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2019-2020年高三上学期期中数学试卷(理科)含解析II
一、选择题1.已知集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<2,x∈Z},则( )A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={0}D.M∪N=N2.复数z满足z•i=3﹣i,则在复平面内,复数z对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=.且b<c,则b=( )A.3B.2C.2D.4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,下列四个命题中,正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α5.将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度,然后将所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应函数解析式为( )A.B.y=2cos2xC.y=2sin2xD.y=cosx6.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )A.8B.C.4D.7.如果关于x的方程正实数解有且仅有一个,那么实数a的取值范围为( )A.{a|a≤0}B.{a|a≤0或a=2}C.{a|a≥0}D.{a|a≥0或a=﹣2}8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f′(x)﹣g(x)(f′(x)为函数f(x)的导函数)在[a,b]上有且只有两个不同的零点,则称f(x)是g(x)在[a,b]上的“关联函数”.若f(x)=+4x是g(x)=2x+m在[0,3]上的“关联函数”,则实数m的取值范围是( )A.B.[﹣1,0]C.(﹣∞,﹣2]D.
二、填空题9.设复数z满足(1﹣i)z=2+2i,其中i是虚数单位,则|z|的值为 .10.若||=3,||=2,且与的夹角为60°,则|﹣|= 11.命题p“∀x∈R,x2﹣x+1>0”,则¬p为 .12.已知,则cos2x= .13.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述
①y=f(x)是周期函数
②x=π是它的一条对称轴;
③(﹣π,0)是它图象的一个对称中心;
④当时,它一定取最大值;其中描述正确的是 .14.若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离”;
(1)非负性f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号
①f(x,y)=|x﹣y|;
②f(x,y)=(x﹣y)2;
③.能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是 .
三、解答题15.已知函数.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)设α是锐角,且,求f(α)的值.16.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=﹣.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.17.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.18.已知函数f(x)=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,﹣2)处的切线方程为y=﹣3x+1.
(1)若函数f(x)在x=﹣2时有极值,求f(x)的表达式
(2)若函数f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,求实数b的取值范围.19.已知函数f(x)=cos,g(x)=ex•f(x),其中e为自然对数的底数.
(1)求曲线y=g(x)在点(0,g
(0))处的切线方程;
(2)若对任意时,方程g(x)=xf(x)的解的个数,并说明理由.20.已知集合A=a1,a2,a3,…,an,其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.(Ⅰ)设集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分别求l(P)和l(Q);(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n,求证;(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由? xx北京师大二附中高三(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题1.已知集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<2,x∈Z},则( )A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={0}D.M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】N={x|x2<2,x∈Z}={﹣1,0,1},从而解得.【解答】解N={x|x2<2,x∈Z}={﹣1,0,1},故M∩N={0},故选C. 2.复数z满足z•i=3﹣i,则在复平面内,复数z对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.【解答】解由z•i=3﹣i,得,∴复数z对应的点的坐标为(﹣1,﹣3),位于第三象限.故选C. 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=.且b<c,则b=( )A.3B.2C.2D.【考点】正弦定理.【分析】运用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,解关于b的方程,结合b<c,即可得到b=2.【解答】解a=2,c=2,cosA=.且b<c,由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccosA,即有4=b2+12﹣4×b,解得b=2或4,由b<c,可得b=2.故选C. 4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,下列四个命题中,正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.【分析】由题意知,用平行和垂直的定理进行判断,对简单的可在长方体中找反例.【解答】解A错,平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面;B错,必须平面内有两条相交直线分别与平面平行,此时两平面才平行;C错,两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直;D对,由α⊥β,在α内作交线的垂线c,则c⊥β,因m⊥β,m⊄α,所以m∥α.故选D. 5.将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度,然后将所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应函数解析式为( )A.B.y=2cos2xC.y=2sin2xD.y=cosx【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换步骤,进行解答即可.【解答】解函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得y=sin2(x+)=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx.故选D. 6.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )A.8B.C.4D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知,几何体是对角线长为2的正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥,侧棱长为2,利用体积公式可得结论.【解答】解由三视图可知,几何体是对角线长为2的正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥,侧棱长为2,则该几何体的体积是=故选D. 7.如果关于x的方程正实数解有且仅有一个,那么实数a的取值范围为( )A.{a|a≤0}B.{a|a≤0或a=2}C.{a|a≥0}D.{a|a≥0或a=﹣2}【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),故我们可将关于x的方程有且仅有一个正实数解,转化为方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解,求出函数的导函数后,分类讨论函数的单调性,即可得到答案.【解答】解由函数解析式可得x≠0,如果关于x的方程有且仅有一个正实数解,即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解,构造函数f(x)=ax3﹣3x2+1,则函数f(x)的图象与x正半轴有且仅有一个交点.又∵f(x)=3x(ax﹣2)
①当a=0时,代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求;
②当a>0时,则得f(x)在(﹣∞,0)和(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减,f
(0)=1,知若要满足条件只有x=时,f(x)取到极小值0,x=入原方程得到正数解a=2,满足要求;
③当a<0时,同理f(x)在(﹣∞,)和(0,+∞)上单调递减,在(,0)上单调递增f
(0)=1>0,所以函数f(x)的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点,满足题意综上a≤0或a=2.故答案为{a|a≤0或a=2} 8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f′(x)﹣g(x)(f′(x)为函数f(x)的导函数)在[a,b]上有且只有两个不同的零点,则称f(x)是g(x)在[a,b]上的“关联函数”.若f(x)=+4x是g(x)=2x+m在[0,3]上的“关联函数”,则实数m的取值范围是( )A.B.[﹣1,0]C.(﹣∞,﹣2]D.【考点】导数的运算.【分析】先对f(x)求导,由题意可得h(x)=f′(x)﹣g(x)=x2﹣5x+4﹣m在[0,3]上有两个不同的零点,故有,由此求得m的取值范围.【解答】解f′(x)=x2﹣3x+4,∵f(x)与g(x)在[0,3]上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f′(x)﹣g(x)=x2﹣5x+4﹣m在[0,3]上有两个不同的零点,故有,即,解得﹣<m≤﹣2,故选A.
