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第1讲 小题考法——统计、统计案例与概率
一、主干知识要记牢1．概率的计算公式1古典概型的概率计算公式PA＝；2互斥事件的概率计算公式PA∪B＝PA＋PB；3对立事件的概率计算公式P＝1－PA；4几何概型的概率计算公式PA＝．2．抽样方法1三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会概率相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成__2分层抽样中公式的运用
①抽样比＝＝；
②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．3．用样本数字特征估计总体1众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个平均数样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个2方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小．
①方差s2＝[x1－2＋x2－2＋…＋xn－2]；
②标准差s＝]．
二、二级结论要用好1．频率分布直方图的3个结论1小长方形的面积＝组距×＝频率．2各小长方形的面积之和等于1．3小长方形的高＝，所有小长方形高的和为．2．与平均数和方差有关的4个结论1若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；2数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；3若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；4s2＝xi－2＝－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．求s2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式．3．线性回归方程线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心，．
三、易错易混要明了1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别体积型、面积型、长度型、角度型等.考点一 用样本估计总体1．方差的计算与含义1计算计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．2含义方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略1已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．2已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．1．2017·全国卷Ⅲ某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位万人的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在78月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析 对于选项A，由图易知月接待游客量每年78月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A．2．2018·齐齐哈尔二模某高校调查了320名学生每周的自习时间单位小时，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[
17.530]，样本数据分组为[
17.520，[
2022.5，[
22.525，[
2527.5，[
27.530]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足
22.5小时的人数是 B A．68B．72C．76D．80解析 由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足
22.5小时的人数是320×
0.02＋
0.07×
2.5＝72人．选B．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 D A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D错误． 4．2018·南充三联为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是 D A．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析 由茎叶图知，甲的平均成绩是＝82，乙的平均成绩是＝87，所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图看出乙的成绩稳定，故选D．考点二 变量间的相关关系、统计案例求回归直线方程的关键及实际应用1求回归直线方程的关键是正确理解，的计算公式和准确地求解．2在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．1．2018·永州三模党的十九大报告明确提出在共享经济等领域培育增长点、形成新动能．共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是 D 解析 根据四个列联表中的等高条形图可知，图D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．2．已知某种商品的广告费支出x单位万元与销售额y单位万元之间有如下对应数据x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝
6.5x＋
17.5，则表中m的值为 D A．45B．50C．55D．60解析 ＝＝5，＝＝．∵当＝5时，＝
6.5×5＋
17.5＝50，∴＝50，解得m＝60．3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k
3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为 D PK2k
00.
500.
400.
250.
150.10k
00.
4550.
7081.
3232.
0722.706PK2k
00.
050.
0250.
0100.
0050.001k
03.
8415.
0246.
6357.
87910.828A．5%B．75%C．
99.5%D．95%解析 由表中数据可得，当k
3.841时，有
0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－
0.05＝
0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D．考点三 古典概型与几何概型1．利用古典概型求概率的关键及注意点1正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．2对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏．2．几何概型的适用条件及求解关键1当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．2求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．1．2018·攀枝花一模中国人民银行发行了2018中国戊戌狗年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18mm，某同学为了算图中装饰狗的面积．他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是 C A．mm2B．mm2C．mm2D．mm2解析 由题意得，纪念币的面积为S＝π×2＝81π，设装饰狗的面积为S1，则＝，所以S1＝×S＝×81π＝mm2，故选C．2．2018·菏泽二模甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 A A．B．C．D．解析 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为红，红，红，白，红，蓝，白，红，白，白，白，蓝，蓝，红，蓝，白，蓝，蓝．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即红，红，白，白，蓝，蓝，故他们选择相同颜色运动服的概率为＝，故选A．3．2018·延安二模某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是____．解析 由题意知这是一个几何概型，∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻，∴事件总数包含的时间长度是30，∵时长均为5分钟，∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P＝．。
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