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2019-2020年高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)II
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M={x|x2﹣2x<0},N={x|x<a},若M⊆N,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,0)D.(﹣∞,0]2.(5分)给出下面四个命题p1∃x∈(0,+∞),;p2∃x∈(0,1),,p3∀x∈(0,+∞),;p4∀x∈(0,),x,其中的真命题是()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p43.(5分)在如图所示的程序框图中输入10,结果会输出()A.10B.11C.512D.10244.(5分)将函数f(x)=sinx+cosx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为()A.﹣B.C.D.5.(5分)若实数x、y满足条件,则z=x+3y的最大值为()A.9B.11C.12D.166.(5分)不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下a、b、c成等比数列,a、m、b和b、n、c都成等差数列,则+=()A.﹣2B.0C.2D.不能确定7.(5分)已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限,且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动,则的最大值是()A.1B.C.2D.8.(5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()A.B.C.D.29.(5分)若曲线C1x2+y2﹣2x=0与曲线C2y(y﹣mx﹣m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.(﹣,)B.(﹣,0)∪(0,)C.[﹣,]D.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)10.(5分)已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且a3≠0,则A中所有元素之和等于()A.3240B.3120C.2997D.2889
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.(5分)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=.12.(5分)如图,椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.13.(5分)若f(x)+f(x)dx=x,则f(x)=.14.(5分)在函数f(x)=alnx+(x+1)2(x>0)的图象上任取两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2),总能使得f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2),则实数a的取值范围为.15.(5分)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,…,若按此规律继续下去,则a5=,若an=145,则n=.
三、解答题本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)设函数.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当时,y=g(x)的最大值.17.(12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、,且通过各次测试的事件相互独立.
(1)若甲选手先测试A项目,再测试B项目,后测试C项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由;
(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列和期望(用p
1、p、p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.18.(12分)如图,△ABC的外接圆⊙O的半径为5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,cos∠ADB=.
(1)求证平面AEC⊥平面BCED;
(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.19.(13分)等比数列an中的前三项a1,a2,a3分别是下面数阵中第
一、
二、三行中的某三个数,且三个数不在同一列.
(1)求此数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=3an﹣(﹣1)nlgan,求数列{bn}的前n项和Sn.20.(13分)已知圆C(x﹣1)2+(y﹣1)2=2经过椭圆Γ+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q,与圆C的交点为P,M为OP的中点,求•的最大值.21.(13分)已知函数f(x)=ex﹣ax﹣2x﹣1(x∈R).
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
(2)求证对任意实数a<0,有f(x)>.湖南师大附中xx届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M={x|x2﹣2x<0},N={x|x<a},若M⊆N,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,0)D.(﹣∞,0]考点交集及其运算.专题集合.分析求出M中不等式的解集确定出M,根据N以及M为N的子集,确定出a的范围即可.解答解由M中不等式变形得x(x﹣2)<0,解得0<x<2,即M=(0,2),∵N={x|x<a},且M⊆N,∴a≥2,则a的范围为[2,+∞).故选A.点评此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)给出下面四个命题p1∃x∈(0,+∞),;p2∃x∈(0,1),,p3∀x∈(0,+∞),;p4∀x∈(0,),x,其中的真命题是()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4考点命题的真假判断与应用.专题探究型;数形结合.