二、填空题9.设复数z满足(1﹣i)z=2+2i,其中i是虚数单位,则|z|的值为 2 .【考点】复数求模.【分析】变形可得复数z=,化简可得z=2i,可得其模.【解答】解∵(1﹣i)z=2+2i,∴z====2i,∴|z|=2故答案为2 10.若||=3,||=2,且与的夹角为60°,则|﹣|= 【考点】向量加减法的应用.【分析】向量求模的运算,要求向量的模,一般用求模的公式,先求向量的平方运算,题目中给的条件能让我们先求数量积,进而求向量的模.【解答】解∵||=3,||=2,且与的夹角为60,∴||====,故答案为. 11.命题p“∀x∈R,x2﹣x+1>0”,则¬p为 ∃x∈R,x2﹣x+1≤0 .【考点】命题的否定.【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【解答】解因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p“∀x∈R,x2﹣x+1>0”,则¬p为∃x∈R,x2﹣x+1≤0.故答案为∃x∈R,x2﹣x+1≤0. 12.已知,则cos2x= .【考点】二倍角的余弦.【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知可得cosx﹣sinx=﹣,利用二倍角公式两边平方可求sin2x,进而结合2x的范围,利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.【解答】解∵sin(﹣x)=(cosx﹣sinx)=﹣,解得cosx﹣sinx=﹣,∴两边平方可得1﹣sin2x=,可得sin2x=,∵x∈(,),2x∈(,π),∴cos2x=﹣=.故答案为. 13.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述
①y=f(x)是周期函数
②x=π是它的一条对称轴;
③(﹣π,0)是它图象的一个对称中心;
④当时,它一定取最大值;其中描述正确的是
①③ .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可.【解答】解∵为偶函数∴f(﹣x+)=f(x+),对称轴为而y=f(x)是定义在R上的奇函数∴f(﹣x+)=﹣f(x﹣)=f(x+)即f(x+)=﹣f(x﹣),f(x+π)=﹣f(x),f(x+2π)=f(x)∴y=f(x)是周期函数,故
①正确x=(k∈Z)是它的对称轴,故
②不正确(﹣π,0)是它图象的一个对称中心,故
③正确当时,它取最大值或最小值,故
④不正确故答案为
①③ 14.若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离”;
(1)非负性f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号
①f(x,y)=|x﹣y|;
②f(x,y)=(x﹣y)2;
③.能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是
① .【考点】函数的概念及其构成要素.【分析】利用函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质.【解答】解对于
①,f(x,y)=|x﹣y|≥0满足
(1),f(x,y)=|x﹣y|=f(y,x)=|y﹣x|满足
(2);f(x,y)=|x﹣y|=|(x﹣z)+(z﹣y)|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f(x,z)+f(z,y)满足
(3)故
①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于
②不满足
(3)对于
③不满足
(2)故答案为
①
三、解答题15.已知函数.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)设α是锐角,且,求f(α)的值.【考点】正弦函数的单调性;两角和与差的正弦函数.【分析】(Ⅰ)=cos2x,由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈z,求得f(x)的单调递减区间.(Ⅱ)由α是锐角,且,得=,α=,故f(α)=cos2x=cos.【解答】解(Ⅰ)=cos2x﹣sin2x=cos2x.由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈z,可得kπ≤x≤kπ+,故求f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+],k∈z.(Ⅱ)∵α是锐角,且,∴=,α=.∴f(α)=cos2x=cos==﹣. 16.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=﹣.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【考点】解三角形.【分析】
(1)根据正弦定理表示出a,b及c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后,根据sinA不为0,得到cosB的值,由B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数;
(2)由
(1)中得到角B的度数求出sinB和cosB的值,根据余弦定理表示出b2,利用完全平方公式变形后,将b,a+c及cosB的值代入求出ac的值,然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积,把ac与sinB的值代入即可求出值.【解答】解
(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,将上式代入已知,即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,即2sinAcosB+sin(B+C)=0,∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,∴2sinAcosB+sinA=0,即sinA(2cosB+1)=0,∵sinA≠0,∴,∵B为三角形的内角,∴;(II)将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得b2=(a+c)2﹣2ac﹣2accosB,即,∴ac=3,∴. 17.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E﹣ACD的体积.【解答】(Ⅰ)证明连接BD交AC于O点,连接EO,∵O为BD中点,E为PD中点,∴EO∥PB,EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC;(Ⅱ)解延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,∵四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,∴CD⊥平面AMD,∵二面角D﹣AE﹣C为60°,∴∠CMD=60°,∵AP=1,AD=,∠ADP=30°,∴PD=2,E为PD的中点.AE=1,∴DM=,CD==.三棱锥E﹣ACD的体积为==. 18.已知函数f(x)=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,﹣2)处的切线方程为y=﹣3x+1.
