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第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率
一、填空题
1.已知过点P-2,m和Qm,4的直线的斜率不存在,则m的值为________.答案-2解析由题意可知,点P和Q的横坐标相同,即m=-
2.
2.若直线过-2,9,6,-15两点,则直线的倾斜角为__________.答案120°解析设直线的倾斜角为α,则tanα==-,∵0°≤α<180°,∴α=120°.
3.如果图中的三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3从小到大的排列顺序为__________.答案k3k1k2解析由图知,k10,k20,k
30.另外,tanα1=k10,α1∈,tanα3=k30,α3∈,而α3α1,正切函数在上单调递增,所以k3k
1.综上,k3k1k
2.
4.直线l xtan+y+1=0的倾斜角α=________.答案解析∵α∈[0,π,k=tanα=-tan=tan=tan,∴α=.
5.已知某直线l的倾斜角α=45°,且P12,y1,P2x2,5,P33,1是此直线上的三点,则x2+y1=________.答案7解析由α=45°,得直线l的斜率k=tan45°=
1.又P1,P2,P3都在此直线上,故kP1P2=kP2P3=kl,即==1,解得x2=7,y1=0,∴x2+y1=
7.
6.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈∪,则k的取值范围是________.答案[-,0∪解析当α∈时,k=tanα∈;当α∈时,k=tanα∈[-,0.综上,k∈[-,0∪.
7.若直线l13x-y+1=0,直线l2过点1,0,且它的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的方程为____________.答案y=-x-1解析由tanα=3可求出直线l2的斜率k=tan2α==-,再由l2过点1,0即可求得直线方程为y=-x-1.
8.若点A3,-4,B5,-3,C4-m,m+2能构成三角形,则实数m应满足条件________.答案m≠-解析假设点A,B,C不能构成三角形,则点A,B,C共线.若m=1,则点A,B,C不共线;若m≠1,则kAB=kAC.因为kAB=,kAC=,所以=,解得m=-.所以若点A,B,C能构成三角形,则m≠-.
9.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是________.答案∪解析设直线的倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα,其中sinα∈[-1,1].又θ∈[0,π,所以0≤θ≤或≤θπ.
10.若实数x,y满足3x-2y-5=01≤x≤3,则的最小值为__________.答案-1解析设k=,则表示线段AB3x-2y-5=01≤x≤3上的点与原点的连线的斜率.∵A1,-1,B3,2,作图易知=kOA=-
1.
二、解答题
11.已知点A1,2,在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜角为60°.解
①当点P在x轴上时,设点Pa,0.∵A1,2,∴直线PA的斜率k==.∵直线PA的倾斜角为60°,∴tan60°=,解得a=1-.∴点P的坐标为.
②当点P在y轴上时,设点P0,b,同理可得b=2-,∴点P的坐标为0,2-.
12.已知经过Am,2,B-m,2m-1的直线的倾斜角为α,且45°<α<135°,求实数m的取值范围.解∵45°<α<135°,∴k>1或k<-1或k不存在,∴>1或<-1或m=0,解得0<m<或m<0或m=0,∴m的取值范围是.
13.已知实数x,y满足y=x2-2x+2-1≤x≤1.试求的最大值与最小值.解由的几何意义可知,它表示经过定点P-2,-3与曲线段AB上任一点x,y的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB.由已知可得A1,1,B-1,5,∴≤k≤8,故的最大值为8,最小值为.第2课时 直线的方程
一、填空题
1.斜率与直线y=x的斜率相等,且过点-4,3的直线的点斜式方程是________.答案y-3=x+4解析∵直线y=x的斜率为,∴过点-4,3且斜率为的直线方程为y-3=x+4.
2.经过两点3,9,-1,1的直线在x轴上的截距为________.答案-解析由两点式,得所求直线的方程为=,即2x-y+3=0,令y=0,得x=-.
3.已知直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的方程为________________.答案y=x+5解析因为直线的倾斜角是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.又因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的方程为y=x+
5.
4.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第________象限.答案三解析由题意知A·B·C≠
0.直线方程变为y=-x-,∵A·C<0,B·C<0,∴A·B>0,∴其斜率k=-<0,在y轴上的截距b=->0,∴直线过第
一、
二、四象限.
5.斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为______________.答案x-6y+6=0或x-6y-6=0解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知得|-6b·b|=6,∴b=±
1.∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=
0.
6.已知经过点P1,4的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则该直线的方程为________.答案2x+y-6=0解析设所求直线方程为+=1a>0,b>0.∵点P在此直线上,∴+=
1.∵a+b=a+b=5++≥5+2=9,当且仅当=,即b=2a时等号成立,∴a+b取得最小值9时,a=3,b=6,此时直线方程为+=1,即2x+y-6=
0.
7.已知方程为a+1x+y+2-a=0a∈R的直线l在两坐标轴上的截距相等,则a=__________.答案0或2解析令x=0,得y=a-2,令y=0,得x=a≠-1.∵截距相等,∴a-2=,解得a=2或a=
0.
8.已知3a+2b=5,则直线ax+by-10=0必过定点__________________.答案6,4解析由3a+2b=5得到b=,代入直线ax+by-10=0得到ax+y-10=0,即a+y-10=0,令解得所以直线经过定点6,4.
9.已知直线l过点P2,-1,且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍,则直线l的方程为__________.答案2x+y-3=0或x+2y=0解析当截距不等于零时,设l的方程+=
1.∵点P在l上,∴-=1,则a=,∴l的方程为2x+y-3=0;当截距等于零时,设l的方程为y=kx,又点P在l上,∴k=-,∴x+2y=
0.综上,所求直线l的方程为2x+y-3=0或x+2y=
0.
10.在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点x,y为整点.下列命题中正确的是________.填序号
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数;
⑤存在恰经过一个整点的直线.答案
①③⑤解析
①正确,如直线y=x+,不与坐标轴平行,且当x取整数时,y始终是一个无理数,即不经过任何整点;
②错误,直线y=x-中k与b都是无理数,但直线经过整点1,0;
③正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;
④错误,当k=0,b=时,直线y=不通过任何整点;
⑤正确,如直线y=x-只经过一个整点1,0.
二、解答题
11.若直线l的方程为2m2-m-1x+m2-my+4m-1=
0.1求参数m的取值集合;2若直线l的斜率不存在,试确定直线l在x轴上的截距;3若直线l在y轴上的截距等于直线4x-y-2=0的斜率,求直线l的方程.解1由解得m=1,故参数m的取值集合为{m|m≠1}.2由解得m=0,故直线方程为-x-1=0,即x=-1,故直线l在x轴上的截距为-
1.3直线l在y轴上的截距存在时,截距为,因为直线4x-y-2=0的斜率为4,所以=4,解得m=±,所以直线l的方程为4x+y-4=0或y=
4.
