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2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析V
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在下列每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=ln(3﹣x)(x+1)的定义域为( )A.[﹣1,3]B.(﹣1,3)C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于( )A.12B.C.28D.3.已知x,y∈R,且x>y>0,则( )A.﹣>0B.sinx﹣siny>0C.()x﹣()y<0D.lnx+lny>04.已知各项均为正数的等比数列{an},a1•a9=16,则a2•a5•a8的值( )A.16B.32C.48D.645.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )A.1B.2C.3D.46.若x,y满足,则x﹣y的最小值为( )A.0B.﹣1C.﹣3D.27.设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=2asinA,则A=( )A.B.C.D.不确定8.若不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为( )A.(,+∞)B.(﹣∞,0)∪(,+∞)C.(,+∞)D.(﹣∞,0)∪(,+∞)9.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.1210.如图,四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上,若∠BAD=,CD=2,则BC=( )A.2B.4C.D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)11.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= .12.不等式<x﹣1的解集是 .13.某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.14.已知正数x,y满足x2+2xy﹣3=0,则2x+y的最小值是 .15.如图,某人在高出海面600米的山上P处,测得海面上的航标在A正东,俯角为30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则这两个航标间的距离为 米.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+c2=b2+ac(I)求∠B的大小;(II)求cosA+cosC的最大值.17.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位万元)与隔热层厚度x(单位cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.18.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.(Ⅰ)证明a、c、b成等差数列;(Ⅱ)求cosC的最小值.20.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.21.设f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2(a∈R).(I)解关于x的不等式f(x)≥0;(II)若a>0,当﹣1≤x≤1时,f(x)≤0时恒成立,求a的取值范围.(III)若当﹣1<a<1时,f(x)>0时恒成立,求x的取值范围. xx山东省泰安市宁阳一中高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在下列每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=ln(3﹣x)(x+1)的定义域为( )A.[﹣1,3]B.(﹣1,3)C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据对数函数的性质求出f(x)的定义域即可.【解答】解由题意得(3﹣x)(x+1)>0,即(x﹣3)(x+1)<0,解得﹣1<x<3,故函数的定义域是(﹣1,3),故选B. 2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于( )A.12B.C.28D.【考点】解三角形;正弦定理的应用;余弦定理.【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=,再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=,代入△ABC的面积公式进行运算.【解答】解在△ABC中,若三边长分别为a=7,b=3,c=8,由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3cosC,∴cosC=,∴sinC=,∴S△ABC==,故选D. 3.已知x,y∈R,且x>y>0,则( )A.﹣>0B.sinx﹣siny>0C.()x﹣()y<0D.lnx+lny>0【考点】不等关系与不等式.【分析】x,y∈R,且x>y>0,可得,sinx与siny的大小关系不确定,<,lnx+lny与0的大小关系不确定,即可判断出结论.【解答】解∵x,y∈R,且x>y>0,则,sinx与siny的大小关系不确定,<,即﹣<0,lnx+lny与0的大小关系不确定.故选C. 4.已知各项均为正数的等比数列{an},a1•a9=16,则a2•a5•a8的值( )A.16B.32C.48D.64【考点】等比数列的性质.【分析】由等比数列的性质可得a1•a9=,结合an>0可求a5,然后由a2•a5•a8=可求【解答】解由等比数列的性质可得a1•a9==16,∵an>0∴a5=4∴a2•a5•a8==64故选D 5.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )A.1B.2C.3D.4【考点】余弦定理的应用.