(1)若函数f(x)在x=﹣2时有极值,求f(x)的表达式
(2)若函数f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,求实数b的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【分析】
(1)对函数f(x)求导,由题意点P(1,﹣2)处的切线方程为y=﹣3x+1,可得f′
(1)=﹣3,再根据f
(1)=﹣1,又由f′(﹣2)=0联立方程求出a,b,c,从而求出f(x)的表达式.
(2)由题意函数f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,对其求导可得f′(x)在区间[﹣2,0]大于或等于0,从而求出b的范围.【解答】解f′(x)=﹣3x2+2ax+b,因为函数f(x)在x=1处的切线斜率为﹣3,所以f′
(1)=﹣3+2a+b=﹣3,即2a+b=0,又f
(1)=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1.
(1)函数f(x)在x=﹣2时有极值,所以f(﹣2)=﹣12﹣4a+b=0,解得a=﹣2,b=4,c=﹣3,所以f(x)=﹣x3﹣2x2+4x﹣3.
(2)因为函数f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,所以导函数f′(x)=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2,0]上的值恒大于或等于零,则得b≥4,所以实数b的取值范围为[4,+∞) 19.已知函数f(x)=cos,g(x)=ex•f(x),其中e为自然对数的底数.
(1)求曲线y=g(x)在点(0,g
(0))处的切线方程;
(2)若对任意时,方程g(x)=xf(x)的解的个数,并说明理由.【考点】余弦函数的图象.【分析】
(1)利用导数的几何意义即可求出曲线y=g(x)在点(0,g
(0))处的切线方程;
(2)构造函数H(x)=g(x)﹣xf(x),;利用导数判断函数的单调性,根据根的存在性定理即可判断函数H(x)在上零点的个数.【解答】解
(1)由题意得,f(x)=sinx,g(x)=exsinx,∴g
(0)=e0sin0=0;g(x)=ex(cosx+sinx),∴g
(0)=1;故曲线y=g(x)在点(0,g
(0))处的切线方程为y=x;
(2)设H(x)=g(x)﹣xf(x),;则当时,H(x)=ex(cosx+sinx)﹣sinx﹣xcosx=(ex﹣x)cosx﹣(ex﹣1)sinx,当,显然有;当时,由,即有,即有H(x)<0,所以当时,总有H(x)<0,故H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多有一个零点;又,;且H(x)在上是连续不断的,故函数H(x)在上有且只有一个零点. 20.已知集合A=a1,a2,a3,…,an,其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.(Ⅰ)设集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分别求l(P)和l(Q);(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n,求证;(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由?【考点】数列的应用;计数原理的应用.【分析】(Ⅰ)直接利用定义把集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16中的值代入即可求出l(P)和l(Q);(Ⅱ)先由ai+aj(1≤i<j≤n)最多有个值,可得;再利用定义推得所有ai+aj(1≤i<j≤n)的值两两不同,即可证明结论.(Ⅲ)l(A)存在最小值,设a1<a2<<an,所以a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<…<an﹣1+an.由此即可证明l(A)的最小值2n﹣3.【解答】解(Ⅰ)根据题中的定义可知由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得l(P)=5.由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,得l(Q)=6.(Ⅱ)证明因为ai+aj(1≤i<j≤n)最多有个值,所以.又集合A=2,4,8,,2n,任取ai+aj,ak+al(1≤i<j≤n,1≤k<l≤n),当j≠l时,不妨设j<l,则ai+aj<2aj=2j+1≤al<ak+al,即ai+aj≠ak+al.当j=l,i≠k时,ai+aj≠ak+al.因此,当且仅当i=k,j=l时,ai+aj=ak+al.即所有ai+aj(1≤i<j≤n)的值两两不同,所以.(Ⅲ)l(A)存在最小值,且最小值为2n﹣3.不妨设a1<a2<a3<…<an,可得a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<…<an﹣1+an,所以ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n﹣3个不同的数,即l(A)≥2n﹣3.事实上,设a1,a2,a3,,an成等差数列,考虑ai+aj(1≤i<j≤n),根据等差数列的性质,当i+j≤n时,ai+aj=a1+ai+j﹣1;当i+j>n时,ai+aj=ai+j﹣n+an;因此每个和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于al+an(2≤l≤n﹣1)中的一个.所以对这样的A,l(A)=2n﹣3,所以l(A)的最小值为2n﹣3. xx年12月18日。