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2019-2020年高三上学期期中数学试卷(文科)含解析IV
一、填空题本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∩(∁UB)= .2.若复数z满足,则的共轭复数是 .3.已知一组数据3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为 .4.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中2只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .5.如图,矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为 .6.如图是一个算法流程图,则输出k的值是 .7.若实数x,y满足条件,则z=3x﹣4y的最大值是 .8.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为 .9.已知cos()=,则cos()﹣sin2(α﹣)= .10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则•的值为 .11.等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,若log3[an(S4m+1)]=9,则+的最小值是 .12.在平面直角坐标系数xOy中,点A(1,0),B(4,0),若直线x﹣y+m=0上存在点P,使得2PA=PB,则实数m的取值范围是 .13.已知函数f(x)=,g(x)=kx+1,若方程f(x)﹣g(x)=0有两个不同实根,则实数k的取值范围为 .14.已知不等式(ax+3)(x2﹣b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值的集合为 .
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角A的值;
(2)若△ABC的面积为,且a=,求△ABC的周长.16.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)求证平面PAC⊥平面PCD;
(2)求证CE∥平面PAB.17.如图,在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A(点A,B在直径上,点C,D在半圆周上),并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗).
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?
(2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C是椭圆=1(a>b>0)上不同的三点,,B(﹣2,﹣2),C在第三象限,线段BC的中点在直线OA上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点,证明为定值并求出该定值.19.已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.已知函数f(x)=x2﹣2alnx(a∈R),g(x)=2ax.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若a>0,函数h(x)=f(x)﹣g(x)有且只有一个零点,求实数a的值;
(3)若0<a<1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求a的取值范围. xx江苏省南京师大附中高三(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∩(∁UB)= ∅ .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.【解答】解∵集合U={1,2,3,4},B={1,3,4},∴∁UB={2},∵A={1,3},∴A∩(∁UB)=∅,故答案为∅ 2.若复数z满足,则的共轭复数是 1+i .【考点】复数的基本概念.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.【解答】解∵,∴﹣i•i=﹣i(1+i),则=1﹣i则的共轭复数是1+i.故答案为1+i. 3.已知一组数据3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为 2 .【考点】极差、方差与标准差.【分析】先求出这组数据的平均数,再求这组数据的方差.【解答】解一组数据3,5,4,7,6,这组数据的平均数==5,这组数据的方差S2=[(3﹣5)2+(5﹣5)2+(4﹣5)2+(7﹣5)2+(6﹣5)2]=2.故答案为2. 4.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中2只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数,再求出这2只球颜色不同,包含的基本事件个数,由此能求出这2只球颜色不同的概率.【解答】解袋中有形状、大小都相同的4只球,其中2只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,基本事件总数n==6,这2只球颜色不同,包含的基本事件个数m=C=4,∴这2只球颜色不同的概率p==.故答案为. 5.如图,矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为 .【考点】三角形中的几何计算.【分析】有已知矩形ABCD由两个正方形拼成,设正方形的边长为1,由图可知∠CAD=∠DAD+CAE,利用两角和的正切公式即可求得.【解答】解因为矩形ABCD由两个正方形拼成,设正方形的边长为1,则在Rt△CAD中,=2,,所以⇔⇒.故答案为 6.如图是一个算法流程图,则输出k的值是 6 .【考点】程序框图.【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序是计算S的值,输出满足S≤0时k的值.【解答】解模拟程序框图的运行过程,如下;k=1,S=40,S≤0?,N,S=40﹣2=38;k=2,S≤0?N,S=38﹣22=34;k=3,S≤0?,N,S=34﹣23=26;k=4,S≤0?,N,S=26﹣24=10;k=5,S≤0?,N,S=10﹣25=﹣22;k=6,S≤0?Y,输出k=6.故答案为6. 7.若实数x,y满足条件,则z=3x﹣4y的最大值是 ﹣1 .