还剩9页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2019-2020年高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)I
一、选择题(本大题满分60分,每小题5分)1.使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分而不必要条件是A.x<0B.x≥0C.x∈{﹣1,3,5}D.x≤﹣或x≥3考点必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.专题计算题;综合题.分析首先解不等式的解即2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分必要条件,而所有不包含于这个解集的集合都是不充分条件,可按照排除法即可得到答案.解答解因为容易解得2x2﹣5x﹣3≥0成立的充要条件是x≤﹣或x≥3所以对于A当x=﹣时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0.非充分.对于B当x=2时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0.非充分.对于D当x=2时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0.非充分.故答案应选C.点评此题主要考查必要,充分条件的判定问题.其中涉及到不等式的解的求法,属于综合性问题,对概念的理解要求高.2.已知c>0,设p函数y=cx在R上单调递减;q函数g(x)=lg(2cx2+2x+1)的值域为R,如果“p且q”为假命题,“p或q为真命题,则c的取值范围是A.B.C.D.(﹣∞,+∞)考点复合命题的真假;指数函数的单调性与特殊点;对数函数的值域与最值.专题计算题;压轴题.分析如果P∧Q为假命题,P∨Q为真命题,则“p”、“q”中一个为真命题、一个为假命题.然后再分类讨论即可求解.解答解∵如果P∧Q为假命题,P∨Q为真命题,∴p、q中一个为真命题、一个为假命题
①若p为真命题,q为假命题则0<c<1且c>,即<c<1
②若p为假命题,q为真命题则c>1且c≤,这样的c不存在综上,<c<1故选A.点评由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断,反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假.假若p且q真,则p真,q也真;若p或q真,则p,q至少有一个真;若p且q假,则p,q至少有一个假.可把“p或q”为真命题转化为并集的运算;把“p且q”为真命题转化为交集的运算.3.设sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=﹣2,则a9=A.﹣6B.﹣4C.﹣2D.2考点等差数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析由题意可得,解此方程组,求得首项和公差d的值,即可求得a9的值.解答解∵sn为等差数列{an}的前n项和,s8=4a3,a7=﹣2,即.解得a1=10,且d=﹣2,∴a9=a1+8d=﹣6,故选A.点评本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用,属于基础题.4.下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题p1数列{an}是递增数列;p2数列{nan}是递增数列;p3数列是递增数列;p4数列{an+3nd}是递增数列;其中真命题是A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4考点等差数列的性质;命题的真假判断与应用.专题等差数列与等比数列.分析对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.解答解∵对于公差d>0的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题p1数列{an}是递增数列成立,是真命题.对于数列数列{nan},第n+1项与第n项的差等于(n+1)an+1﹣nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,故p2不正确,是假命题.对于数列,第n+1项与第n项的差等于﹣==,不一定是正实数,故p3不正确,是假命题.对于数列数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差等于an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>0,故命题p4数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题.故选D.点评本题主要考查等差数列的定义,增数列的含义,命题的真假的判断,属于中档题.5.已知定义在R上的函数y=f(x)满足一下三个条件
①对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的x1,x2∈R,且0≤x1≤x2≤2,都有f(x1)<f(x2);
③函数的图象关于x=2对称;则下列结论中正确的是A.f(
4.5)<f
(7)<f(
6.5)B.f
(7)<f(
4.5)<f(
6.5)C.f
(7)<f(
6.5)<f(
4.5)D.f(
4.5)<f(
6.5)<f
(7)考点函数的周期性;函数单调性的性质.专题函数的性质及应用.分析利用函数满足的三个条件,先将f(
4.5),f
(7),f(
6.5)转化为在区间[0,2]上的函数值,再比较大小即可.解答解由
①③两个条件得f(
4.5)=f(
0.5);f
(7)=f
(3)=f
(1);f(
6.5)=f(
2.5)=f(
1.5),根据条件
②,0≤x1<x2≤2时,都有f(x1)<f(x2);∴f(
0.5)<f
(1)<f(
1.5),∴f(
4.5)<f
(7)<f(
