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2019-2020年高三上学期期中数学试卷(理科)含解析II
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)1.已知全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x2+3x<0},则(∁UA)∩B等于( )A.{x|﹣3<x<0}B.{x|﹣1≤x<0}C.{x|x<﹣1}D.{x|﹣1<x<0}2.已知函数f(x)=x2+bsinx,其中b为常数.那么“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知命题p∀x∈R,3x>2x;命题q∃x∈R,tanx=2,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)4.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为( )A.6B.7C.8D.95.函数的图象与函数g(x)=ln(x+2)的图象的交点个数是( )A.1B.2C.3D.46.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E为BC的中点,点F在DC边上,则的最大值为( )A.3B.4C.5D.与F点的位置有关7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只要将f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度8.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为( )A.n(n∈Z)B.2n(n∈Z)C.2n或(n∈Z)D.n或(n∈Z)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)9.已知角α的终边经过点(3a,4a)(a<0),则sinα= ,tan(π﹣2α)= .10.已知向量=(,1),=(0,﹣1),=(,k),若﹣2与垂直,则k= .11.曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为 .12.已知log2x+log2y=1,则x+y的最小值为 .13.已知函数,x∈[0,π].那么下列命题中所有真命题的序号是 .
①f(x)的最大值是
②f(x)的最小值是
③f(x)在上是减函数
④f(x)在上是减函数.14.我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N+)求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则a24+a25= ;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第 项.
三、解答题.(本大题共6小题,满分80分)15.已知函数(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)求时函数f(x)的最大值和最小值.16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=3,C=60°,(Ⅰ)求边长c和△ABC的面积;(Ⅱ)求sin2A的值.17.设函数(Ⅰ)若函数f(x)在x=3处取得极小值是,求a、b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)若函数f(x)在(﹣1,1)上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.18.已知函数f(x)=lnx,
(1)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点P(x0,g(x0))处的切线平行,求实数x0的值;
(2)若∀x∈(0,e],都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.19.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=0,bn﹣bn﹣1=log3an(n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(3)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn.20.设函数的图象在点(x,f(x))处的切线的斜率为k(x),且函数为偶函数.若函数k(x)满足下列条件
①k(﹣1)=0;
②对一切实数x,不等式恒成立.(Ⅰ)求函数k(x)的表达式;(Ⅱ)求证(n∈N*). xx北京市通州区潞河中学高三(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)1.已知全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x2+3x<0},则(∁UA)∩B等于( )A.{x|﹣3<x<0}B.{x|﹣1≤x<0}C.{x|x<﹣1}D.{x|﹣1<x<0}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】先化简集合A、B,求出∁UA,再计算∁UA)∩B.【解答】解∵全集U=R,集合A={x|x+1<0}={x|x<﹣1},∴∁UA={x|x≥﹣1},又B={x|x2+3x<0}={x|﹣3<x<0},(∁UA)∩B={x|﹣1≤x<0}.故选B. 2.已知函数f(x)=x2+bsinx,其中b为常数.那么“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由题意可知函数的对称轴=0可求b的值.【解答】解若f(x)=x2+bsinx为偶函数,则f(﹣x)=(﹣x)2+bsin(﹣x)=x2﹣bsinx=f(x)=x2+bsinx,∴b=0故选C. 3.已知命题p∀x∈R,3x>2x;命题q∃x∈R,tanx=2,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)【考点】复合命题的真假.【分析】先判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假即可.【解答】解命题p∀x∈R,3x>2x是假命题,如x=0时不成立;命题q∃x∈R,tanx=2,是真命题,故¬p∧q是真命题,故选C. 4.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为( )A.6B.7C.8D.9【考点】等差数列的性质.【分析】由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4
①,根据等差数列的前n项和公式可得,,联立可求d,a1,代入等差数列的通项公式可求【解答】解法一等差数列{an}中,a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4
①根据等差数列的前n项和公式可得,所以a1+a7=6
②②﹣
①可得d=2,a1=﹣3所以a7=9解法二S6=()×6=12a7=S7﹣S6=9故选D 5.函数的图象与函数g(x)=ln(x+2)的图象的交点个数是( )A.1B.2C.3D.4【考点】函数的图象.【分析】作函数与g(x)=ln(x+2)的图象,从而利用数形结合求解.【解答】解作函数与g(x)=ln(x+2)的图象如下,,故函数的图象有两个交点.故选B. 6.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E为BC的中点,点F在DC边上,则的最大值为( )A.3B.4C.5D.与F点的位置有关【考点】平面向量数量积的运算.【分析】如图所示,A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),E(1,1),F(x,2).(0≤x≤2).可得=(1,1),(x,2),再利用数量积运算性质、一次函数的单调性即可得出.【解答】解如图所示建立直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),E(1,1),F(x,2).(0≤x≤2).∴=(1,1),(x,2),∴=x+2≤3.∴的最大值为3.故选A. 7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只要将f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式,进一步利用平移变换求出结果.【解答】解根据函数的图象A=1又解得T=π则ω=2当x=,f()=sin(+φ)=0解得所以f(x)=sin(2x+)要得到g(x)=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可.故选A 8.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为( )A.n(n∈Z)B.2n(n∈Z)C.2n或(n∈Z)D.n或(n∈Z)【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的图象与图象变化;偶函数.【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或,又因为对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),所以要求的实数a的值为2n或2n﹣.【解答】解因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,设x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],于是f(x)=(﹣x)2=x2.设x∈[1,2],则(x﹣2)∈[﹣1,0].于是,f(x)=f(x﹣2)=(x﹣2)2.
①当a=0时,联立,解之得,即当a=0时,即直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点.
②当﹣2<a<0时,只有当直线y=x+a与函数f(x)=x2在区间[0,1)上相切,且与函数f(x)=(x﹣2)2在x∈[1,2)上仅有一个交点时才满足条件.由f′(x)=2x=1,解得x=,∴y==,故其切点为,∴;由(1≤x<2)解之得.综上
①②可知直线y=x+a与函数y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或.又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),实数a的值为2n或2n﹣,(n∈Z).故应选C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)9.已知角α的终边经过点(3a,4a)(a<0),则sinα= ,tan(π﹣2α)= .【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】先求r,再利用三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式,即可求得结论.【解答】解由题意,x=3a,y=4a,∴r=|5a|=﹣5a∴sinα==﹣,tanα==∴tan(π﹣2α)=﹣tan2α=﹣=﹣=故答案为,. 10.已知向量=(,1),=(0,﹣1),=(,k),若﹣2与垂直,则k= ﹣1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由已知向量的坐标求出的坐标,再由与垂直列式求得k值.【解答】解∵,,∴=(),又,且与垂直,∴,解得k=﹣1.故答案为﹣1. 11.曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为 .【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01(x﹣x2)dx而∫01(x﹣x2)dx=(﹣)|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为. 12.已知log2x+log2y=1,则x+y的最小值为 2 .【考点】基本不等式;对数的运算性质.【分析】由log2x+log2y=1,得出xy=2,且x>0,y>0;由基本不等式求出x+y的最小值.【解答】解∵log2x+log2y=1,∴log2(xy)=1,∴xy=2,其中x>0,y>0;∴x+y≥2=2,当且仅当x=y=时,“=”成立;∴x+y的最小值为.故答案为2. 13.已知函数,x∈[0,π].那么下列命题中所有真命题的序号是
①④ .
①f(x)的最大值是
②f(x)的最小值是
③f(x)在上是减函数
④f(x)在上是减函数.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】先求导,再研究出它的单调性确定出最值,再由这些性质对四个命题进行比较验证,选出正确命题【解答】解∵f(x)=sinx﹣x,x∈[0,π],∴f′(x)=cosx﹣,令f′(x)=0,解得x=,当f′(x)>0时,解得0≤x≤,函数单调递增,当f′(x)<0时,解得≤x≤π,函数单调递减,∴当x=时,函数取的最大值,即f(x)的最大值是∵f
(0)=sin0﹣0=0,f(π)=sinπ﹣π=﹣π,∴函数的最小值为f(π)=﹣π,故所有真命题的序号是
①④,故答案为;
①④. 14.我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N+)求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则a24+a25= 28 ;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第 640 项.【考点】数列递推式.【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数,而偶数项的值由对应的值来决定.又通过前面的项发现项的值为5时,下角码是首项为5,公比为2的等比数列.即可求出第8个5在该数列中所占的位置.【解答】解由题得这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3…∴a24+a25=3+25=28.又因为a5=5,a10=5,a20=5,a40=5…即项的值为5时,下角码是首项为5,公比为2的等比数列.所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项.故答案为28,640.
三、解答题.(本大题共6小题,满分80分)15.已知函数(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)求时函数f(x)的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】
(1)化简得f(x)=sin(2x﹣)+.令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,解出单调递减区间;
(2)根据x的范围求出2x﹣的范围,结合正弦函数的单调性求出最值.【解答】解
(1)f(x)=sinxcosx+•=sin2x﹣cos2x+=sin(2x﹣)+.∴f(x)的最小正周期是T=π.令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,解得+kπ≤x≤+kπ,∴f(x)的单调减区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)∵,∴2x﹣∈[0,],∴当2x﹣=0时,f(x)取得最小值,当2x﹣=时,f(x)取得最大值+1. 16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=3,C=60°,(Ⅰ)求边长c和△ABC的面积;(Ⅱ)求sin2A的值.【考点】余弦定理.【分析】
(1)利用余弦定理即可得出c,进而得出面积;
(2)利用正弦定理可得sinA.利用同角三角函数基本关系式即可得出cosA,再利用倍角公式即可得出.【解答】解
(1)由余弦定理,c2=a2+b2﹣2abcos60°=22+32﹣2×2×3×=7,解得c=,∴.