12.设直线l的方程为a+1x+y-2-a=0a∈R.1当a=1时,直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点.若动点Pm,n在线段AB上,求mn的最大值;2若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.解1当a=1时,直线l的方程为2x+y-3=0,可化为+=
1.由动点Pm,n在线段AB上可知0≤m≤,0≤n≤3,且+=1,∴1≥2,∴mn≤.当且仅当=时等号成立,解得m=,n=,故mn的最大值为.2由直线方程可求得M,N0,2+a.又a>-1,故S△OMN=××2+a=×=×≥×2+2=2,当且仅当a+1=,即a=0或a=-2舍去时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=
0.
13.已知直线l过点P0,1,且与直线l1x-3y+10=0和l22x+y-8=0分别交于点A,B如图.若线段AB被点P平分,求直线l的方程.解∵点B在直线l22x+y-8=0上,故可设点B的坐标为a,8-2a.由P0,1是线段AB的中点,得点A的坐标为-a,2a-6.又点A在直线l1x-3y+10=0上,故将A-a,2a-6代入直线l1的方程,得-a-32a-6+10=0,解得a=
4.∴点B的坐标是4,0.因此,过P0,1,B4,0的直线l的方程为+=1,即x+4y-4=
0.第3课时 直线与直线的位置关系
一、填空题
1.过点1,0且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________.答案x-2y-1=0解析与直线x-2y-2=0平行的直线方程可设为x-2y+c=0,将点1,0代入x-2y+c=0,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=
0.
2.已知直线l1ax+y-1=0,直线l2x-y-3=
0.若l1⊥l2,则a=________.答案1解析若l1⊥l2,则a×1+1×-1=0,故a=
1.
3.已知点P4,a到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.答案[0,10]解析若由题意知,点到直线的距离为=.又≤3,即|15-3a|≤15,解得0≤a≤10,所以a∈[0,10].
4.已知点A1,-2,Bm,2.若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是________.答案3解析∵点A1,-2和Bm,2的中点C在直线x+2y-2=0上,∴-2=0,∴m=
3.
5.一束光线从点A-2,3射入,经x轴上点P反射后,通过点B5,7,则点P的坐标为________.答案解析解法1由光的反射原理,知kAP=-kBP.设Px,0,则=-,解得x=,即P.解法2设px,0,由题意,知x轴是镜面,入射点A-2,3关于x轴的对称点为A1-2,-3,则点A1应在反射光线所在的直线上,即A1,P,B三点共线,即kA1P=kPB,=,解得x=,即P.
6.已知定点A1,0,点B在直线x-y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是__________.答案解析因为定点A1,0,点B在直线x-y=0上运动,所以当线段AB最短时,直线AB和直线x-y=0垂直,直线AB的方程为y+x-1=0,与x-y=0联立解得x=,y=,所以B的坐标是.
7.若直线l1y=kx-4与直线l2关于点2,1对称,则直线l2恒过定点________.答案0,2解析由于直线l1y=kx-4恒过定点4,0,其关于点2,1对称的点为0,2.又由于直线l1y=kx-4与直线l2关于点2,1对称,故直线l2恒过定点0,2.
8.若动点A,B分别在直线l1x+y-7=0和l2x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为________.答案3解析依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1x+y-7=0和l2x+y-5=0距离都相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得=,即|m+7|=|m+5|,解得m=-6,所以直线l的方程为x+y-6=
0.根据点到直线的距离公式,得点M到原点的距离的最小值为=
3.
9.已知△ABC的两个顶点A-1,5和B0,-1.若∠C的平分线所在直线的方程为2x-3y+6=0,则BC边所在直线的方程为________________.答案12x-31y-31=0解析设A点关于直线2x-3y+6=0的对称点为A′x1,y1,则∴解得即A′.∵角平分线是角的两边的对称轴,∴A′点在直线BC上.∴直线BC的方程为y=x-1,整理得12x-31y-31=
0.
10.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A4,-1,B3,4的距离之差最大,则P点的坐标是__________.答案5,6解析易知A4,-1,B3,4在直线l2x-y-4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A10,1,当A1,B,P共线时距离之差最大.
二、解答题
11.已知点A3,3,B5,2到直线l的距离相等,且直线l经过两直线l13x-y-1=0和l2x+y-3=0的交点,求直线l的方程.解设直线l1,l2交点为P,解方程组得交点P1,2.
①若点A,B在直线l的同侧,则l∥AB.而kAB==-,由点斜式得直线l的方程为y-2=-x-1,即x+2y-5=
0.
②若点A,B在直线l的异侧,则直线l经过线段AB的中点,由两点式得直线l的方程为=,即x-6y+11=
0.综上所述,直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11=
0.
12.已知直线l3x-y+3=0,求1点P4,5关于l的对称点;2直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.解设Px,y关于直线l3x-y+3=0的对称点为P′x′,y′.∵kPP′·kl=-1,即×3=-1
①.又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,∴3×-+3=0
②.由
①②得1把x=4,y=5代入
③④得x′=-2,y′=7,∴P4,5关于直线l的对称点P′的坐标为-2,7. 2用
③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=
0.
13.已知三条直线l1ax-y+a=0,l2x+ay-aa+1=0,l3a+1x-y+a+1=0,a
0.1求证这三条直线共有三个不同的交点;2求这三条直线围成的三角形的面积的最大值.假设直线l1与l2交于点A,直线l1与l3交于点B,直线l2与l3交于点C.1证明证法1由解得所以直线l1与l2相交于点A.由解得所以直线l1与l3相交于点B-1,0.由解得所以直线l2与l3相交于点C0,a+1.因为a>0,所以≠-1,且≠0,所以A,B,C三点不同,即这三条直线共有三个不同的交点.证法2
①设三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1=a,k2=-,k3=a+
1.由k1·k2=-1得l1⊥l2,所以直线l1与直线l2相交.由k1≠k3,得直线l1与直线l3相交.由aa+1+1=+0知k2≠k3,所以直线l2与直线l3相交.所以直线l1,l2,l3任何两条均不平行.
