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课时作业50 直线与圆锥曲线1.设F1,F2分别是椭圆E x2+=10b1的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.1求|AB|;2若直线l的斜率为1,求b的值.解析1由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.2设直线l的方程为y=x+c,其中c=.Ax1,y1,Bx2,y2,则A,B两点坐标满足方程组化简得1+b2x2+2cx+1-2b2=
0.则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.则=x1+x22-4x1x2=-=,因为0b
1.所以b=.2.已知椭圆C+=1a>b>0的一个顶点为A20,离心率为.直线y=kx-1与椭圆C交于不同的两点M,N.1求椭圆C的方程;2当△AMN的面积为时,求k的值.解析1由题意得解得b=,所以椭圆C的方程为+=
1.2由得1+2k2x2-4k2x+2k2-4=
0.设点M,N的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则y1=kx1-1,y2=kx2-1,x1+x2=,x1x2=,所以|MN|===.又因为点A20到直线y=kx-1的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=,由=,解得k=±
1.3.过椭圆+=1内一点P31,求被这点平分的弦所在直线方程.解析设直线与椭圆交于Ax1,y
1、Bx2,y2两点,由于A、B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,两式相减得+=
0.又∵P是A、B的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2,∴kAB==-.∴直线AB的方程为y-1=-x-3.即3x+4y-13=
0.4.2018·郑州市第二次质量检测已知曲线C的方程是mx2+ny2=1m>0,n>0,且曲线过A,B两点,O为坐标原点.1求曲线C的方程;2设Mx1,y1,Nx2,y2是曲线C上两点,向量p=x1,y1,q=x2,y2,且p·q=0,若直线MN过点,求直线MN的斜率.解析1由题可得,解得m=4,n=
1.∴曲线C的方程为y2+4x2=
1.2设直线MN的方程为y=kx+,代入椭圆方程y2+4x2=1得k2+4x2+kx-=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴p·q=2x1,y1·2x2,y2=4x1x2+y1y2=0,∴+++=0,即k2-2=0,k=±.5.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.1求双曲线C2的方程;2若直线l y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·2,求k的取值范围.解析1设双曲线C2的方程为-=1a0,b0,则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为-y2=
1.2将y=kx+代入-y2=1,得1-3k2x2-6kx-9=
0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得∴k21且k2≠.
①设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=,x1x2=.∴x1x2+y1y2=x1x2+kx1+kx2+=k2+1x1x2+kx1+x2+2=.又∵·2,即x1x2+y1y22,∴2,即0,解得k
23.
②由
①②得k21,故k的取值范围为∪.[能力挑战]6.2018·宜春中学与新余一中联考设椭圆M+=1ab0的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为
4.1求椭圆M的方程;2若直线y=x+m交椭圆M于A,B两点,P1为椭圆M上一点,求△PAB面积的最大值.解析1由题可知,双曲线的离心率为,则椭圆的离心率e==,由2a=4,=,b2=a2-c2,得a=2,c=,b=,故椭圆M的方程为+=
1.2联立方程,得4x2+2mx+m2-4=0,由Δ=2m2-16m2-40,得-2m
2.且所以|AB|=|x1-x2|=·=·=·.又P到直线AB的距离为d=,所以S△PAB=|AB|·d=··==≤·=.当且仅当m=±2∈-2,2时取等号,所以S△PABmax=.。