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2019-2020年高二上学期期中数学试卷(文科)含解析II
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果a和b是异面直线,直线a∥c,那么直线b与c的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.相交或异面2.正方体内切球和外接球半径的比为( )A.1B.1C.D.123.过点M(﹣2,a),N(a,4)的直线的斜率为﹣,则|MN|=( )A.10B.180C.6D.64.若直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,则m的值为( )A.B.﹣C.2D.﹣25.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为( )A.2B.C.2D.46.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是( )A.B.1C.D.7.已知直线l⊥平面α,直线m⊆平面β,给出下列命题,其中正确的是( )
①α∥β⇒l⊥m
②α⊥β⇒l∥m
③l∥m⇒α⊥β
④l⊥m⇒α∥βA.
②④B.
②③④C.
①③D.
①②③8.两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是( )A.B.C.D.9.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A.72πB.48πC.30πD.24π10.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于( )A.﹣1B.1C.D.﹣11.已知圆C1(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x﹣2)2+(y﹣2)2=1B.(x+2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y﹣2)2=1D.(x﹣2)2+(y+2)2=112.若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0(a是实数)的距离为1,则a等于( )A.±1B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若直线l12x﹣ay﹣1=0与直线l2x+2y=0垂直,则a= .14.直线y=kx与圆(x﹣2)2+(y+1)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则k的取值范围是 .15.已知椭圆C+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),椭圆C的方程为 .16.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;
④如果m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.
(1)求经过直线l12x+3y﹣5=0与l27x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程;
(2)求与直线3x+4y﹣7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程.18.已知坐标平面上一点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1),且=5.(Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点M(﹣2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.19.如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.
(1)求证平面AA1C⊥平面BA1C;
(2)若AC=BC,求几何体A1﹣ABC的体积V.20.已知圆C(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)(Ⅰ)证明无论m取什么实数,l与圆恒交于两点;(Ⅱ)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.21.如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证EF∥平面PAD;
(2)求证EF⊥CD.22.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,且过点D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设点,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程. xx山东省德州市平原一中高二(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果a和b是异面直线,直线a∥c,那么直线b与c的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】两条直线的位置关系有三种相交,平行,异面.由于a,b是两条异面直线,直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行,但是c不可能与b平行,要说明这一点采用反证比较简单.【解答】解∵a,b是两条异面直线,直线c∥a∴过b任一点可作与a平行的直线c,此时c与b相交.另外c与b不可能平行理由如下若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a,b是两条异面直线矛盾,故c与b异面.故选D. 2.正方体内切球和外接球半径的比为( )A.1B.1C.D.12【考点】球内接多面体.【分析】设出正方体的棱长,利用正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,分别求出半径,即可得到结论.【解答】解正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是a.则a=2r内切球,r内切球=;a=2r外接球,r外接球=,r内切球r外接球=1.故选B. 3.过点M(﹣2,a),N(a,4)的直线的斜率为﹣,则|MN|=( )A.10B.180C.6D.6【考点】直线的两点式方程.【分析】根据直线MN的斜率求出a的值,再计算|MN|的值.【解答】解∵过点M(﹣2,a),N(a,4)的直线斜率为k==﹣,解得a=10;∴|MN|===6.故选C. 4.若直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,则m的值为( )A.B.﹣C.2D.﹣2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】由已知条件推导出,由此能求出m的值为.【解答】解∵直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,∴,解得m=,∴m的值为.故选A. 5.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为( )A.2B.C.2D.4【考点】平面图形的直观图.【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原,平面图是一个直角梯形,面积易求.【解答】解如图,有斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的平面图中的高OA是直观图中OA长度的2倍,如直观图,OA的长度是直观图中梯形的高的倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍,故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍,梯形OA′B′C′的面积为,所以原梯形的面积是4.故应选D. 6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是( )A.B.1C.D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是直三棱锥,根据图中的数据,求出该三棱锥的4个面的面积,得出面积最大的三角形的面积.【解答】解根据几何体的三视图,得;该几何体是如图所示的直三棱锥,且侧棱PA⊥底面ABC,PA=1,AC=2,点B到AC的距离为1;∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1,侧面△PAB的面积为S2=××1=,侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1,在侧面△PBC中,BC=,PB==,PC==,∴△PBC是Rt△,∴△PBC的面积为S4=××=;∴三棱锥P﹣ABC的所有面中,面积最大的是△PBC,为.故选A. 7.已知直线l⊥平面α,直线m⊆平面β,给出下列命题,其中正确的是( )
①α∥β⇒l⊥m
②α⊥β⇒l∥m
③l∥m⇒α⊥β
④l⊥m⇒α∥βA.