分析分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题.p1可利用两个指数函数的图象进行判断.p2可以利用对数的图象来判断.p3可以利用对数和指数函数的图象来判断.p4利用指数函数和对数函数的图象来判断.解答解对应命题p1可,分别作出函数的图象如图由图象可知∀x∈(0,+∞),,所以命题p1错误.p2作出对数函数的图象,由图象知∃x∈(0,1),使命题p2正确.p3作出函数的图象,由图象知命题p3不正确.P4当x∈(0,)时,,所以恒有成立,所以命题P4正确.故选D.点评本题考查了全称命题和特称命题的真假判断,解决本题可以考虑使用数形结合的思想.3.(5分)在如图所示的程序框图中输入10,结果会输出()A.10B.11C.512D.1024考点程序框图.专题算法和程序框图.分析根据框图写出每次循环s,k的取值,即可确定输出s的值.解答解运行程序,有s=1;k=1第1次循环s=2,k=2第2次循环s=4,k=3第3次循环s=8,k=4第4次循环s=16,k=5第5次循环s=32,k=6第6次循环s=64,k=7第7次循环s=128,k=8第8次循环s=256,k=9第9次循环s=512,k=10第10次循环s=1024,k=11输出s的值为1024.故答案为D.点评本题主要考察框图和程序算法,属于基础题.4.(5分)将函数f(x)=sinx+cosx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为()A.﹣B.C.D.考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题三角函数的图像与性质.分析由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得结论.解答解由题意可得,将函数f(x)=sinx+cosx=sin(x+)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得函数为y=sin(x++φ)为奇函数,则φ的最小值为,故选C.点评本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,正弦函数的奇偶性,属于基础题.5.(5分)若实数x、y满足条件,则z=x+3y的最大值为()A.9B.11C.12D.16考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,利用利用数形结合即可得到结论.解答解作出不等式组对应的平面区域如图由z=x+3y,得,平移直线,由图象可知当,经过点C时,直线截距最大,此时z最大.由得,即C(2,3),此时z=x+3y=2+3×3=11,故选B.点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.6.(5分)不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下a、b、c成等比数列,a、m、b和b、n、c都成等差数列,则+=()A.﹣2B.0C.2D.不能确定考点等比数列的通项公式;等差数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析由已知得2m=a+b,2n=b+c,b2=ac,从而+====2.解答解由已知得2m=a+b,2n=b+c,b2=ac,∴+==[]===2.故选C.点评本题考查代数和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.7.(5分)已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限,且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动,则的最大值是()A.1B.C.2D.考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析令∠OAD=θ,由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上,可得出B,C的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可.解答解如图令∠OAD=θ,由于AD=1,故0A=cosθ,OD=sinθ,如图∠BAx=﹣θ,AB=1,故xB=cosθ+cos(﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin(﹣θ)=cosθ.故=(cosθ+sinθ,cosθ)同理可求得C(sinθ,cosθ+sinθ),即=(sinθ,cosθ+sinθ),∴•=(cosθ+sinθ,cosθ)•(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,•的最大值是2,故选C.点评本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标,属于中档题.8.(5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()A.B.C.D.2考点由三视图求面积、体积.专题计算题;作图题;空间位置关系与距离.分析由三视图想象出空间几何体,代入数据求值.解答解如图所示,四面体为正四面体.是由边长为1的正方体的面对角线围成.其边长为,则其表面积为4×(××)=2.故选D.点评本题考查了学生的空间想象力,属于中档题.9.(5分)若曲线C1x2+y2﹣2x=0与曲线C2y(y﹣mx﹣m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.(﹣,)B.(﹣,0)∪(0,)C.[﹣,]D.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)考点圆的一般方程;圆方程的综合应用.专题压轴题;数形结合.分析由题意可知曲线C1x2+y2﹣2x=0表示一个圆,曲线C2y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径,由图象可知此圆与y=0有两交点,由两曲线要有4个交点可知,圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点,根据直线y﹣mx﹣m=0过定点,先求出直线与圆相切时m的值,然后根据图象即可写出满足题意的m的范围.解答解由题意可知曲线C1x2+y2﹣2x=0表示一个圆,化为标准方程得(x﹣1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),半径r=1;C2y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,由直线y﹣mx﹣m=0可知此直线过定点(﹣1,0),在平面直角坐标系中画出图象如图所示直线y=0和圆交于点(0,0)和(2,0),因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件.