(2)由正弦定理,,则sinA===,∵a<b,∴A为锐角,则cosA==,sin2A=2sinAcosA=×=. 17.设函数(Ⅰ)若函数f(x)在x=3处取得极小值是,求a、b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)若函数f(x)在(﹣1,1)上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.【考点】函数在某点取得极值的条件;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)先求导函数,利用函数f(x)在x=3处取得极小值是,可得f′
(3)=0,,从而可求a、b的值;(II)先求导函数,f′(x)=x2﹣2(a+1)x+4a=(x﹣2a)(x﹣2),比较2a与2的大小,从而进行分类讨论,进而可确定函数的单调递增区间(Ⅲ)函数f(x)在(﹣1,1)上有且只有一个极值点,等价于f′(x)在(﹣1,1)上有且只有一个解;由(II)及零点存在定理可得,从而可确定a的取值范围.【解答】解(I)∵f′(x)=x2﹣2(a+1)x+4a∴f′
(3)=9﹣6(a+1)+4a=0得∵解得b=﹣4(II)∵f′(x)=x2﹣2(a+1)x+4a=(x﹣2a)(x﹣2)令f′(x)=0,即x=2a或x=2.当a>1时,2a>2,∴f′(x)>0时,x>2a或x<2,即f(x)的单调递增区间为(﹣∞,2)和(2a,+∞).当a=1时,f′(x)=(x﹣2)2≥0,即f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞).当a<1时,2a<2,∴f′(x)>0时,x<2a或x>2,即f(x)的单调递增区间为(﹣∞,2a)和(2,+∞).(Ⅲ)由题意可得∴(2a﹣1)(2a+1)<0∴∴a的取值范围 18.已知函数f(x)=lnx,
(1)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点P(x0,g(x0))处的切线平行,求实数x0的值;
(2)若∀x∈(0,e],都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】
(1)把a=1导入解析式,并求出f′(x)和g′(x),根据切线平行对应的斜率相等列出方程,求出x0的值;
(2)根据条件设F(x)=f(x),再把条件进行转化,求出对应的解析式和导数,求出临界点,并根据导数与函数单调性的关系列出表格,再对a进行分类讨论,分别判断出函数的单调性,再求出对应的最小值,列出不等式求出a的范围.【解答】解
(1)把a=1代入得,g(x)=﹣+,则f′(x)=,g′(x)=,∵f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线与g(x)在点P(x0,g(x0))处的切线平行,∴=,解得x0=1,∴x0=1,
(2)由题意设F(x)=f(x)﹣g(x)=lnx+﹣,∵∀x∈(0,e],都有f(x)≥g(x),∴只要F(x)在(0,e]上的最小值大于等于0即可,则F′(x)=﹣=,由F′(x)=0得,x=a,F(x)、F′(x)随x的变化情况如下表x(0,a)a(a,+∞)F′(x)﹣0+F(x)递减极大值递增当a≥e时,函数F′(x)在(0,e)上单调递减,F(e)为最小值,∴F(e)=1+﹣≥0,得a,∴a≥e当a<e时,函数F(x)在(0,a)上单调递减,在(a,e)上单调递增,则F(a)为最小值,所以F(a)=lna+﹣,得a≥∴≤a<e,综上所述,a≥. 19.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=0,bn﹣bn﹣1=log3an(n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(3)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】
(1)由数列的通项和前n项和的关系,结合等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)bn﹣bn﹣1=log33n﹣1=n﹣1(n≥2),由数列的恒等式bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…(bn﹣bn﹣1),由等差数列的求和公式,计算即可得到所求;
(3)nan=n•3n﹣1,运用数列的求和方法错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简即可得到所求和.【解答】解
(1)an+1=2Sn+1,可得a2=2a1+1=3,a3=2(a1+a2)+1=2×(1+3)+1=9,当n>1时,an=2Sn﹣1+1,相减可得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,即an+1=3an,因为=3,则an+1=3an,所以{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,则an=3n﹣1;
(2)数列{bn}满足b1=0,bn﹣bn﹣1=log3an(n≥2),即有bn﹣bn﹣1=log33n﹣1=n﹣1(n≥2),bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…(bn﹣bn﹣1)=0+1+2+…+(n﹣1)=;显然b1=0符合上式,所以bn=;
(3)nan=n•3n﹣1,前n项和Tn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1,3Tn=1•31+2•32+3•33+…+n•3n,两式相减可得,﹣2Tn=1+31+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n,化简可得,Tn=+. 20.设函数的图象在点(x,f(x))处的切线的斜率为k(x),且函数为偶函数.若函数k(x)满足下列条件
①k(﹣1)=0;
②对一切实数x,不等式恒成立.(Ⅰ)求函数k(x)的表达式;(Ⅱ)求证(n∈N*).【考点】综合法与分析法选修);函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(Ⅰ)由已知得k(x)=f(x),根据g(x)的奇偶性求出b,根据k(﹣1)=0,求出,再由对一切实数x恒成立,解得a、c的值,即得函数k(x)的表达式.(Ⅱ)根据,即证,把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立.【解答】解(Ⅰ)由已知得k(x)=f(x)=ax2+bx+c.…由为偶函数,得为偶函数,显然有.…又k(﹣1)=0,所以a﹣b+c=0,即.…又因为对一切实数x恒成立,即对一切实数x,不等式恒成立.…显然,当时,不符合题意.…当时,应满足,注意到,解得.…所以.…(Ⅱ)证明因为,所以.…要证不等式成立,即证.…因为,…所以=.所以成立.… xx年1月15日。