②④B.
②③④C.
①③D.
①②③【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质,可判断
①;根据线面垂直和面面垂直的几何特征,可判断
②④;根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理,可判断
③;【解答】解若α∥β,l⊥平面α,可得l⊥β,又由m⊆平面β,故l⊥m,故
①正确;若α⊥β,l⊥平面α,可得l∥β或l⊂β,又由m⊆平面β,此时l与m的关系不确定,故
②错误;若l∥m,l⊥平面α,可得m⊥平面α,又由m⊆平面β,可得α⊥β,故
③正确;若l⊥m,l⊥平面α,则m∥平面α,或m⊂平面α,又由m⊆平面β,此时α与β的关系不确定,故
④错误;故四个命题中,
①③正确;故选C 8.两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是( )A.B.C.D.【考点】两条平行直线间的距离.【分析】首先求出m的值,然后利用平行线之间的距离公式解答.【解答】解由已知两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0,所以m=6,所以两条平行线的距离为;故选A. 9.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A.72πB.48πC.30πD.24π【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意,结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体,根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项【解答】解由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是3,圆锥底面圆的半径是3,圆锥母线长为5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4,则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C 10.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于( )A.﹣1B.1C.D.﹣【考点】椭圆的简单性质.【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式,得到c2的值等于4,解方程求出k.【解答】解椭圆5x2+ky2=5即x2+=1,∵焦点坐标为(0,2),c2=4,∴﹣1=4,∴k=1,故选B. 11.已知圆C1(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x﹣2)2+(y﹣2)2=1B.(x+2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y﹣2)2=1D.(x﹣2)2+(y+2)2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程.【分析】在圆C2上任取一点(x,y),求出此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点,则此对称点在圆C1上,再把对称点坐标代入圆C1的方程,化简可得圆C2的方程.【解答】解在圆C2上任取一点(x,y),则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点(y+1,x﹣1)在圆C1(x+1)2+(y﹣1)2=1上,∴有(y+1+1)2+(x﹣1﹣1)2=1,即(x﹣2)2+(y+2)2=1,∴答案为(x﹣2)2+(y+2)2=1.故选D. 12.若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0(a是实数)的距离为1,则a等于( )A.±1B.C.D.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】化简圆的方程,求出圆心坐标,求出半径,推出圆心到直线的距离可求a的值.【解答】解由题意知圆心(3,1),半径是2,则圆心到直线的距离是1,即可知a=.故选B.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若直线l12x﹣ay﹣1=0与直线l2x+2y=0垂直,则a= 1 .【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】利用直线垂直的条件求解.【解答】解∵两直线l12x﹣ay﹣1=0与直线l2x+2y=0互相垂直,∴2﹣2a=0,解得a=1.故答案为1. 14.直线y=kx与圆(x﹣2)2+(y+1)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则k的取值范围是 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意求出圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx的距离,由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围,结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围.【解答】解由题意得,圆心坐标(2,﹣1)、半径r=2,则圆心到直线y=kx的距离d=<2,解得k<,∵所截得的弦|AB|≥2,∴2=2,化简得,3k2+4k≤0,解得,综上可得,k的取值范围是,故答案为. 15.已知椭圆C+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),椭圆C的方程为 +y2=1 .【考点】椭圆的标准方程.【分析】利用椭圆的定义求出a,从而可得b,即可求出椭圆C的方程.【解答】解∵椭圆C+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),∴2a=|PF1|+|PF2|=2.∴a=.又由已知c=1,∴b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.故答案为+y2=1. 16.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;
④如果m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β.其中正确的命题有
②③ .(填写所有正确命题的编号)【考点】命题的真假判断与应用.【分析】根据空间直线与直线,直线与平面的关系,逐一分析四个命题的真假,可得答案.【解答】解
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α与β的关系不确定,故错误;
②如果m⊥α,n∥α,那么平面α内存在直线l使,m⊥l,n∥l故m⊥n,故正确;
③如果α∥β,m⊂α,那么m与β无公共点,则m∥β,故正确;
④如果m∥n,m⊂α,n⊂β,那么α与β的关系不确定,故错误;故答案为
②③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.