当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时,圆心到直线的距离d==r=1,化简得m2=,解得m=±,而m=0时,直线方程为y=0,即为x轴,不合题意,则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时,m∈(﹣,0)∪(0,).故选B.点评此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,考查了数形结合的数学思想,是一道中档题.本题的突破点是理解曲线C2y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线.10.(5分)已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且a3≠0,则A中所有元素之和等于()A.3240B.3120C.2997D.2889考点计数原理的应用;数列的求和.专题综合题;排列组合.分析由题意可知a0,a1,a2各有3种取法(均可取0,1,2),a3有2种取法,利用数列求和即可求得A中所有元素之和.解答解由题意可知,a0,a1,a2各有3种取法(均可取0,1,2),a3有2种取法(可取1,2),由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法,∴当a0取0,1,2时,a1,a2各有3种取法,a3有2种取法,共有3×3×2=18种方法,即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18;同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18;集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18;集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1+33×2)×27;由分类计数原理得集合A中所有元素之和S=(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27=18(3+9+27)+81×27=702+2187=2889.故选D.点评本题考查数列的求和,考查分类计数原理与分步计数原理的应用,考查分类讨论与转化思想的综合应用,属于难题.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.(5分)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=.考点正弦定理.专题计算题.分析由正弦定理可求得sinB=,再由b<a,可得B为锐角,cosB=,运算求得结果.解答解由正弦定理可得=,∴sinB=,再由b<a,可得B为锐角,∴cosB==,故答案为.点评本题考查正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出sinB=,以及B为锐角,是解题的关键.12.(5分)如图,椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.考点椭圆的应用;循环结构;二面角的平面角及求法.专题综合题;压轴题.分析确定椭圆中的几何量,确定二面角的平面角,利用点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,可求得cos∠A2OF1=,即可求得结论.解答解由题意,椭圆中a=4,c=,∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△A2OF1中,cos∠A2OF1=∴∠A2OF1=即二面角的大小为故答案为点评本题考查椭圆与立体几何的综合,考查面面角,解题的关键是确定二面角的平面角.13.(5分)若f(x)+f(x)dx=x,则f(x)=x﹣.考点定积分.专题导数的概念及应用.分析利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论.解答解因为f(x)dx是个常数,不妨设为m,所以f(x)=x﹣m,其原函数F(x)=x2﹣mx+C(C为常数),所以可得方程m=﹣m,解得m=.故f(x)=x﹣.故答案为x﹣点评本题主要考查函数解析式的求解,利用待定系数法是解决本题的关键.14.(5分)在函数f(x)=alnx+(x+1)2(x>0)的图象上任取两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2),总能使得f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2),则实数a的取值范围为a≥.考点导数的几何意义.专题函数的性质及应用;导数的概念及应用.分析不妨设x1>x2,则x1﹣x2>0,由f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2),可得≥4,即函数f(x)=alnx+(x+1)2(x>0)的图象上任取两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)连续的斜率不小于4,即导数值不小于4,由此构造关于a的不等式,可得实数a的取值范围.解答解不妨设x1>x2,则x1﹣x2>0,∵f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2),∴≥4,∵f(x)=alnx+(x+1)2,(x>0)∴f′(x)=+2(x+1)∴+2(x+1)≥4,∴a≥﹣2x2+2x∵﹣2x2+2x=﹣2(x﹣)2+≤∴a≥,故答案为a≥点评本题考查的知识点导数的几何意义,斜率公式,其中分析出f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2)的几何意义,是解答的关键.15.(5分)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,…,若按此规律继续下去,则a5=35,若an=145,则n=10.考点归纳推理.专题图表型;点列、递归数列与数学归纳法.分析仔细观察法各个图形中实心点的个数,找到个数之间的通项公式,再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时,n的值即可.解答解第一个有1个实心点,第二个有1+1×3+1=5个实心点,第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点,第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点,…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3(n﹣1)+1=+n个实心点,故当n=5时,+n=+5=35个实心点.若an=145,即+n=145,解得n=10故答案为35,10.点评本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式.