②由得所以直线l1与l3相交于点B-1,0.又-1-aa+1=--≠0,所以直线l2不过点-1,0,所以直线l1,l2,l3不可能交于同一点.综上,这三条直线共有三个不同的交点.2解解法1由k1·k2=a·=-1得l1⊥l2,所以∠BAC=90°.由两点间距离公式及1,得AB=,AC=,所以S△ABC=AB·AC==+≤+=,当且仅当a=1时取等号.所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为.解法2由k1·k2=a·=-1得l1⊥l2,所以∠BAC=90°.点B到直线l2的距离d1=,点C到直线l1的距离d2=,所以S△ABC=d1d2=,以下同解法
1.第4课时 圆的方程
一、填空题
1.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则实数a的值为________.答案1解析因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为-1,2,所以3×-1+2+a=0,解得a=
1.
2.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A0,-4,B0,-2,则圆C的方程为________________.答案x-22+y+32=5解析由题意知圆心纵坐标y=-3,代入直线2x-y-7=0得圆心C2,-3,r2=22+12=5,所以圆的方程为x-22+y+32=
5.
3.若圆C的半径为1,其圆心与点1,0关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为____________.答案x2+y-12=1解析由圆C的圆心与点1,0关于直线y=x对称,得圆C的圆心为0,1.因为圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y-12=
1.
4.若点1,-1在圆x2+y2-x+y+m=0外,则m的取值范围是____________.答案解析由题意可知解得0<m<.
5.若圆的方程为x2+y2+kx-4y+k2=0,则当圆的面积最大时,圆心坐标为__________.答案0,2解析将圆的方程x2+y2+kx-4y+k2=0化为标准方程为+y-22=4-.∵r2=4-≤4,∴k=0时,r最大,此时圆心坐标为0,2.
6.已知实数x,y满足x-22+y+12=1,则2x-y的最大值为________.答案5+解析令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由=1,解得b=5±,所以2x-y的最大值为5+.
7.已知平面区域恰好被面积最小的圆C x-a2+y-b2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为____________.答案x-22+y-12=5解析由题意知,此平面区域表示的是以O0,0,P4,0,Q0,2所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点2,1,半径r==,因此圆C的方程为x-22+y-12=
5.
8.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E0,1的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________.答案10解析由题意可知,圆的圆心坐标是1,3,半径是,且点E0,1位于该圆内,故过点E0,1的最短弦长BD=2=2注过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦,过点E0,1的最长弦长等于该圆的直径,即AC=2,且AC⊥BD,因此四边形ABCD的面积为AC×BD=×2×2=
10.
9.在平面直角坐标系xOy中,点A-1,0,B1,0.若动点C满足AC=BC,则△ABC的面积的最大值是________.答案2解析设满足条件AC=BC的C点坐标为x,y,则x+12+y2=2x-12+2y2,化简得x-32+y2=
8.其中y≠0,从而S=×2×|y|≤2,所以△ABC的面积的最大值是
2.
10.已知圆C x-32+y-42=1和两点A-m,0,Bm,0m0.若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为________.答案6解析根据题意,画出示意图,如图,则圆心C的坐标为3,4,半径r=1,且AB=2m,因为∠APB=90°,连结OP,易知OP=AB=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为OC==5,所以OPmax=OC+r=6,即m的最大值为
6.
二、解答题
11.已知以点P为圆心的圆经过点A-1,0和B3,4,线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且CD=
4.1求直线CD的方程;2求圆P的方程.解1直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为1,2.则直线CD的方程为y-2=-x-1,即x+y-3=
0.2设圆心Pa,b,则由P在CD上得a+b-3=0
①.∵直径CD=4,∴PA=2,∴a+12+b2=40
②.由
①②解得或∴圆心P-3,6或P5,-2.∴圆P的方程为x+32+y-62=40或x-52+y+22=
40.
12.如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为6m,行车道总宽度BC为2m,侧墙EA,FD高为2m,弧顶高MN为5m.1建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;2为保证安全,要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有
0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.解1解法1以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系.则有E-3,0,F3,0,M0,3.由于所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为x-02+y-b2=r
2.∵F3,0,M0,3都在圆上,∴解得b=-3,r2=
36.∴圆的方程是x2+y+32=
36.解法2以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系.设所求圆的圆心为G,半径为r,则点G在y轴上,在Rt△GOE中,OE=3,GE=r,OG=r-
3.由勾股定理,得r2=32+r-32,解得r=6,则圆心G的坐标为0,-3,故圆的方程是x2+y+32=
36.2设限高为h,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则CP=h+
0.
5.将点P的横坐标x=代入圆的方程,得2+y+32=36,得y=2或y=-8舍.所以h=CP-
0.5=y+DF-
0.5=2+2-
0.5=
3.5m.答车辆的限制高度为
3.5m.
13.已知M为圆C x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q-2,3.1求MQ的最大值和最小值;2若Mm,n,求的最大值和最小值.解1由圆C x2+y2-4x-14y+45=0,化为标准方程得x-22+y-72=8,所以圆心C的坐标为2,7,半径r=
2.又QC==4,所以MQmax=4+2=6,MQmin=4-2=
2.2由题意可知表示直线MQ的斜率.设直线MQ的方程为y-3=kx+2,即kx-y+2k+3=0,则=k.由直线MQ与圆C有公共点,所以≤2,解得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.第5课时 直线与圆的位置关系
一、填空题
1.若点P1,2在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为______________.答案x+2y-5=0解析由点P1,2在以坐标原点为圆心的圆上知,此圆的方程为x2+y2=5,所以该圆在点P处的切线方程为1×x+2×y=5,即x+2y-5=
0.
2.圆x2+y2+x-2y-20=0与圆x2+y2=25相交所得的公共弦长为________.答案4解析公共弦所在直线的方程为x2+y2+x-2y-20-x2+y2-25=0,即x-2y+5=0,圆x2+y2=25的圆心到公共弦的距离d==,而半径为5,故公共弦长为2=
4.
3.2017·泰州中学月考直线y=kx+3与圆x-22+y-32=4相交于M,N两点.若MN≥2,则k的取值范围是____________.答案解析由圆的方程,得圆心2,3,半径r=2,∵圆心到直线y=kx+3的距离d=,MN≥2,∴2=2≥2,变形得4-≥3,即4k2+4-4k2≥3k2+3,解得-≤k≤,则k的取值范围是.
4.过点P2,4引圆x-12+y-12=1的切线,则切线方程为______________.答案x=2或4x-3y+4=0解析当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=kx-2,即kx-y+4-2k=0,∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,即d===1,解得k=,∴所求切线方程为x-y+4-2×=0,即4x-3y+4=
0.综上,切线方程为x=2或4x-3y+4=
0.