(1)求经过直线l12x+3y﹣5=0与l27x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程;
(2)求与直线3x+4y﹣7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】
(1)联立两直线解析式求出交点坐标,设出平行于直线x+2y﹣3=0的方程,将交点坐标代入即可;
(2)设出与直线垂直的直线方程,根据与原点距离为6确定出所求直线即可.【解答】解
(1)联立,解得,∴交点P的坐标(,﹣),设平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程为x+2y+n=0,代入得+2×(﹣)+n=0,解得n=﹣,∴所求直线方程为x+2y﹣=0,即9x+18y﹣4=0;
(2)设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线方程为4x﹣3y+m=0,∵与原点的距离为6,∴=6,解得m=±30,则所求直线方程为4x﹣3y±30=0. 18.已知坐标平面上一点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1),且=5.(Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点M(﹣2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.【考点】轨迹方程.【分析】(Ⅰ)直接利用距离的比,列出方程即可求点M的轨迹方程,然后说明轨迹是什么图形;(Ⅱ)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线l的方程.【解答】解(Ⅰ)由题意,得=
5.,化简,得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…即(x﹣1)2+(y﹣1)2=25.∴点M的轨迹方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.…(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,l x=﹣2,此时所截得的线段的长为2=8,∴l x=﹣2符合题意.…当直线l的斜率存在时,设l的方程为y﹣3=k(x+2),即kx﹣y+2k+3=0,圆心到l的距离d=,由题意,得()2+42=52,解得k=.∴直线l的方程为x﹣y+=0,即5x﹣12y+46=0.综上,直线l的方程为x=﹣2,或5x﹣12y+46=0… 19.如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.
(1)求证平面AA1C⊥平面BA1C;
(2)若AC=BC,求几何体A1﹣ABC的体积V.【考点】平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)证明BC⊥平面AA1C,即可证明平面AA1C⊥平面BA1C;
(2)求出AC,直接利用体积公式求解即可.【解答】
(1)证明因为C是底面圆周上异于A,B的一点,AB是底面圆的直径,所以AC⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,而AC∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1C.又BC⊂平面BA1C,所以平面AA1C⊥平面BA1C.…
(2)解在Rt△ABC中,AB=2,则由AB2=AC2+BC2且AC=BC,得,所以.… 20.已知圆C(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)(Ⅰ)证明无论m取什么实数,l与圆恒交于两点;(Ⅱ)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.【考点】直线与圆相交的性质.【分析】(Ⅰ)求得所给的直线经过x+y﹣4=0和2x+y﹣7=0的交点M(3,1),而点M在圆C(x﹣1)2+(y﹣2)2=25的内部,从而得到l与圆恒交于两点.(Ⅱ)弦长最小时,MC和弦垂直,再利用点斜式求得弦所在的直线的方程.【解答】解(Ⅰ)证明直线l(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,即x+y﹣4+m(2x+y﹣7)=0,恒经过直线x+y﹣4=0和2x+y﹣7=0的交点M(3,1),而点M到圆心C(1,2)的距离为MC==<半径5,故点M在圆C(x﹣1)2+(y﹣2)2=25的内部,故l与圆恒交于两点.(Ⅱ)弦长最小时,MC和弦垂直,故弦所在的直线l的斜率为==2,故直线l的方程为y﹣1=2(x﹣3),即2x﹣y﹣5=0. 21.如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证EF∥平面PAD;
(2)求证EF⊥CD.【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】
(1)取PD中点Q,连AQ、QF,易证EF∥AQ,根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD;
(2)欲证CD⊥EF,可先证直线与平面垂直,CD⊥AD,CD⊥PA,PA∩AD=A,根据直线与平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD,从而得到CD⊥EF;【解答】证明
(1)取PD中点Q,连AQ、QF,则AE∥QF∴四边形AEFQ为平行四边形∴EF∥AQ又∵AQ在平面PAD内,EF不在平面PAD内∴EF∥面PAD;
(2)∵CD⊥AD,CD⊥PA,PA∩AD=APA在平面PAD内,AD在平面PAD内∴CD⊥面PAD又∵AQ在平面PAD同∴CD⊥AQ∵EF∥AQ∴CD⊥EF; 22.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,且过点D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设点,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.【考点】轨迹方程;椭圆的标准方程.【分析】
(1)设椭圆方程为,根据题意可得a=2且c=,从而b==1,得到椭圆的标准方程;
(2)设点P(x0,y0),线段PA的中点为M(x,y),根据中点坐标公式将x
0、y0表示成关于x、y的式子,将P(x0,y0)关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程,化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程.【解答】解
(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D(2,0),左焦点为,∴a=2,,可得b==1因此,椭圆的标准方程为.
(2)设点P的坐标是(x0,y0),线段PA的中点为M(x,y),由根据中点坐标公式,可得,整理得,∵点P(x0,y0)在椭圆上,∴可得,化简整理得,由此可得线段PA中点M的轨迹方程是. xx年12月19日。