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压轴大题拉分练04满分24分 时间30分钟1.12分已知M是直线l x=-1上的动点,点F的坐标是10,过M的直线l′与l垂直,并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N.1求点N的轨迹C的方程;2设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′,点P的坐标为20,直线AP与曲线C的另一个交点为BB与A′不重合,是否存在一个定点T,使得T,A′,B三点共线?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.解1依题意,|NM|=|NF|,即曲线C为抛物线,其焦点为F10,准线方程为l x=-1,所以曲线C的方程为y2=4x.2设A,则A′,直线AP的斜率为kAP==,直线AB的方程为y=x-2.由方程组得ay2-a2-8y-8a=0.设Bx0,y0,则ay0=-8,y0=-,x0=,所以B,又A′,所以A′B的方程为y+a=-.令y=0,得x=-2.即直线A′B与x轴交于定点T-20.因此存在定点T-20,使得T,A′,B三点共线.2.12分已知a∈R,函数fx=ex-ax.e≈
2.71828…是自然对数的底数1求函数fx的单调区间;2若函数Fx=fx-ex-2ax+2lnx+a在区间内无零点,求a的最大值.解1∵fx=ex-ax,∴f′x=ex-a,当a≤0时,在f′x>0上R恒成立,fx增区间为-∞,+∞,无减区间;当a>0时,令f′x=0得x=lna,fx的增区间为lna,+∞,减区间为-∞,lna.2函数Fx=fx-ex-2ax+2lnx+a=ax-2lnx-a,x∈,∴F′x=a-=,
①当a≤0时,F′x<0在上恒成立,函数Fx在区间上单调递减,则Fx>F=-2ln-a=ln4->0,∴a≤0时,函数Fx在区间上无零点;
②当a>0时,令F′x=0得,x=,令F′x>0,得x>,令F′x<0,得0<x<,因此,函数Fx的单调递增区间是,单调递减区间是.ⅰ当≥,即0<a≤4时,函数Fx的单调递减区间是,∴Fx>F=-2ln-a=ln4-.要使函数Fx在区间内无零点,则ln4-≥0,得a≤4ln2;ⅱ当<,即a>4时,函数Fx的单调递减区间是,单调递增区间是,∴Fxmin=F=2-2ln-a=2-ln4+2lna-a,设ga=2-ln4+2lna-a,∴g′a=-1=<0,∴ga在4,+∞上单调递减,∴ga<g4=2-ln4+2ln4-4=ln4-2=2ln2-lne<0,而当x→+∞时,Fx→+∞,∴函数Fx在区间内有零点,不合题意.综上,要使函数Fx=fx-ex-2ax+2lnx+a在区间内无零点,则a的最大值为4ln2.。