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2019-2020年高二上学期期末数学试卷(文科)含解析V 一.选择题,每小题5分,共60分1.不等式(x+1)(2﹣x)≥0的解集为( )A.{x|﹣l≤x≤2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|x≥2,或﹣1≤﹣1}D.{x|x>2,或x<﹣1}2.抛物线x=2y2的焦点坐标是( )A.(1,0)B.(,0)C.(,0)D.(0,)3.如果a>b>0,那么下列不等式中不正确的是( )A.B.C.ab>b2D.a2>ab4.已知命题p∀x∈R,x2﹣x+1≤0,则( )A.¬p∃x0∈R,x02﹣x0+1≤0B.¬p∃x∈R,x2﹣x+1≥0C.¬p∀x∈R,x2﹣x+1>0D.¬p∃0x∈R,x02﹣x0+1>05.等差败列{an}的前n项和为Sn,若a3+a16=10,则S18=( )A.50B.90C.100D.1906.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且a=2,b=,B=,则角A等于( )A.B.C.D.或7.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是图中的( )A.B.C.D.8.若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值是( )A.﹣2B.0C.1D.29.不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的充分不必要条件是( )A.m>2B.0<m<1C.m>0D.m>110.若二次函数f(x)=cx2+4x+a(x∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为( )A.3B.C.5D.711.在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C所对的边,且2acosB+bcosA=2c,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形12.已知过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)和虚轴端点E的直线交双曲线的右支于点P,若E为线段FP的中点,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.+1 二.填空题,每小题4分,满分16分13.已知等比数列{an}的公比为正数,且a1•a7=2a32,a2=2,则a1的值是 .14.若x∈(1,+∞),则y=2x+的最小值是 .15.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,b)到焦点F的距离为2,则b= .16.要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗,要使其体积最大,则其底面半径为 cm. 三.解答题,6个小题,共74分17.已知命题p∀x∈[1,],x2﹣a≥0,命题q∃x0∈R,x02﹣ax0+2﹣a=0,若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.18.已知,在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且asinB=bcosA.
(1)求角A的大小;
(2)设△ABC的面积为,求a的取值范围.19.已知函数f(x)=x3﹣ax2+b(a,b∈R),其图象在点(1,f
(1))处的切线方程为x+y﹣3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值.20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S1+S3=18,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设{}是首项为1,公比为的等比数列,求数列{bn}前n项和Tn.21.已知函数f(x)=x﹣alnx﹣1(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x≥2时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.22.已知椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两个不同点,O为坐标原点,若△OPQ的面积为,证明y12+y22为定值. xx山东省临沂市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一.选择题,每小题5分,共60分1.不等式(x+1)(2﹣x)≥0的解集为( )A.{x|﹣l≤x≤2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|x≥2,或﹣1≤﹣1}D.{x|x>2,或x<﹣1}【考点】一元二次不等式的解法.【分析】解不等式,求出不等式的解集即可.【解答】解∵(x+1)(2﹣x)≥0,∴(x+1)(x﹣2)≤0,解得﹣1≤x≤2,故选A. 2.抛物线x=2y2的焦点坐标是( )A.(1,0)B.(,0)C.(,0)D.(0,)【考点】抛物线的简单性质.【分析】将抛物线化成标准方程得y2=x,根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标.【解答】解∵抛物线的方程为x=2y2,∴化成标准方程,得y2=x,由此可得抛物线的2p=,得=∴抛物线的焦点坐标为(,0)故选C. 3.如果a>b>0,那么下列不等式中不正确的是( )A.B.C.ab>b2D.a2>ab【考点】不等式比较大小.【分析】利用不等式的基本性质即可得出.【解答】解∵a>b>0,∴ab>b2,a2>ab,即为,因此A,C,D正确,而B不正确.故选B. 4.已知命题p∀x∈R,x2﹣x+1≤0,则( )A.¬p∃x0∈R,x02﹣x0+1≤0B.¬p∃x∈R,x2﹣x+1≥0C.¬p∀x∈R,x2﹣x+1>0D.¬p∃0x∈R,x02﹣x0+1>0【考点】命题的否定.【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解答】解命题是全称命题,则命题的否定是¬p∃0x∈R,x02﹣x0+1>0,故选D 5.等差败列{an}的前n项和为Sn,若a3+a16=10,则S18=( )A.50B.90C.100D.190【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解.【解答】解∵等差败列{an}的前n项和为Sn,a3+a16=10,S18=(a1+a18)=9(a3+a16)=90.故选B. 6.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且a=2,b=,B=,则角A等于( )A.B.C.D.或【考点】正弦定理.【分析】由正弦定理可得=,结合a<b,即可得出结论.【解答】解由正弦定理可得=,∴sinA=,∵a<b,∴A=.故选B. 7.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是图中的( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据f′(x)的零点及f′(x)>0的解判断f(x)的极值点和在(﹣1,3)上的单调性.【解答】解由y=f′(x)的图象可知f′(﹣1)=f′
(3)=0,当x<﹣1或x>3时,f′(x)<0,当﹣1<x<3时,f′(x)>0.∴f(x)在x=﹣1时取得极小值,在x=3时取得极大值,在(﹣1,3)上为增函数.故选C. 8.若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值是( )A.﹣2B.0C.1D.2【考点】简单线性规划.【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线t=x﹣2y过点A(2,0)时,z最大值即可.【解答】解根据约束条件画出可行域,直线t=x﹣2y过点A(2,0)时,t最大,t最大值2,即目标函数t=x﹣2y的最大值为2,故选D. 9.不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的充分不必要条件是( )A.m>2B.0<m<1C.m>0D.m>1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】不等式x2﹣2x+m>0化为m>﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,利用二次函数的单调性、充分不必要条件即可得出.【解答】解不等式x2﹣2x+m>0化为m>﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,∵﹣(x﹣1)2+1≤1,∴m>1.∴不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的充分不必要条件是m>2.故选A. 10.若二次函数f(x)=cx2+4x+a(x∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为( )A.3B.C.5D.7【考点】二次函数的性质;基本不等式.【分析】先判断a、c是正数,且ac=4,把所求的式子变形使用基本不等式求最小值.【解答】解若二次函数f(x)=cx2+4x+a(x∈R)的值域为[0,+∞),则c>0,△=16﹣4ac=0,即ac=4,则+≥2×=3,当且仅当=时取等号,则+的最小值是3,故选A. 11.在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C所对的边,且2acosB+bcosA=2c,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形【考点】正弦定理.【分析】由正弦定理化简已知可得2sinAcosB+sinBcosA=2sinC,由三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可得2sinC=2sinAcosB+2sinBcosA,解得sinBcosA=0,由sinB≠0,可求cosA=0,结合范围A∈(0,π),可得A的值.【解答】解∵△ABC中,2acosB+bcosA=2c,∴由正弦定理,得2sinAcosB+sinBcosA=2sinC又∵2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA,