θ≈-,所以0≤θ≤-.综上可得S=,θ∈.解法2在△PME中,∠EPM=θ,PE=AE-AP=4米,∠PEM=,∠PME=-θ,由正弦定理可知=,所以ME===,在△PNE中,由正弦定理可知=,所以NE===,所以MN=NE-ME=,又点P到DE的距离为d=4sin=2,所以△PMN的面积S=MN×d====,当M与E重合时,θ=0;当N与D重合时,tan∠APD=3,即∠APD≈,θ≈-,所以0≤θ≤-.综上可得S=,θ∈.2当2θ+=即θ=∈时,S取得最小值为=8-1.所以可视区域△PMN面积的最小值为8-1平方米.
13.如图,在海岛A上有一座海拔1km的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在海岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°,俯角为60°的C处.1求船的航行速度;2又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,则此时船距岛A有多远?解1在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,所以AB=.在Rt△PAC中,∠APC=30°,所以AC=.在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,所以BC===,则船的航行速度为÷=2km/h.2在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin180°-∠ACB=sin∠ACB===.sin∠CDA=sin∠ACB-30°=sin∠ACB·cos30°-cos∠ACB·sin30°=×-=.由正弦定理,得=,所以AD===.故此时船距海岛Akm.第9课时 三角函数的综合应用
一、填空题
1.若函数y=cos2ωxω>0的最小正周期是π,则ω的值为____________.答案1解析y=cos2ωx=1+cos2ωx,最小正周期是=π,∴ω=
1.
2.如图,若输入的x值为,则相应输出的值为________.答案解析由于sin>cos,则y=cos,所以输出的值为.
3.已知α为第三象限角,且sinα+cosα=2m,sin2α=m2,则m的值为____________.答案-解析把sinα+cosα=2m两边平方可得1+sin2α=4m
2.又sin2α=m2,∴3m2=1,解得m=±.又α为第三象限角,∴m=-.
4.若函数fx=asin+sin是偶函数,则实数a的值为______.答案-解析因为f=a,f=-,又函数fx是偶函数,则f=f,故a=-.
5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=1,且2acosA=bcosC+ccosB.则csinA=________.答案解析∵2acosA=bcosC+ccosB,∴由正弦定理得sin2A=sinBcosC+sinCcosB=sinB+C,∴B+C=2A,∴A=60°.又a2=b2+c2-2bccosA,a=,b=1,A=60°,∴3=1+c2-c,∴c=2,∴csinA=.
6.有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清,具体如下在△ABC中,已知a=,2cos2=-1cosB,c=__________,求角A.答案提示A=60°,请将条件补充完整答案解析由题知1+cosA+C=-1cosB,所以1-cosB=-1cosB,解得cosB=,所以B=45°.又A=60°,所以C=75°.根据正弦定理得=,解得c=.
7.已知函数fx=2sinx,gx=2sin,直线x=m与fx,gx的图象分别交于M,N两点,则MN的最大值为________.答案2解析构造函数Fx=MN=|2sinx-2cosx|=|2·sin|,故最大值为
2.
8.函数y=asinax+θa>0,θ≠0图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________.答案2解析函数的周期T为,则=,最高点和其相邻最低点的距离为2=≥=
2.
9.在△ABC中,已知AC=2,BC=3,cosA=-,则sin=__________.答案解析在△ABC中,sinA===.由正弦定理得,=,所以sinB=·sinA=×=.因为cosA=-,所以∠A为钝角,从而∠B为锐角,于是cosB===,cos2B=2cos2B-1=2×-1=,sin2B=2sinBcosB=2××=.sin=sin2Bcos+cos2Bsin=×+×=.
10.设锐角三角形ABC的三内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围是________.答案,解析由==,得b=2cosA.因为<A+B=3A<π,从而<A<.又2A<,所以A<,所以<A<,故<cosA<,所以<b<.
二、解答题
11.2017·苏州测试已知函数fx=cos2ωx+sinωx·cosωxω0的周期为π.1当x∈时,求函数fx的值域;2已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若f=,且a=4,b+c=5,求△ABC的面积.解1fx=1+cos2ωx+sin2ωx=sin+.因为fx的周期为π,且ω0,所以=π,解得ω=
1.所以fx=sin+.又0≤x≤,所以≤2x+≤π,所以-≤sin≤1,0≤sin+≤+1,所以函数fx在x∈上的值域为.2因为f=,所以sin=.由A∈0,π,知A+π,解得A+=π,所以A=.由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,即16=b2+c2-bc,所以16=b+c2-3bc.因为b+c=5,所以bc=
3.所以S△ABC=bcsinA=.
12.2017·苏北四市调研已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=cosB,cosC,n=2a+c,b,且m⊥n.1求角B的大小;2若b=,求a+c的取值范围.解1∵m=cosB,cosC,n=2a+c,b,且m⊥n,∴2a+ccosB+bcosC=0,∴cosB2sinA+sinC+sinBcosC=0,∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=
0.即2cosBsinA=-sinB+C=-sinA.∵A∈0,π,∴sinA≠0,∴cosB=-.∵0<B<π,∴B=.2由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=a+c2-ac≥a+c2-=a+c2,当且仅当a=c时取等号.∴a+c2≤4,故a+c≤
2.又a+cb=,∴a+c∈,2].∴a+c的取值范围是,2].
13.如图,某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树.已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200m.现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.1若围墙AP,AQ的总长度为200m,问如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?2已知AP段围墙高1m,AQ段围墙高
1.5m,造价均为每平方米100元.若建围墙用了20000元,则如何围可使竹篱笆用料最省?解1设AP=xm,AQ=ym,则x+y=200,x0,y
0.△APQ的面积S=xysin120°=xy.因为xy≤=10000,当且仅当x=y=100时取等号.所以当AP=AQ=100m时,可使三角形地块APQ的面积最大.2由题意得100×1×x+
1.5×y=20000,即x+
1.5y=
200.在△APQ中,PQ2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy,即PQ2=200-
1.5y2+y2+200-
1.5yy=
1.75y2-400y+40000,其中0y.则当y=,x=时,PQ2取得最小值,从而PQ也取得最小值.所以当AP=m,AQ=m时,可使竹篱笆用料最省.。