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压轴大题拉分练03满分24分 时间30分钟1.12分已知圆O的方程为x2+y2=4,若动抛物线C过点A-10,B10,且以圆O的切线为准线,F为抛物线的焦点,点F的轨迹为曲线C′.1求曲线C′的方程;2过点B作直线L交曲线C′与P、Q两点,P、P′关于x轴对称,请问直线P′Q是否过x轴上的定点,如果不过请说明理由,如果过定点,请求出定点E的坐标.解1设直线m和圆O相切与点M,过A、B分别向直线m作垂线,垂足分别为A′、B′,则AA′+BB′=2OM,由抛物线定义可知,AA′=AF,BB′=BF,所以AF+BF=2OM=4,由椭圆的定义可知,点F的轨迹为以A、B为焦点,以4为长轴的椭圆,方程为+=1.2设Px1,y1,Qx2,y2,则P′x1,-y1,直线P′Q的方程为y-y2=x-x2,令y=0,x=,设直线L x=ny+1,则x==.*联立直线和椭圆方程3n2+4y2+6ny-9=0,则y1+y2=,y1y2=,代入*式得x=4,所以直线P′Q过x轴上的定点E40.2.12分已知函数fx=.1求函数fx的单调区间;2当x∈
[02]时,fx≥-x2+2x+m恒成立,求m的取值范围.解1函数fx的定义域为{x|x∈R},f′x=,∵ex>0,由f′x<0,解得x<1或x>2;f′x>0,解得1<x<2,∴fx的单调递减区间为-∞,1,2,+∞,单调递增区间为12.2∵fx≥-x2+2x+m在x∈
[02]恒成立,∴m≤fx+x2-2x=x2-x+1·e-x+x2-2x,令gx=x2-x+1·e-x+x2-2x,则g′x=-x-2x-1·e-x+2x-1,当x∈[01时,g′x=<0;当x∈12时,g′x=>0,∴gx在01上单调递减,在12上单调递增,∴gxmin=g1=-1,∴m≤-1.。