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压轴大题拉分练06满分24分 时间30分钟1.12分已知椭圆C+=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上一点,若PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△PF1F2的面积为1.1求椭圆C的方程;2若A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB,求证+为定值,并求出该定值.解1由已知,|PF1|2+|PF2|2=12,|PF1||PF2|=1,又2a=|PF1|+|PF2|,∴4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16,a2=4,b2=a2-c2=4-2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.2
①当A,B是椭圆顶点时,+=.
②当A,B不是椭圆顶点时,设lOA y=kx,lOB y=-x,由得xA=,|OA|2=,同理xB=,|OB|2=,+=+==.综上,+为定值.2.12分已知函数fx=alnx+1-ax+a∈R.1a>1时,求函数fx的单调区间;2设∃m,n∈
[13],使不等式|fm-fn|>k+ln32-a-2ln3对任意的a∈24恒成立,求实数k的取值范围.解1已知函数定义域为0,+∞,f′x=-+1-a==,已知a>1,令f′x=0,x1=1,x2=,当a=2时,x1=1=x2,f′x≤0,fx在0,+∞上递减;当1<a<2时,x2=>x1=1,∴fx在01上递减,在上递增,在上递减;当a>2时,x1=1>x2=,∴fx在上递减,在上递增,在1,+∞上递减.2由1知,当a∈24时,fx在1,+∞上递减,当x∈
[13]时,fxmax=f1=1-a+1=2-a,fxmin=f3=aln3++3-3a=aln3-3a+,原问题等价于对任意的a∈24,恒有k+ln32-a-2ln3<2-a-成立,即k>===-2-,当a=4时,取得最大值-,∴k>-.。