5.2017·扬州期中已知圆C x2+y2-4x-2y-20=0,直线l4x-3y+15=0与圆C相交于A,B两点,D为圆C上异于A,B两点的任一点,则△ABD面积的最大值为________.答案27解析因为圆C x2+y2-4x-2y-20=0,所以圆心C2,1,半径r=5,所以圆心C到直线l4x-3y+15=0的距离d==4,所以AB=2=2×=
6.因为D为圆C上异于A,B两点的任一点,所以D到直线AB即直线l4x-3y+15=0的距离的最大值为d+r=9,所以△ABD面积的最大值为×AB×9=
27.
6.2017·苏锡常镇二模已知直线l mx+y-2m-1=0,圆C x2+y2-2x-4y=0,当直线l被圆C所截得的弦长最短时,实数m=________.答案-1解析由题意,得C1,2,直线l mx-2+y-1=0恒过定点A2,1.当直线l被圆C所截得的弦长最短时,直线l⊥CA.因为直线l的斜率为-m,直线CA的斜率为=-1,所以-m×-1=-1,即m=-
1.
7.已知圆O x2+y2=1,直线x-2y+5=0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则PA的最小值为____________.答案2解析过点O作OP垂直于直线x-2y+5=0,过点P作圆O的切线PA,连结OA,易知此时PA的值最小.由点到直线的距离公式,得OP==.又OA=1,所以PA==
2.
8.在直角坐标系xOy中,已知A-1,0,B0,1,则满足PA2-PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为________.答案2解析设Px,y,由PA2-PB2=4知[x+12+y2]-[x2+y-12]=4,整理得x+y-2=
0.又圆心0,0到直线x+y-2=0距离d==<2,因此直线与圆有两个交点,故符合条件的点P有2个.
9.2017·南通三模在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-2,点B1,-1,P为圆x2+y2=2上一动点,则的最大值是________.答案2解析解法1设点Px,y,则x2+y2=2,所以====.令λ=,所以x+2λ-1y+3λ-2=0,由题意,直线x+2λ-1y+3λ-2=0与圆x2+y2=2有公共点,所以≤,解得0<λ≤4,所以的最大值为
2.解法2当AP不与圆相切时,设AP与圆的另一个交点为D,由条件AB与圆C相切,则∠ABP=∠ADB,所以△ABP∽△ADB,所以==≤2,所以的最大值为
2.
10.2017·南京三模在平面直角坐标系xOy中,圆O x2+y2=1,圆M x+a+32+y-2a2=1a为实数.若圆O与圆M上分别存在点P,Q,使得∠OQP=300,则a的取值范围是________.答案解析过点Q作圆O的切线QR,切点为R,根据圆的切线性质,有∠OQR≥∠OQP=30°;反过来,如果∠OQR≥30°,则存在圆O上的点P,使得∠OQP=30°.若圆O上存在点P,使得∠OQP=30°,则∠OQR≥30°.因为OP=1,所以OQ>2时不成立,所以OQ≤2,即点Q在圆面x2+y2≤4上.因为点Q在圆M上,所以圆M x+a+32+y-2a2=1a为实数与圆面x2+y2≤4有公共点,所以OM≤
3.因为OM2=0+a+32+0-2a2,所以0+a+32+0-2a2≤9,解得-≤a≤
0.
二、解答题
11.已知圆C x2+y2-8y+12=0,直线l ax+y+2a=
0.1当a为何值时,直线l与圆C相切;2当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.解将圆C的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+y-42=4,则此圆的圆心为0,4,半径为
2.1若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.2过圆心C作CD⊥AB,垂足为D,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或-
1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=
0.
12.2017·苏北四市期中如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C x2+y2-4x=0及点A-1,0,B1,2.1若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,MN=AB,求直线l的方程;2在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由.解1圆C的标准方程为x-22+y2=4,所以圆心C2,0,半径为
2.因为l∥AB,A-1,0,B1,2,所以直线l的斜率为=
1.设直线l的方程为x-y+m=0,则圆心C到直线l的距离d==.因为MN=AB==2,而CM2=d2+,所以4=+2,解得m=0或m=-4,故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=
0.2假设圆C上存在点P,设Px,y,则x-22+y2=4,PA2+PB2=x+12+y-02+x-12+y-22=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+y-12=
4.因为2-2<<2+2,所以圆x-22+y2=4与圆x2+y-12=4相交,所以点P的个数为
2.
13.平面直角坐标系xOy中,已知圆C1x+32+y2=4和圆C2x-42+y-42=
4.1若直线l过点A4,-1,且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;2是否存在一个定点P,使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交,且l被两圆截得的弦长相等?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.解1由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-4-1,即kx-y-4k-1=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d==1,结合点到直线距离公式,得=1化简得24k2+7k=0,所以k=0或k=-.故直线l的方程为y=-1或y=-x-4-1,即y=-1或7x+24y-4=
0.2假设存在,设点Pa,b,l的方程为y-b=kx-a,即kx-y+b-ak=
0.因为圆C1和圆C2的半径相等,被l截得的弦长也相等,所以圆C1和圆C2的圆心到直线l的距离也相等,即=,整理得14a-7k2-8a+14b-32k+8b-16=
0.因为k的个数有无数多个,所以解得综上所述,存在满足条件的定点P,且点P的坐标为.第6课时 椭 圆1
一、填空题
1.经过点0,4且焦距为10的椭圆的标准方程为____________________.答案+=1解析因为焦距为10,所以2c=10,c=
5.因为4<5,所以b=4,且焦点在x轴上,a2=b2+c2=16+25=41,故椭圆的标准方程为+=
1.
2.已知椭圆方程为+=1,则k的取值范围是______________.答案3,4∪4,5解析由题意得∴k∈3,4∪4,5.
3.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为________.答案6解析根据椭圆定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=
6.
4.已知F1-1,0,F21,0是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且AB=3,则椭圆C的方程为________________.答案+=1解析由题意知椭圆焦点在x轴上,且c=1,可设椭圆C的方程为+=1a>1,由过F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长AB=3知,点必在椭圆上,代入椭圆方程化简得4a4-17a2+4=0,所以a2=4或a2=舍去,故椭圆C的方程为+=
1.
5.若椭圆C+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1=4,则∠F1PF2=________.答案解析由题意得a=3,c=,则PF2=
2.在△F2PF1中,由余弦定理可得cos∠F2PF1==-.∵∠F2PF1∈0,π,∴∠F1PF2=.
6.2017·淮阴高级中学模考已知过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF周长的最小值是________.答案18解析如图,设F为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知FQ=PF2,OP=OQ,所以△PQF的周长为PF+FQ+PQ=PF+PF2+2PO=2a+2PO=10+2PO,易知2PO的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上下顶点时,△PQF的周长取得最小值,最小值是
18.
7.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到y轴的距离为________.答案解析由题意,得F1-,0,F2,0.设Mx,y,则·=--x,-y·-x,-y=0,整理得x2+y2=3
①.因为点M在椭圆上,故+y2=1,即y2=1-
②.将
②代入
①,得x2=2,解得x=±.故点M到y轴的距离为.
8.2017·苏北四市期中如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C+=1a>b>0的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是________.答案解析由题意得,Aa,0,B10,-b,B20,b,Fc,0,所以=c,-b,=-a,-b.因为B2F⊥AB1,所以·=0,即b2=ac,所以c2+ac-a2=0,e2+e-1=
0.又椭圆的离心率e∈0,1,所以e=.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1a>b>0的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则椭圆的离心率是____________.答案解析由题意得,B,C,因为FB⊥FC,·=0,=,=,因此c2-+=0,3c2=2a2,解得e=.
10.如图,A,B是椭圆的两个顶点,点C是AB的中点,F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且OF=.若MF⊥OA,则椭圆的方程为____________.答案+=1解析设所求的椭圆方程为+=1ab0,则Aa,0,B0,b,C,F,0.依题意得=,FM的直线方程是x=,所以M.由于O,C,M三点共线,所以=,即a2-2=2,所以a2=4,b2=2,所以所求椭圆的方程是+=
1.
二、解答题
11.分别求下列椭圆的标准方程.1经过点P-2,0,Q0,2两点;2长轴长是短轴长的3倍,且经过M3,2;3与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点,且过点3,-2.解1由题意,P,Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=2,所以椭圆的标准方程为+=
1.2当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1a>b>0,又点M3,2在椭圆上,由题意,得解得所以椭圆的标准方程为+=
1.当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1a>b>0,又点M3,2在椭圆上,由题意,得所以椭圆的标准方程为+=
1.综上,椭圆的标准方程为+=1或+=
1.3由椭圆4x2+9y2=36得c=,所以设所求椭圆的标准方程为+=1a>b>0.由题意,得所以所以椭圆的标准方程为+=
1.
12.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1ab0,右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,求椭圆C的离心率.解右准线l x=,d2=-c=,在Rt△BOF中,由面积法得d1=,若d2=d1,则=×,整理得a2-ab-b2=0,两边同除以a2,得+-=0,解得=或-舍,∴e==.
13.如图,已知椭圆+=1ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.1若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;2若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.解1若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.2由题意知A0,b,F21,0,设Bx,y.由=2,解得x=,y=-.代入+=1,即+=1,解得a2=3,b2=a2-c2=
2.所以椭圆的方程为+=
1.第7课时 椭 圆2
一、填空题
1.已知椭圆+=1的焦距为2,则m的值为________.答案5或3解析当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,∴c=,∴=1,∴m=5;当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,∴c=,∴=1,∴m=
3.
2.已知以椭圆两焦点F1,F2所连线段为直径的圆,恰好过短轴两端点,则此椭圆的离心率e等于__________.答案解析由题意得b=c,∴a2=b2+c2=2c2,∴e==.
3.已知椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为______________.答案+=1解析由2c=4,=4,a2=b2+c2,得a2=8,b2=4,则该椭圆的方程为+=
1.
4.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是____________.答案+=1解析依题意知2a=18,∴a=9,∴2c=×2a,c=3,∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆的方程为+=
1.
5.已知椭圆+=1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点.若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有________个.答案6解析当∠PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.
6.设F1,F2分别是椭圆C+=1a>b>0的左、右焦点,点P在椭圆C上.若P到两焦点的距离之比为2∶1,则椭圆的离心率的取值范围是________.答案解析设P到两个焦点的距离分别是2k,k,根据椭圆定义可知3k=2a.又由椭圆的性质可知,椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k≤2c,所以2a≤6c,即e≥.因为0<e<1,所以≤e<
1.故椭圆的离心率的取值范围是.
7.已知椭圆M+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上一点.若||·||的最大值为3c2,其中c=,则椭圆M的离心率为________.答案解析∵||+||=2a,∴||·||≤=a2,∴a2=3c2,∴e2=,∴e=.
8.已知椭圆+=1ab0,点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为________.答案解析直线AB2的方程为+=1,直线B1F的方程为+=1,则它们的交点的横坐标满足-=2,而x=,可得a2-ac=2c2,即2e2+e-1=0,解得e=.
9.已知椭圆+=10<b<2的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点.若BF2+AF2的最大值为5,则b的值是__________.答案解析由题意知a=2,所以BF2+AF2+AB=4a=8,因为BF2+AF2的最大值为5,所以|AB|的最小值为3,当且仅当AB⊥x轴时,取得最小值,此时A,B-c,-,代入椭圆方程得+=
1.又c2=a2-b2=4-b2,所以+=1,所以=,解得b2=3,所以b=.
10.设椭圆C+=1a>b>0的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=2,则椭圆C的离心率为________.答案解析设Ax1,y1,Bx2,y2y1<0,y2>0,直线l的方程为y=x-c,其中c=.联立消去x得3a2+b2y2+2b2cy-3b4=
0.解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y2,即=2·,得离心率e==.
二、解答题
11.已知椭圆C的一个焦点为F12,0,相应准线为x=8,离心率e=.1求椭圆的方程;2求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长.解1设椭圆上任一点Px,y,由统一定义得=,两边同时平方得4[x-22+y2]=8-x2,化简得+=
1.2设椭圆的另一个焦点为F2-2,0,过F2且倾斜角为45°的直线方程为y=x+2,与曲线+=1联立消去y,得7x2+16x-32=
0.设交点Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=-,AB=AF2+BF2=a+ex1+a+ex2=2a+ex1+x2=2×4+x1+x2=.
12.2017·江苏卷如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为
8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l
2.1求椭圆E的标准方程;2若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.解1设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b==,因此椭圆E的标准方程是+=
1.2由1知,F1-1,0,F21,0.设Px0,y0,因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>
0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程为y=-x+1
①,直线l2的方程为y=-x-1
②.由
①②,解得x=-x0,y=eq\fx-1y0,所以Qeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1-x0,\fx-1y
0.因为点Q在椭圆上,由对称性,得eq\fx-1y0=±y0,即x-y=1或x+y=
1.又P在椭圆E上,故eq\fx4+eq\fy3=
1.由eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1x-y=1,\fx4+\fy3=1,解得而eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1x+y=1,\fx4+\fy3=1,无解.因此点P的坐标为.
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1ab0的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为
3.1求椭圆的标准方程;2过点F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.解1由题意,得=,且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=
1.2当AB⊥x轴时,AB=.又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx-1,Ax1,y1,Bx2,y2,将AB的方程代入椭圆方程,得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意,从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为PC=2AB,所以=,解得k=±
1.此时直线ΑΒ方程为y=x-1或y=-x+
1.第8课时 双曲线
一、填空题
1.2017·苏州期末在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的离心率为________.答案解析因为a=,b=,则c==3,所以e=.
2.2017·扬州考前调研已知双曲线-=1a0的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的焦距为________.答案10解析由题意,得=2,所以a=,所以c==5,所以该双曲线的焦距为
10.
3.已知双曲线-=1的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是___________.答案y=±x解析由题意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b==.故双曲线的渐近线方程是y=±x.
4.2017·天津卷已知双曲线-=1a>0,b>0的左焦点为F,离心率为.若经过F和P0,4两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为________.答案-=1解析由离心率为知该双曲线为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x.∵过F和P0,4的直线与双曲线的渐近线平行,∴c=4,a=b=
2.故双曲线的方程为-=
1.
5.若双曲线x2+my2=1过点-,2,则该双曲线的虚轴长为________.答案4解析双曲线x2+my2=1过点-,2,则m=-,得b2=4,则该双曲线的虚轴长2b=
4.
6.2017·南京三模在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构成的集合是____________.答案解析由题意,得2m2+3m=,所以2m2+3m-9=0,解得m=或-
3.因为-=1是双曲线的方程,所以m>0,所以m=.
7.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,则△PF1F2的面积为________.答案24解析由得由F1F2=10可得△PF1F2是直角三角形,则S△PF1F2=PF1×PF2=
24.
8.2017·全国卷Ⅲ已知双曲线C:-=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的方程为________.答案-=1解析∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴=
①.∵椭圆+=1与双曲线有公共焦点,∴c=3,则a2+b2=c2=9
②.由
①②解得a=2,b=,故双曲线C的方程为-=
1.
9.以双曲线-=1a>0,b>0的右焦点F为圆心,a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为____________.答案解析设Fc,0,则点F到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离为b,则a=b,c=a,则该双曲线的离心率为.
10.2017·江苏卷在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是________.答案2解析双曲线的右准线方程为x==,渐近线方程为y=±x,联立可得P,Q.又四边形F1PF2Q的对角线互相垂直,且F1F2=2c=4,所以四边形F1PF2Q的面积S=×F1F2×PQ=×4×=
2.
二、解答题
11.根据下列条件,求双曲线的标准方程.1焦点在x轴上,离心率为,且过点-5,3;2焦距是10,实轴长是虚轴长的2倍;3与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点3,2. 解1设双曲线的标准方程为-=1a0,b0.∵e==,∴c=a,b2=c2-a2=a
2.把点-5,3代入双曲线方程,得a2=
16.∴所求双曲线的标准方程为-=
1.2由题意得2c=10,2a=4b,即c=5,a=2b.利用c2=a2+b2,解得a2=20,b2=
5.由于双曲线的焦点所在的轴不确定,故双曲线的标准方程为-=1或-=
1.3解法1∵c2=16+4=20,∴c=2,∴F±2,0,∴2a=|-|=4,∴a2=12,∴b2=c2-a2=8,∴双曲线的标准方程为-=
1.解法2设所求双曲线方程为-=1-4<λ16.∵双曲线过点3,2,∴-=1,解得λ=4或λ=-14舍去.∴所求双曲线方程为-=
1.
12.已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.1求此双曲线的方程;2设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第
一、第二象限,若=,求△AOB的面积.解1依题意得解得故双曲线的方程为-x2=
1.2由1知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设Am,2m,B-n,2n,其中m0,n
0.由=得点P的坐标为,将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=
1.设∠AOB=2θ,则tanθ=2,从而sin2θ=.又OA=m,OB=n,∴S△AOB=OA·OBsin2θ=2mn=
2.
13.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.1求双曲线的方程;2若点M3,m在双曲线上,求证·=0;3求△F1MF2的面积.1解∵e=,∴设双曲线方程为x2-y2=λ.又双曲线过点4,-,∴λ=16-10=6,∴双曲线方程为x2-y2=6,即-=
1.2证明证法1由1知a=b=,c=2,∴F1-2,0,F22,0,∴kMF1=,kMF2=,∴kMF1·kMF2==.又点3,m在双曲线上,∴m2=3,∴kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,即·=
0.证法2∵=-3-2,-m,=2-3,-m,∴·=3+23-2+m2=-3+m
2.∵M在双曲线上,∴9-m2=6,∴m2=3,∴·=
0.3解∵在△F1MF2中,F1F2=4,且|m|=,∴S△F1MF2=·F1F2·|m|=×4×=
6.第9课时 抛物线
一、填空题
1.抛物线y=x2的准线方程是____________.答案y=-1解析因为抛物线y=x2的标准方程为x2=4y,所以其准线方程为y=-
1.
2.已知过抛物线x2=-12y的焦点作直线垂直于y轴,交抛物线于A,B两点,O为抛物线的顶点,则△OAB的面积是________.答案18解析∵F0,-3,将y=-3代入x2=-12y,得xA=6,∴AB=12,∴S△OAB=×12×3=
18.
3.顶点在原点,以x轴为对称轴,焦点到准线的距离为的抛物线方程为____________.答案y2=5x或y2=-5x解析由题意可知p=,所求方程为y2=5x或y2=-5x.
4.若抛物线y2=2pxp0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=__________.答案2解析因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离,所以抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离,即=1,所以p=
2.
5.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2pxx>0的准线相切,则p=______________.答案4或8解析抛物线的准线方程为x=-,圆心坐标为-3,0,半径为1,由题意知3-=1或-3=1,∴p=4或p=
8.
6.如图是抛物线形拱桥,当水面在l上时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽________米.答案2解析设水面与拱桥的一个交点为A,如图,建立平面直角坐标系,则A的坐标为2,-2.设抛物线方程为x2=-2pyp0,则22=-2p×-2,得p=1,则x2=-2y.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为x0,-3,则x=6,解得x0=±,所以水面宽为2米.
7.2017·丹东月考已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A0,2的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.答案解析依题设P在抛物线准线上的射影为P′,抛物线的焦点为F,则F,由抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离PP′=PF,则点P到点A0,2的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=PF+PA≥AF==.
8.抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是____________.答案1解析根据点到直线的距离公式可求得抛物线y2=8x的焦点2,0到直线x-y=0的距离d==
1.
9.2017·襄阳联考直线m经过抛物线C y2=4x的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,且AF+BF=10,则线段AB的中点D到y轴的距离为________.答案4解析由已知,得点F1,0,抛物线C的准线l x=-1,设Ax1,y1,Bx2,y2,∴AF+BF=x1+1+x2+1=10,∴x1+x2=8,∴点D的横坐标为4,故线段AB的中点D到y轴的距离是
4.
10.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么PF=____________.答案8解析由抛物线方程y2=8x,可得准线l的方程为x=-2,焦点坐标为F2,0.设点A坐标为-2,n,∴-=,∴n=
4.∴P点纵坐标为
4.由42=8x,得x=6,∴P点坐标为6,4,∴|PF|=|PA|=|6--2|=
8.
二、解答题
11.在平面直角坐标系xOy中,A,B分别为直线x+y=2与x,y轴的交点,C为AB的中点.若抛物线y2=2pxp0过点C,求焦点F到直线AB的距离.解由已知可得A2,0,B0,2,C1,1,解得抛物线方程为y2=x,则焦点为F,故点F到直线AB的距离为=.
12.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离等于5,求抛物线的方程与m的值.解设抛物线的方程为y2=-2pxp>0,∵MF=+3=5,∴p=4,则抛物线的方程为y2=-8x,∴m2=24,m=±
2.
13.2017·北京卷已知抛物线C y2=2px过点P1,1.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.1求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;2求证点A为线段BM的中点.1解由抛物线C y2=2px过点P1,1,得p=,所以抛物线C的方程为y2=x,抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.2证明由题意,设直线l的方程为y=kx+k≠0,直线l与抛物线C的交点为Mx1,y1,Nx2,y2.由得4k2x2+4k-4x+1=0,则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为1,1,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为x1,x1.直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x
1.故点A为线段BM的中点.第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用1
一、填空题
1.已知椭圆C的方程为+=1m0,如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为________.答案解析根据已知条件得c=,则点在椭圆+=1m0上,∴+=1,可得m=.
2.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且AF=2,则BF=________.答案2解析设点Ax1,y1,点Bx2,y2,抛物线y2=4x,焦点为1,0,准线为x=-1,AF=x1--1=2,所以x1=
1.则AF与x轴垂直,故BF=AF=
2.
3.若直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a=________.答案解析由消去y得ax2-x+1=0,所以解得a=.
4.2017·南通、泰州一调在平面直角坐标系xOy中,直线2x+y=0为双曲线-=1a0,b0的一条渐近线,则该双曲线的离心率为________.答案解析因为直线2x+y=0为双曲线-=1a>0,b>0的一条渐近线,所以=2,b=2a,所以b2=4a2,c2-a2=4a2,所以e==.
5.已知椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P,且PF2⊥x轴,则此椭圆的离心率e=________.答案解析在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,F1F2=2c,PF1=2PF2,根据椭圆的定义得PF2=a,PF1=a.又PF-PF=F1F,即a2-a2=4c2,则e==.
6.已知F1,F2分别是双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M.若点M在以线段F1F2为直径的圆上,则双曲线的离心率为____________.答案2解析设Mx,y,根据题意,设M在第四象限.因为点M在以线段F1F2为直径的圆上,且在渐近线y=-x上,则可得方程组再结合a2+b2=c2可得Ma,-b.又kMF2==,所以c=2a,故e==
2.
7.2017·无锡期末设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e
2.若3e1=e2,则e1=________.答案解析设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,则由定义知,不妨设P在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点,则所以PF1=a1+a2,PF2=a1-a
2.因为PF1⊥PF2,所以PF+PF=F1F,即+=4c2,整理得eq\f1e+eq\f1e=
2.因为3e1=e2,所以e1=.
8.已知圆心在x轴正半轴上的圆C过双曲线x2-y2=1的右顶点,且被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2,则圆C的方程为____________.答案x-62+y2=25解析设圆心m,0,则圆方程为x-m2+y2=m-12,圆心到双曲线的一条渐近线的距离为,则有+2=m-12,解得m=6,∴圆C的方程为x-62+y2=
25.
9.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F1,0,直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为2,2,则直线l的方程为__________.答案y=x解析由题意,知抛物线的方程为y2=4x,设Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1≠x2,eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1y=4x1,y=4x
2.两式相减得y-y=4x1-x2,∴=.∵A,B的中点为2,2,∴y1+y2=4,∴=
1.∴直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.
10.如图,已知过椭圆+=1ab0的左顶点A-a,0作直线l交y轴于点P,交椭圆于点Q.若△AOP是等腰三角形,且=2,则椭圆的离心率为________.答案解析解法1因为△AOP是等腰三角形,所以OA=OP,故A-a,0,P0,a.又=2,所以Q,由点Q在椭圆上得+=1,解得=,故离心率e===.解法2因为△AOP是等腰三角形,所以OA=OP,故直线AP的方程y=x+a与椭圆方程联立并消去y得a2+b2x2+2a3x+a2c2=0,从而-axQ=,即xQ=-.又由A-a,0,P0,a,=2得xQ=-,故-=-,即5c2=4a2,故e=.
二、解答题
11.已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点.若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.解由得a+bx2-2bx+b-1=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,AB==·.∵AB=2,∴=1 *.设Cx,y,则x==,y=1-x=.∵OC的斜率为,∴=.代入*式,得a=,b=.∴椭圆的方程为+y2=
1.
12.设椭圆C+=1a0的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上的一点,且·=0,坐标原点O到直线AF1的距离为OF
1.1求椭圆C的方程;2设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线l交x轴于点P-1,0,交y轴于点M.若=2,求直线l的方程.解1由题设知F1-,0,F2,0.∵·=0,则有⊥,∴点A的坐标为,故AF1所在直线方程为y=±.∴坐标原点O到直线AF1的距离为a.又OF1=,∴=,解得a=2a,所求椭圆的方程为+=
1.2由题意可知直线l的斜率存在,设直线l斜率为k,直线l的方程为y=kx+1,则有M0,k,设Qx1,y1.∵=2,∴x1,y1-k=2-1-x1,-y1,∴由Q在椭圆C上,得+=1,解得k=±
4.故直线l的方程为y=4x+1或y=-4x+1,即4x-y+4=0或4x+y+4=
0.
13.2017·绍兴模拟已知点A-2,0,B0,1在椭圆C+=1ab0上.1求椭圆C的方程;2设P是线段AB上的点,直线y=x+mm≥0,且m≠1交椭圆C于M,N两点.若△MNP是斜边长为的直角三角形,求直线MN的方程.解1因为点A-2,0,B0,1在椭圆+=1上,所以a=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=
1.2设Mx1,y1,Nx2,y2.由消去y,得x2+mx+m2-1=0,则Δ=2-m20,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,所以MN=|x1-x2|=.