6.5).故选A.点评本题考查函数的单调性、周期性及对称性.6.已知函数f(x)=ln(x+),若实数a,b满足f(a)+f(b﹣1)=0,则a+b等于A.﹣1B.0C.1D.不确定考点函数奇偶性的判断;函数单调性的性质.专题综合题;函数的性质及应用.分析先确定函数为奇函数,且为单调增函数,利用f(a)+f(b﹣1)=0,即可求a+b的值.解答解∵f(x)=ln(x+)∴f(﹣x)+f(x)=ln(﹣x+)+ln(x+)=0∴函数为奇函数∵x>0时,函数为增函数,∴函数f(x)=ln(x+)为增函数,∵f(a)+f(b﹣1)=0,∴f(a)=﹣f(b﹣1)=f(1﹣b)∴a=1﹣b∴a+b=1故选C.点评本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生的计算能力,属于基础题.7.若f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+3)=f(x),f
(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A.5B.4C.3D.2考点函数的周期性.专题函数的性质及应用.分析根据题意,由f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f
(2)=0,可得f(﹣2)=0,重复利用函数的周期性,看在区间(0,6)内,还能推出哪些数的函数值等于0.解答解∵f(x+3)=f(x),∴f(x)是以3为周期的周期函数,又∵f(x)是定义在R上的偶函数,f
(2)=0,∴f(﹣2)=0,∴f
(5)=f
(2)=0,f
(1)=f(﹣2)=0,f
(4)=f
(1)=0.即在区间(0,6)内,f
(2)=0,f
(5)=0,f
(1)=0,f
(4)=0,故选B.点评本题考查函数的奇偶性、根的存在性及根的个数判断,是中档题.8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2﹣2x,则当x∈[﹣4,﹣2]时,f(x)的最小值是A.﹣1B.C.D.考点函数的最值及其几何意义;函数的周期性.专题计算题;压轴题;转化思想;配方法.分析定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),可得出f(x﹣2)=f(x),由此关系求出求出x∈[﹣4,﹣2]上的解析式,再配方求其最值解答解由题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),任取x∈[﹣4,﹣2],则f(x)=f(x+2)=f(x+4)由于x+4∈[0,2],当x∈[0,2]时,f(x)=x2﹣2x,故f(x)=f(x+2)=f(x+4)=[(x+4)2﹣2(x+4)]=[x2+6x+8]=[(x+3)2﹣1],x∈[﹣4,﹣2]当x=﹣3时,f(x)的最小值是故选D点评本题考查函数的最值及其几何意义,解题的关键是正确正解定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),且由此关系求出x∈[﹣4,﹣2]上的解析式,做题时要善于利用恒等式9.已知cos(+θ)cos(﹣θ)=,则sin4θ+cos4θ的值等于A.B.C.D.考点两角和与差的余弦函数.专题计算题;三角函数的求值.分析由已知化简可得cos2θ=,从而有sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2﹣2sin2θcos2θ=1﹣sin22θ=1﹣(1﹣cos22θ)=.解答解cos(+θ)cos(﹣θ)=,⇒()()=⇒⇒⇒cos2θ=sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2﹣2sin2θcos2θ=1﹣sin22θ=1﹣(1﹣cos22θ)=1﹣(1﹣)=.故选C.点评本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用,属于基本知识的考查.10.已知||=4||≠0,且关于x的方程2x2+||x+=0有实根,则与的夹角的取值范围是A.[0,]B.[,π]C.[,]D.[,π]考点数量积表示两个向量的夹角.分析方程有实根,则判别式,根据条件便能求得与夹角的余弦值的范围,从而求得这两向量夹角的范围.解答解设与的夹角为θ,则;∴,∴≤θ≤π,∴与的夹角的取值范围是[,π].故选B.点评考查数量积的计算公式,向量的夹角.11.已知O是△ABC所在平面内一点,且满足,则点OA.在AB边的高所在的直线上B.在∠C平分线所在的直线上C.在AB边的中线所在的直线上D.是△ABC的外心考点向量在几何中的应用.专题综合题;平面向量及应用.分析取AB的中点D,利用,化简可得,从而可得点O在AB边的高所在的直线上.解答解取AB的中点D,则∵∴∴∴∴∴点O在AB边的高所在的直线上故选A.点评本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f
(2)=0,当x>0时,有恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是A.(﹣2,0)∪(2,+∞)B.(﹣2,0)∪(0,2)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)考点函数的单调性与导数的关系;奇偶函数图象的对称性;其他不等式的解法.专题综合题;压轴题.分析首先根据商函数求导法则,把化为[]′<0;然后利用导函数的正负性,可判断函数y=在(0,+∞)内单调递减;再由f
(2)=0,易得f(x)在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象特征,可得f(x)在(﹣∞,0)内的正负性.则x2f(x)>0⇔f(x)>0的解集即可求得.解答解因为当x>0时,有恒成立,即[]′<0恒成立,所以在(0,+∞)内单调递减.因为f
(2)=0,所以在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以在(﹣∞,﹣2)内恒有f(x)>0;在(﹣2,0)内恒有f(x)<0.又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集.所以答案为(﹣∞,﹣2)∪(0,2).故选D.点评本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系,同时考查了奇偶函数的图象特征.
二、填空题(本大题满分20分,每小题5分)13.已知复数z1=cosθ﹣i,z2=sinθ+i,则z1•z2的实部最大值为,虚部最大值为.考点复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.专题计算题;综合题.分析把复数z1=cosθ﹣i,z2=sinθ+i,代入z1•z2化简,求出它的实部最大值,虚部最大值.解答解z1•z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ﹣sinθ).实部为cosθsinθ+1=1+sin2θ≤,所以实部的最大值为.虚部为cosθ﹣sinθ=sin(﹣θ)≤,所以虚部的最大值为.故答案为、点评本题考查复数的代数形式的乘除运算,复数的基本概念,三角函数的有关计算,是基础题.14.已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=2.考点平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义.专题平面向量及应用.分析由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.解答解∵,,∴=0,∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.故答案为2.点评熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键.15.若等比数列{an}的首项为,且a4=(1+2x)dx,则公比等于3.考点等比数列;定积分.专题计算题.分析先计算定积分得到a4,因为等比数列的首项为,然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方程,求出即可.解答解由已知得a4=∫14(1+2x)dx=x+x2|14=18.又因为等比数列的首项为,设公比为q根据等比数列的通项公式an=a1qn﹣1,令n=4得a4=×q3=18,解得q3==27,所以q=3.故答案为3.点评本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解.16.已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值范围是[1,+∞).考点函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.专题综合题.分析f(x)≤g(x)恒成立,构造新函数F(x)=f(x)﹣g(x),则F(x)≤0恒成立,求导函数,是的F(x)的最大值小于0,就可以求出实数a的取值范围解答解设F(x)=f(x)﹣g(x),则当a≤0时,F′(x)≥0,F(x)单调递增,F(x)≤0不可能恒成立;当a>0时,令F′(x)=0,得,(舍去).当时,F′(x)>0,函数单调递增;当时,F′(x)<0,函数单调递减;故F(x)在(0,+∞)上的最大值是,依题意0恒成立,即恒成立,∵g单调递减,且g
(1)=0,∴成立的充要条件是a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞).故答案为[1,+∞).点评此题主要考查函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,考查学生分析解决问题的能力,考查分类讨论的数学思想.
三、解答题(本大题满分70分)17.已知向量=(3sinα,cosα),=(2sinα,5sinα﹣4cosα),α∈,且.
(1)求tanα的值;
(2)求cos的值.考点两角和与差的余弦函数;数量积的坐标表达式;弦切互化.专题计算题;综合题.分析
(1)通过向量关系,求=0,化简后,求出tanα=﹣.
(2)根据α的范围,求出的范围,确定的正弦、余弦的值,利用两角和的余弦公式求出cos的值.解答解
(1)∵,∴=0.而=(3sinα,cosα),=(2sinα,5sinα﹣4cosα),故=6sin2α+5sinαcosα﹣4cos2α=0.由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα﹣4=0.解之,得tanα=﹣,或tanα=.∵α∈(),tanα<0,故tanα=(舍去).∴tanα=﹣.
(2)∵,∴由tanα=﹣,求得tan=﹣或tan=2(舍去)∴sin,coscos()=coscos﹣sinsin==﹣点评本题考查两角和与差的余弦函数,数量积的坐标表达式,弦切互化,考查计算能力,是基础题.18.若数列{an}的前n项和Sn=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=﹣1,bn+1=bn+(2n﹣1),且cn=,求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.考点数列的求和.专题点列、递归数列与数学归纳法.分析
(1)分当n=1和n≥2两种情况,根据an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)可得数列{an}的通项公式;
(2)会根据递推公式求出bn的通项公式,并根据bn与cn关系求通项公式,根据数列{cn}的通项公式的特点可知利用错位相消法进行求和.解答解
(1)由题意Sn=2n,得Sn﹣1=2n﹣1(n≥2),两式相减,得an=2n﹣2n﹣1=2n﹣1(n≥2).当n=1时,21﹣1=1≠S1=a1=2.∴an=;
(2)∵bn+1=bn+(2n﹣1),∴b2﹣b1=1,b3﹣b2=3,b4﹣b3=5,…bn﹣bn﹣1=2n﹣3.以上各式相加,得bn﹣b1=1+3+5+…+(2n﹣3)==(n﹣1)2,∵b1=﹣1,∴bn=n2﹣2n,∴cn=∴Tn=﹣2+0×21+1×22+2×23+…+(n﹣2)×2n﹣1,
①∴2Tn=﹣4+0×22+1×23+2×24+…+(n﹣2)×2n,
②∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣1﹣(n﹣2)×2n=﹣(n﹣2)×2n=2n﹣2﹣(n﹣2)×2n=﹣2﹣(n﹣3)×2n,∴数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn=2+(n﹣3)×2n.点评本题主要考查了数列求和,能利用an与Sn之间的关系得到an的通项公式,会根据递推公式求出bn的通项公式,并根据bn与cn关系求cn的通项公式,也要会应用错位相减法求前n项和,属于中档题.19.已知全集U=R,非空集合A={x|<0},B={x|<0}.(Ⅰ)当a=时,求(∁UB∩A);(Ⅱ)命题p x∈A,命题q x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.考点交、并、补集的混合运算.专题计算题.分析(Ⅰ)先求出集合A、B,再求出CUB,借助数轴求出,(CUB)∩A.(Ⅱ)由题意知,p⇒q,可知A⊆B,B={x|a<x<a2+2}.对于集合A,其解集的端点是3a+1和2,大小有三种情况,在每种情况下,求出集合A,借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系,解不等式组求出a的范围.解答解(Ⅰ)当时,,CUB=,(CUB)∩A=.(Ⅱ)由q是p的必要条件,即p⇒q,可知A⊆B.由a2+2>a,得B={x|a<x<a2+2}.