【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,求出最大值.【解答】解不等式组对应的平面区域如图由z=3x﹣4y得y=,平移直线y=,则由图象可知当直线y=,当经过点A时,直线的截距最小,此时z最大.由,解得,即A(1,1),此时最大值z=3×1﹣4×1=﹣1,故答案为﹣1 8.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的渐近线方程,代入点(3,﹣4),可得b=a,再由c=,e=,即可得到所求值.【解答】解双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,由渐近线过点(3,﹣4),可得﹣4=﹣,即b=a,c===a,可得e==.故答案为. 9.已知cos()=,则cos()﹣sin2(α﹣)= .【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.【分析】根据诱导公式得出cos()=﹣cos(﹣α),sin2(α﹣)=1﹣cos2(﹣α),然后将已知条件代入即可求出结果.【解答】解cos()=cos[π﹣(﹣α)]=﹣cos(﹣α)=﹣sin2(α﹣)=sin2[﹣(﹣α)]=1﹣cos2(﹣α)=1﹣(﹣)2=∴cos()﹣sin2(α﹣)=﹣﹣=﹣.故答案为﹣ 10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则•的值为 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量数量积的公式和应用,进行运算求解即可.【解答】解∵AB=2,BC=1,∠ABC=60°,∴BG==,CD=2﹣1=1,∠BCD=120°,∵=,=,∴•=(+)•(+)=(+)•(+)=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=,故答案为 11.等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,若log3[an(S4m+1)]=9,则+的最小值是
2.5 .【考点】等比数列的通项公式;基本不等式.【分析】根据等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,可得an=2•3n﹣1;Sn=3n﹣1,由log3[an•(S4m+1)]=9,可得n+4m=10,进而利用“1”的代换,结合基本不等式,即可得出结论.【解答】解∵等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,∴an=2•3n﹣1;Sn=3n﹣1,∵log3[an•(S4m+1)]=9,∴(n﹣1)+4m=9,∴n+4m=10,∴+=(n+4m)(+)=(17+)≥(17+8)=
2.5,当且仅当m=n=2时取等号,∴+的最小值是
2.5.故答案为
2.5. 12.在平面直角坐标系数xOy中,点A(1,0),B(4,0),若直线x﹣y+m=0上存在点P,使得2PA=PB,则实数m的取值范围是 [﹣2,2] .【考点】直线的一般式方程.【分析】设P(x,x+m),由2PA=PB,可得4|PA|2=|PB|2,利用两点之间的距离公式化为(x+m)2=4﹣x2,可得m=﹣x±,x∈[﹣2,2].通过三角函数代换即可得出.【解答】解设P(x,x+m),∵2PA=PB,∴4|PA|2=|PB|2,∴4(x﹣1)2+4(x+m)2=(x﹣4)2+(x+m)2,化为(x+m)2=4﹣x2,∴4﹣x2≥0,解得x∈[﹣2,2],∴m=﹣x±,令x=2cosθ,θ∈[0,π],∴m=﹣2cosθ±2sinθ=±2sin(θ±)∈[﹣2,2],实数m的取值范围是[﹣2,2],故答案为[﹣2,2]. 13.已知函数f(x)=,g(x)=kx+1,若方程f(x)﹣g(x)=0有两个不同实根,则实数k的取值范围为 (,1)∪(1,e﹣1] .【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的零点与方程根的关系.【分析】方程f(x)﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f(x)与函数y=kx+1有两个不同的交点,作函数f(x)与函数y=kx+1的图象,结合函数的图象求解.【解答】解∵g(x)=kx+1,∴方程f(x)﹣g(x)=0有两个不同实根等价为方程f(x)=g(x)有两个不同实根,即f(x)=kx+1,则等价为函数f(x)与函数y=kx+1有两个不同的交点,当1<x≤2,则0<x﹣1≤1,则f(x)=f(x﹣1)=ex﹣1,当2<x≤3,则1<x﹣1≤2,则f(x)=f(x﹣1)=ex﹣2,当3<x≤4,则2<x﹣1≤3,则f(x)=f(x﹣1)=ex﹣3,…当x>1时,f(x)=f(x﹣1),周期性变化;函数y=kx+1的图象恒过点(0,1);作函数f(x)与函数y=kx+1的图象如下,C(0,1),B(2,e),A(1,e);故kAC=e﹣1,kBC=;在点C处的切线的斜率k=e0=1;结合图象可得,实数k的取值范围为(,1)∪(1,e﹣1];故答案为 14.已知不等式(ax+3)(x2﹣b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值的集合为 {﹣2,8} .【考点】函数恒成立问题.【分析】对b分类讨论,当b≤0时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0得到ax+3≤0,由一次函数的图象知不存在;当b>0时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0,利用数学结合的思想得出a,b的整数解.【解答】解当b≤0时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0得到ax+3≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,则a不存在;当b>0时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0,可设f(x)=ax+3,g(x)=x2﹣b,又g(x)的大致图象如下,那么由题意可知再由a,b是整数得到或因此a+b=8或﹣2.故答案为{﹣2,8}
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角A的值;
(2)若△ABC的面积为,且a=,求△ABC的周长.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】
(1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可得出结论.