三、解答题本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)设函数.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当时,y=g(x)的最大值.考点两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.专题三角函数的图像与性质.分析
(1)f(x)解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出f(x)的最小正周期;
(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),根据f(x)与g(x)关于直线x=1对称,表示出此点的对称点,根据题意得到对称点在f(x)上,代入列出关系式,整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g(x)的最大值.解答解
(1)f(x)=sinxcos﹣cosxsin=sinx﹣cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣),∵ω=,∴f(x)的最小正周期为T==8;
(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点(2﹣x,g(x)),由题设条件,点(2﹣x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而g(x)=f(2﹣x)=sin[(2﹣x)﹣]=sin[﹣x﹣]=cos(x+),当0≤x≤时,≤x+≤,则y=g(x)在区间[0,]上的最大值为gmax=cos=.点评此题考查了两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键.17.(12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、,且通过各次测试的事件相互独立.
(1)若甲选手先测试A项目,再测试B项目,后测试C项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由;
(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列和期望(用p
1、p、p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.考点离散型随机变量的期望与方差.专题概率与统计.分析
(1)先求出甲选手不能通过海选的概率,再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率.
(2)依题意,ξ的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和期望.解答解
(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为(1﹣)(1﹣)(1﹣)=,故甲选手能通过海选的概率为1﹣(1﹣)(1﹣)(1﹣)=.若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为(1﹣)(1﹣)(1﹣)=,故无论按什么顺序,其能通过海选的概率都是.
(2)依题意,ξ的可能取值为1,2,3,P(ξ=1)=p1,P(ξ=2)=(1﹣p1)p2,P(ξ=3)=(1﹣p1)(1﹣p2)×1,∴ξ的分布列为ξ123Pp1(1﹣p1)p2(1﹣p1)(1﹣p2)Eξ=p1+2(1﹣p1)p2+3(1﹣p1)(1﹣p2)p3,分别计算当甲选手按C→B→A,C→A→B,B→A→C,B→C→A,A→B→C,A→C→B的顺序参加测试时,Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时,Eξ最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛,故该选手将自己的优势项目放在前面,即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛.点评本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.18.(12分)如图,△ABC的外接圆⊙O的半径为5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,cos∠ADB=.
(1)求证平面AEC⊥平面BCED;
(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.考点平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.专题空间位置关系与距离;空间角.分析
(1)由已知得BD⊥AB,AD=,AB=10=直径,由此能证明平面AEC⊥平面BCED.
(2)以C为原点,直线CA为x轴,CB为y轴,CE这z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段DE上存在点M,且时,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为.解答
(1)证明∵BD⊥平面ABC,∴BD⊥AB,又∵BD=1,cos,∴AD=,AB=10=直径,∴AC⊥BC,又EC⊥平面ACE,BC⊂平面BCED,∴平面AEC⊥平面BCED.
(2)解存在.如图,以C为原点,直线CA为x轴,CB为y轴,CE这z轴,建立空间直角坐标系,则A(8,0,0),B(0,6,0),D(0,6,1),E(0,0,4),=(﹣8,6,1),=(0,﹣6,3),设=λ=(0,﹣6λ,3λ),0<λ<1,故=+=(﹣8,6﹣6λ,1+3λ),由
(1)得平面ACE的法向量为=(0,6,0),设直线AM与平面CE所成角为θ,则sinθ===,解得.∴线段DE上存在点M,且时,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为.点评本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.19.(13分)等比数列an中的前三项a1,a2,a3分别是下面数阵中第
一、
二、三行中的某三个数,且三个数不在同一列.