①当3a+1>2,即时,A={x|2<x<3a+1},再由,解得.
②当3a+1=2,即a=时,A=∅,不符合题意;
③当3a+1<2,即时,A={x|3a+1<x<2},再由,解得.综上,∪.点评本题考查2个集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系(借助数轴列出不等关系),体现了分类讨论的数学思想.20.已知平面向量=(,),=(,).
(1)证明⊥;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使=+(t2﹣k),=﹣s+t,且⊥,试求s=f(t)的函数关系式;
(3)若s=f(t)在[1,+∞)上是增函数,试求k的取值范围.考点数量积判断两个平面向量的垂直关系;函数单调性的性质.专题计算题.分析
(1)由题知,且,能够证明.
(2)由于,则,从而﹣s||2+(t+sk﹣st2)+t(t2﹣k)||2=0,由此能够求出s=f(t)=t3﹣kt.
(3)设t1>t2≥1,则﹣kt2)=(t1﹣t2)(),由s=f(t)在[1,+∞)上是增函数,知k<在[1,+∞)上恒成立,由此能求出k的范围.解答(本小题满分12分)解
(1)证明由题知,且,∴.
(2)由于,则,从而﹣s||2+(t+sk﹣st2)+t(t2﹣k)||2=0,故s=f(t)=t3﹣kt.
(3)设t1>t2≥1,则﹣kt2)=(t1﹣t2)(),∵s=f(t)在[1,+∞)上是增函数,∴,即k<在[1,+∞)上恒成立,∵>3,∴只需k≤3即可.点评本题考查向量垂直的证明,考查函数解析式的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.21.已知函数f(x)=2.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值,并写出f(x)取最大值时x的取值集合;(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,b+c=2,求实数a的最小值.考点余弦定理的应用;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.专题综合题;解三角形.分析(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式,化简函数,即可求得函数的最大值,从而可得f(x)取最大值时x的取值集合;(Ⅱ)利用f(A)=sin(2A+)+1=,求得A,在△ABC中,根据余弦定理,利用b+c=2,及,即可求得实数a的最小值.解答解(Ⅰ)函数f(x)=2=(1+cos2x)﹣(sin2xcos﹣cos2xsin)=1+sin2x+=1+sin(2x+).∴函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值,则sin(2x+)=1,∴2x+=2kπ+(k∈Z)∴x=kπ+(k∈Z).故x的取值集合为{x|x=kπ+(k∈Z)}.(Ⅱ)由题意,f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=,∵A∈(0,π),∴2A+∈,∴2A+=,∴A=在△ABC中,根据余弦定理,得=(b+c)2﹣3bc.由b+c=2,知,即a2≥1.∴当b=c=1时,实数a取最小值1.点评本题考查三角函数的化简,考查函数的最值,考查余弦定理的运用,考查基本不等式,综合性强.22.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的概念及应用.分析
(1)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;
(2)根据a2=4b,构建函数,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.解答解
(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,由(1,c)为公共切点,可得2a=3+b
①又f
(1)=a+1,g
(1)=1+b,∴a+1=1+b,即a=b,代入
①式可得.
(2)由题设a2=4b,设则,令h(x)=0,解得,;∵a>0,∴,x(﹣∞,﹣)﹣)h′(x)+﹣+h(x)极大值极小值∴原函数在(﹣∞,﹣)单调递增,在单调递减,在)上单调递增
①若,即0<a≤2时,最大值为;
②若<﹣,即2<a<6时,最大值为
③若﹣1≥﹣时,即a≥6时,最大值为h(﹣)=1综上所述当a∈(0,2]时,最大值为;当a∈(2,+∞)时,最大值为.点评本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函数.。