(2)由已知利用三角形面积公式可求bc的值,利用余弦定理可求b+c的值,即可得解.【解答】解
(1)由=,利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC,化为2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,∵sinB≠0,∴cosA=,∵A∈(0,π),∴A=.
(2)∵A=,△ABC的面积为=bcsinA=bc×,∴bc=2,∵a=,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得5=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣6,∴解得b+c=,∴△ABC的周长l=a+b+c=+. 16.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)求证平面PAC⊥平面PCD;
(2)求证CE∥平面PAB.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)由线面垂直得PA⊥CD,由直角性质得CD⊥AC,由此能证明平面PAC⊥平面PCD.
(2)法一取AD中点M,连EM,CM,则EM∥PA.从而得到EM∥平面PAB.再由MC∥AB,得到MC∥平面PAB,由此证明平面EMC∥平面PAB,从而EC∥平面PAB.
(2)法二延长DC,AB交于点N,连PN.由已知条件推地出EC∥PN.由此能证明EC∥平面PAB.【解答】证明
(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,…又∠ACD=90°,则CD⊥AC,而PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,因为CD⊂平面ACD,…所以,平面PAC⊥平面PCD.…
(2)证法一取AD中点M,连EM,CM,则EM∥PA.因为EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EM∥平面PAB.…在Rt△ACD中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM,又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM,则MC∥AB.因为MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以MC∥平面PAB.…而EM∩MC=M,所以平面EMC∥平面PAB.由于EC⊂平面EMC,从而EC∥平面PAB.…
(2)证法二延长DC,AB交于点N,连PN.因为∠NAC=∠DAC,AC⊥CD,所以C为ND的中点.而E为PD中点,所以EC∥PN.因为EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB,所以EC∥平面PAB.… 17.如图,在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A(点A,B在直径上,点C,D在半圆周上),并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗).
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?
(2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】
(1)设BC=x,求出AB,得出侧面积S关于x的函数,利用基本不等式得出S的最大值;
(2)用x表示出圆柱的底面半径,得出体积V(x)关于x的函数,判断V(x)的单调性,得出V(x)的最大值.【解答】解
(1)连接OC,设BC=x,则AB=2,(其中0<x<30),∴S=2x=2≤x2+=900,当且仅当x2=900﹣x2,即x=15时,S取最大值900;∴取BC=15cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900cm2.
(2)设圆柱底面半径为r,高为x,则AB=2=2πr,解得r=,∴V=πr2h=,(其中0<x<30);∴V′=,令V′(x)=0,得x=10;因此V(x)=在(0,10)上是增函数,在(10,30)上是减函数;∴当x=10时,V(x)取得最大值V
(10)=,∴取BC=10cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为cm3. 18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C是椭圆=1(a>b>0)上不同的三点,,B(﹣2,﹣2),C在第三象限,线段BC的中点在直线OA上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点,证明为定值并求出该定值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】
(1)将A,B坐标代入椭圆方程,求出a,b,即可求椭圆的标准方程;
(2)设点C(m,n)(m<0,n<0),则BC中点为(,),求得直线OA的方程,利用点C在椭圆上,即可求点C的坐标;
(3)求出M,N的纵坐标,利用点C在椭圆上,结合向量的数量积公式,即可求得结论.【解答】解
(1)由已知,将,B(﹣2,﹣2)代入椭圆方程,解得,∴椭圆的标准方程为;…
(2)解设点C(m,n)(m<0,n<0),则BC中点为(,).由已知,求得直线OA的方程x﹣2y=0,从而m=2n﹣2.
①又∵点C在椭圆上,∴m2+4n2=20.
②由
①②,解得n=2(舍),n=﹣1,从而m=﹣4.∴点C的坐标为(﹣4,﹣1).…
(3)证明设P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2).∵P,B,M三点共线,则=整理得y1=.…∵P,C,N三点共线,则=,整理得y2=.…∵点C在椭圆上,∴x02+4y02=20,x02=20﹣4y02,从而y1y2===2×=.…∴•=5y1y2=.∴•为定值,定值为.… 19.已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.【考点】数列与不等式的综合;数列的求和.【分析】(Ⅰ)先利用前n项积与前(n﹣1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值,结合首项的值,求出通项an,然后现利用条件求出通项bn;(Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和,得出本小题结论;(ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明.【解答】解(Ⅰ)∵a1a2a3…an=(n∈N*)
①,当n≥2,n∈N*时,
②,由
①②知,令n=3,则有.∵b3=6+b2,∴a3=8.∵{an}为等比数列,且a1=2,∴{an}的公比为q,则=4,由题意知an>0,∴q>0,∴q=2.∴(n∈N*).又由a1a2a3…an=(n∈N*)得,,∴bn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅱ)(i)∵cn===.∴Sn=c1+c2+c3+…+cn====;(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当n≥5时,,而=>0,得,所以,当n≥5时,cn<0,综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4. 20.已知函数f(x)=x2﹣2alnx(a∈R),g(x)=2ax.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若a>0,函数h(x)=f(x)﹣g(x)有且只有一个零点,求实数a的值;
(3)若0<a<1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.【分析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而判断函数的极值问题;
(2)求出h(x)的导数,求出h(x)的单调区间,求出极小值,得到函数m(x)=2lnx+x﹣1,根据函数的单调性求出a的值即可;
(3)问题转化为h(x)在[1,2]递增,求出函数的导数,分离参数得到a≤在[1,2]恒成立,令t=x+1∈[2,3],从而求出a的范围即可.【解答】解
(1)f′(x)=,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,f(x)无极值,当a>0时,x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)递减,x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,∴f(x)有极小值f()=a﹣alna,综上a≤0时,f(x)无极值,a>0时,f(x)极小值=a﹣alna,无极大值;
(2)令h(x)=x2﹣2alnx﹣2ax,则h′(x)=,∵a>0,令h′(x)=0,解得x0=,∴h(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增,∴h(x)在x0处取得极小值h(x0)=0,∴﹣2alnx0﹣2ax0=0且2﹣2ax0﹣2a=0,联立可得2lnx0+x0﹣1=0,令m(x)=2lnx+x﹣1得m′(x)=+1>0,故m(x)在(0,+∞)递增又m
(1)=0,x0=1,即=1,解得a=;
(3)不妨令1≤x1<x2≤2,则由
(1)得f(x1)<f(x2)∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)⇔f(x2)﹣f(x1)>g(x2)﹣g(x1)⇔f(x2)﹣g(x2)>f(x1)﹣g(x1),则h(x)在[1,2]递增,∴h′(x)=≥0在[1,2]恒成立,即2x2﹣2ax﹣2a≥0在[1,2]恒成立,∴a≤在[1,2]恒成立,令t=x+1∈[2,3],则=t+﹣2≥,∴0<a≤,∴a的范围是(0,]. xx年1月15日。