【分析】直接利用余弦定理求解即可.【解答】解在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=﹣4(舍去).故选A. 6.若x,y满足,则x﹣y的最小值为( )A.0B.﹣1C.﹣3D.2【考点】简单线性规划.【分析】画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最小值.【解答】解x,y满足的区域如图设z=x﹣y,则y=x﹣z,当此直线经过(0,3)时z最小,所以z的最小值为0﹣3=﹣3;故选C. 7.设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=2asinA,则A=( )A.B.C.D.不确定【考点】正弦定理.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A.【解答】解∵bcosC+ccosB=2asinA,∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sin2A,∵sinA≠0,∴sinA=,∴由于A为锐角,可得A=.故选A. 8.若不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为( )A.(,+∞)B.(﹣∞,0)∪(,+∞)C.(,+∞)D.(﹣∞,0)∪(,+∞)【考点】一元二次不等式的解法.【分析】由已知不等式的解集可求a,b的值,然后解不等式<即可.【解答】解因为不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),所以1+2=a,1×2=b,即a=3,b=2,所以不等式<为,整理得,解得x<0或者x>,所以不等式的解集为(﹣∞,0)∪(,+∞).故选B. 9.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.【解答】解由约束条件作出可行域如图,∵A(0,﹣3),C(0,2),∴|OA|>|OC|,联立,解得B(3,﹣1).∵,∴x2+y2的最大值是10.故选C. 10.如图,四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上,若∠BAD=,CD=2,则BC=( )A.2B.4C.D.【考点】圆周角定理.【分析】利用正弦定理求出BD,再利用余弦定理求出BC.【解答】解由题意,,∴BD=2,∵∠BAD=,∴∠BCD=,∵CD=2,∴12=BC2+4﹣2BC,∴BC2+2BC﹣8=0,∴BC=2.故选A.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)11.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= 98 .【考点】等差数列的通项公式.【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a100.【解答】解∵等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,∴,解得a1=﹣1,d=1,∴a100=a1+99d=﹣1+99=98.故答案为98. 12.不等式<x﹣1的解集是 (﹣1,1)∪(3,+∞) .【考点】其他不等式的解法.【分析】首先移项通分,化简为整式不等式解之.【解答】解不等式变形为,所以0,等价于(x+1)(x﹣3)(x﹣1)>0,所以不等式的解集为(﹣1,1)∪(3,+∞);故答案为(﹣1,1)∪(3,+∞) 13.某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.【考点】简单线性规划的应用.【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件,产品B有y件,我们不难得到关于x,y的不等式组,即约束条件和目标函数,然后根据线行规划的方法不难得到结论.【解答】解设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,由题意知,.作出可行域如图所示.作出直线l80x+60y=0并平移,由图形知,当直线经过点M时,z取到最大值.由解得,即M(9,4).所以zmax=80×9+60×4=960(万元),所以搭载9件A产品,4件B产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元. 14.已知正数x,y满足x2+2xy﹣3=0,则2x+y的最小值是 3 .【考点】基本不等式.【分析】用x表示y,得到2x+y关于x的函数,利用基本不等式得出最小值.【解答】解∵x2+2xy﹣3=0,∴y=,∴2x+y=2x+==≥2=3.当且仅当即x=1时取等号.故答案为3. 15.如图,某人在高出海面600米的山上P处,测得海面上的航标在A正东,俯角为30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则这两个航标间的距离为 600 米.【考点】解三角形的实际应用.【分析】求出BC,AC的值,由余弦定理再求AB,即可得结论.【解答】解航标A在正东,俯角为30°,由题意得∠APC=60°,∠PAC=30°.航标B在南偏东60°,俯角为45°,则有∠ACB=30°,∠CPB=45°.故有BC=PC=600,AC===600.所以,由余弦定理知AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB=360000+360000×3﹣2×=360000.可求得AB=600.故答案为600.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+c2=b2+ac(I)求∠B的大小;(II)求cosA+cosC的最大值.【考点】余弦定理;三角函数的化简求值.【分析】(I)由已知利用余弦定理可求cosB的值,结合范围0<∠B<π,即可得解.(II)利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简可得=,利用范围,根据正弦函数的性质可求其最大值.【解答】(本题满分为12分)解(I)∵,∴,∴,…又0<∠B<π,所以,.…(II)∵A+B+C=π,∴,∴===,…∵,∵,∴,…因此,当,即A=时,sin(A+)最大值为1.所以,cosA+cosC的最大值为1.… 17.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位万元)与隔热层厚度x(单位cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【考点】函数模型的选择与应用;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位万元)与隔热层厚度x(单位cm)满足关系C(x)=,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.我们可得C