①当MN为斜边时,=,解得m=0,满足Δ0,此时以MN为直径的圆的方程为x2+y2=.因为点A-2,0,B0,1分别在圆外和圆内,所以在线段AB上存在点P,此时直线MN的方程为y=x.
②当MN为直角边时,两平行直线AB与MN间的距离d=|m-1|,所以d2+MN2=|m-1|2+10-5m2=10,即21m2+8m-4=0,解得m=或m=-舍.又Δ0,所以m=.过点A作直线MN y=x+的垂线,可得垂足坐标为,垂足在椭圆外,即在线段AB上存在点P,所以直线MN的方程为y=x+.综上所述,直线MN的方程为y=x或y=x+.第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用2
一、填空题
1.以椭圆+=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为____________.答案x2-=1解析椭圆+=1的焦点为±1,0,顶点为±2,0,则双曲线中a=1,c=2,b==,所以所求双曲线方程为x2-=
1.
2.已知椭圆C+=1a>b>0的离心率e=,直线l x-my-1=0m∈R过椭圆C的右焦点F则椭圆C的标准方程为____________.答案+=1解析由题设,得解得从而b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为+=
1.
3.已知点A-2,3在抛物线C y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为________.答案-解析根据已知条件得-=-2,所以p=
4.从而抛物线方程为y2=8x,其焦点F2,0,从而直线AF的斜率为=-.
4.双曲线x2-=1的渐近线与圆x2+y-42=r2r>0相切,则r=________.答案2解析渐近线的方程为x±y=0,圆心0,4到渐近线的距离等于r,则r==
2.
5.在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C+=1a>b>0的左顶点为A,过原点O的直线与坐标轴不重合与椭圆C交于P,Q两点.当直线PQ斜率为时,PQ=2,则椭圆C的标准方程为____________.答案+=1解析设P,∵直线PQ斜率为时,PQ=2,∴x+=3,∴x=
2.∴+=
1.∵e===,∴a2=4,b2=
2.∴椭圆C的标准方程为+=
1.
6.已知直线y=x与双曲线-=1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPA·kPB=____________.答案解析设点Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,则由得y2=,y1+y2=0,y1y2=-,x1+x2=0,x1x2=-4×.由kPA·kPB=·=eq\fy+y1y2x+x1x2=eq\fy-\f3679\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fy4+1-4×\f367=eq\fy-\f367\f94\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1y-\f367=,知kPA·kPB为定值.
7.若C-,0,D,0,点M是椭圆+y2=1上的动点,则+的最小值为________.答案1解析由椭圆+y2=1知c2=4-1=3,∴c=,∴C,D是该椭圆的两焦点.令MC=r1,MD=r2,则r1+r2=2a=4,∴+=+==.∵r1r2≤==4,∴+=≥
1.当且仅当r1=r2时,上式等号成立.故+的最小值为
1.
8.已知直线l14x-3y+6=0和直线l2x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是__________.答案2解析直线l2x=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F1,0的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F1,0和直线l1的距离之和最小,最小值为F1,0到直线l14x-3y+6=0的距离,即dmin==
2.
9.2017·常州期末已知抛物线x2=2pyp>0的焦点F是椭圆+=1a>b>0的一个焦点.若P,Q是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ经过焦点F,则该椭圆的离心率为________.答案-1解析由题意,p=2c,P,c,即P2c,c,代入椭圆方程,可得+=1,整理可得e4-6e2+1=
0.∵0<e<1,∴e=-
1.
10.2017·全国卷Ⅰ已知F为抛物线C y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则AB+DE的最小值为________.答案16解析根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为1,0,设直线l1的方程为y=kx-1,代入抛物线方程,得k2x2-2k2+4x+k2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2==2+.根据抛物线定义得AF=x1+1,BF=x2+1,所以AB=AF+BF=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得DE=4+4k2,所以AB+DE=8+4≥8+4×2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为
16.
二、解答题
11.2018·南通中学开学考试如图,已知椭圆+=1a>b>0的右焦点为F21,0,点H在椭圆上.1求椭圆的方程;2点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证△PF2Q的周长是定值.1解根据已知,椭圆的左、右焦点为分别是F1-1,0,F21,0,c=
1.∵H在椭圆上,∴2a=HF1+HF2=+=6,∴a=3,b2=a2-c2=8,∴椭圆的方程是+=
1.2证明设Px1,y1,Qx2,y2,则eq\fx9+eq\fy8=1,PF2=eq\r(x1-1)2+y=eq\r(x1-1)2+8\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co11-\fx9=.∵0<x1<3,∴PF2=3-.在圆中,M是切点,∴PM==eq\rx+y-8=eq\rx+8\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co11-\fx9-8=x1,∴PF2+PM=3-x1+x1=3,同理QF2+QM=3,∴F2P+F2Q+PQ=3+3=6,因此△PF2Q的周长是定值
6.
12.2017·扬州考前调研如图,已知椭圆E+=1a>b>0的左顶点A-2,0,且点在椭圆上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.过点A作斜率为kk>0的直线交椭圆E于另一点B,直线BF2交椭圆E于点C.1求椭圆E的标准方程;2若F1C⊥AB,求k的值.解1由题意得解得∴椭圆E的标准方程为+=
1.2设直线AB的方程lAB y=kx+2,由得3+4k2x2+16k2x+16k2-12=0,∴xA·xB=-2xB=,∴xB=,∴yB=k=,∴B.若k=,则B,C.∵F1,∴kCF1=-,∴F1C与AB不垂直,∴k≠.∵F21,0,kBF2=,kCF1=-,∴直线BF2的方程lBF2y=x-1,直线CF1的方程lCF1y=-x+1.由解得∴C.又点C在椭圆上得+=1,即24k2-1·8k2+9=0,即k2=.∵k0,∴k=.
13.2017·全国卷Ⅰ已知椭圆C+=1ab0,四点P11,1,P20,1,P3,P4中恰有三点在椭圆C上.1求椭圆C的方程;2设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-
1.求证直线l过定点.1解由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点.又由++知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上.因此解得故椭圆C的方程为+y2=
1.2证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k
2.如果l与x轴垂直,设l x=t,由题设知t≠0,且|t|2,可得A,B的坐标分别为,,则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l y=kx+mm≠1.将y=kx+m代入+y2=1得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=
0.由题设可知Δ=164k2-m2+
10.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设k1+k2=-1,故2k+1x1x2+m-1x1+x2=0,即2k+1·+m-1·=0,解得k=-.当且仅当m-1时,Δ0,于是直线l y=-x+m,即y+1=-x-2,所以直线l过定点2,-1.。