(1)求此数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=3an﹣(﹣1)nlgan,求数列{bn}的前n项和Sn.考点数列的求和.专题等差数列与等比数列.分析
(1)由已知得a1=3,a2=6,a3=12,公比q=2,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)由,得bn=3an﹣(﹣1)nlgan=9×2n﹣1﹣(﹣1)n[lg3+(n﹣1)lg2],由此能求出数列{bn}的前n项和Sn.解答解
(1)经检验,当a1=5或a1=4时,不可能得到符合题意的等比数列,∴a1=3,a2=6,a3=12,公比q=2,∴.
(2)由,得bn=3an﹣(﹣1)nlgan=9×2n﹣1﹣(﹣1)n[lg3+(n﹣1)lg2],∴Sn=9(1+2+…+2n﹣1)﹣[(﹣1)+(﹣1)2+…+(﹣1)n](lg3﹣lg2),n为偶数时,Sn=9×+(lg3﹣lg2)﹣()lg2=9(2n﹣1)+.n为奇数时,=9(2n﹣1)+.∴Sn=.点评本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,是中档题,解题时要注意分类讨论思想的合理运用.20.(13分)已知圆C(x﹣1)2+(y﹣1)2=2经过椭圆Γ+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q,与圆C的交点为P,M为OP的中点,求•的最大值.考点直线与圆锥曲线的综合问题.专题圆锥曲线中的最值与范围问题.分析(Ⅰ)在圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=2中,令y=0,得F(2,0),令x=0,得B(0,2),由此能求出椭圆方程.(Ⅱ)设点Q(x0,y0),x0>0,y0>0,则==x0+y0,又,设b=x0+y0,与联立,得,由此能求出的最大值.解答解(Ⅰ)在圆C(x﹣1)2+(y﹣1)2=2中,令y=0,得F(2,0),即c=2,令x=0,得B(0,2),即b=2,∴a2=b2+c2=8,∴椭圆Γ的方程为.(Ⅱ)设点Q(x0,y0),x0>0,y0>0,则==(1,1)•(x0,y0)=x0+y0,又,设b=x0+y0,与联立,得,令△≥0,得16b2﹣12(12b2﹣8)≥0,解得﹣2.又点Q(x0,y0)在第一象限,∴当时,取最大值2.点评本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想.21.(13分)已知函数f(x)=ex﹣ax﹣2x﹣1(x∈R).
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
(2)求证对任意实数a<0,有f(x)>.考点利用导数研究函数的单调性.专题证明题;导数的综合应用.分析
(1)求出函数f(x)的导函数f′(x),解出f′(x)>0和f′(x)<0,从而求出函数f(x)的单调区间;
(2)构造新的函数,判断函数的单调性求出函数的最值,从而证明不等式.解答解
(1)当a=0时,f(x)=ex﹣2x﹣1(x∈R),∵f′(x)=ex﹣2,且f′(x)的零点为x=ln2,∴当x∈(﹣∞,ln2)时,f′(x)<0;当x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>0即(﹣∞,ln2)是f(x)的单调减区间,(ln2,+∞)是f(x)的单调增区间.
(2)由f(x)=ex﹣ax2﹣2x﹣1(x∈R)得,f′(x)=ex﹣2ax﹣2,记g(x)=ex﹣2ax﹣2(x∈R),∵a<0,∴g′(x)=ex﹣2a>0,即f′(x)=g(x)是R上的单调递增函数,又f′
(0)=﹣1<0,f′
(1)=e﹣2a﹣2>0,故R上存在唯一的x0∈(0,1),使得f′(x0)=0,且当x<x0时,f′(x)<0;当x>x0时,f′(x)>0,即f(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,则f(x)min=f(x0)=ex0﹣ax0﹣1,再由f′(x0)=0得ex0=2ax0+2,将其代入前式可得,f(x)min=,又令h(x0)==﹣a,由于﹣a>0,对称轴,而x0∈(0,1),∴h(x0)>h
(1)=a﹣1,又>0,∴h(x0)>,故对任意实数a<0,都在f(x)>.点评本题是一道导数的综合题,考查了,利用导数求函数的单调区间,等价转化思想,不等式的证明.难度中等.。