(0)=8,得k=40,进而得到.建造费用为C1(x)=6x,则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x),我们不难得到f(x)的表达式.(II)由
(1)中所求的f(x)的表达式,我们利用导数法,求出函数f(x)的单调性,然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值.【解答】解(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为.再由C
(0)=8,得k=40,因此.而建造费用为C1(x)=6x,最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(Ⅱ),令f(x)=0,即.解得x=5,(舍去).当0<x<5时,f′(x)<0,当5<x<10时,f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为.当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元. 18.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(Ⅰ)运用等比数列的通项公式,可得方程组,求得首项和公差,即可得到所求通项公式;(Ⅱ)运用拆项法化简bn,再由数列的求和方法裂项相消法,结合等比数列的求和公式即可得到.【解答】解(Ⅰ)由题设可知a1•a4=a2•a3=8,又a1+a4=9,解得或(舍去)由得公比q=2,故;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,又因为,所以Tn=b1+b2+…+bn===.所以,(或). 19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.(Ⅰ)证明a、c、b成等差数列;(Ⅱ)求cosC的最小值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin(A+B)=sinA+sinB,又结合三角形内角和定理,正弦定理得2c=a+b即可得解a,b,c成等差数列;(Ⅱ)由余弦定理及a+b=2c,可得,利用基本不等式可得,进而可解得cosC的最小值.【解答】(本题满分为12分)解(Ⅰ)∵2(tanA+tanB)=,∴,∴=,…即2sin(A+B)=sinA+sinB,又∵A+B=π﹣C,∴2sinC=sinA+sinB,…由正弦定理得,2c=a+b所以,a、c、b成等差数列;…(Ⅱ)由余弦定理得,,…∵a+b=2c,∴,又∵,∴,…即.所以cosC的最小值为.… 20.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn.【解答】解(Ⅰ)∵数列{an}的前n项和,∴a1=11.当n≥2时,.又∵an=6n+5对n=1也成立所以an=6n+5,{bn}是等差数列,设公差为d,则an=bn+bn+1=2bn+d.当n=1时,2b1=11﹣d;当n=2时,2b2=17﹣d由,解得d=3,所以数列{bn}的通项公式为;(Ⅱ)由,于是,,两边同乘以2,得.两式相减,得==﹣n•2n+2.所以,. 21.设f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2(a∈R).(I)解关于x的不等式f(x)≥0;(II)若a>0,当﹣1≤x≤1时,f(x)≤0时恒成立,求a的取值范围.(III)若当﹣1<a<1时,f(x)>0时恒成立,求x的取值范围.【考点】函数恒成立问题.【分析】(I)根据a=0和a≠0以及根的大小讨论求解.(II)a>0,当﹣1≤x≤1时,利用二次方程根的分布,可求a的取值范围.(III)当﹣1<a<1时,设g(a)=a(x2+x)﹣2(x+1),g(a)>0恒成立.看成关于a的一次函数求x的取值范围.【解答】解(I)由不等式f(x)≥0可得,(ax﹣2)(x+1)≥0.当a=0时,不等式可化为﹣2(x+1)≥0,解得x≤﹣1;当a≠0时,方程(ax﹣2)(x+1)=0有两根.若a<﹣2,,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得;若a=﹣2,不等式可化为﹣2(x+1)2≥0,解得x=﹣1;若﹣2<a<0,,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得;若a>0,,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得;综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤﹣1};当a<﹣2时,不等式的解集为;当a=﹣2时,不等式的解集为{﹣1};当﹣2<a<0时,不等式的解集为;当a>0时,不等式的解集为.(II)因a>0,f(x)≤0故函数f(x)开口向上,根据二次函数的特征,若要﹣1≤x≤1时,f(x)≤0时恒成立,只需即可.因此,由,解得0<a≤2.所以,a的取值范围为(0,2].(III)若当﹣1<a<1时,设g(a)=a(x2+x)﹣2(x+1)因此,当﹣1<a<1时,f(x)>0时恒成立等价于当﹣1<a<1时,g(a)>0恒成立.当x=0时,g(a)=﹣2<0,不符合题意;当x=﹣1时,g(a)=0,不符合题意;当x≠0,x≠﹣1时,只需成立即可即,解得﹣2≤x≤﹣1.所以,x的取值范围为[﹣2,﹣1) xx年11月18日。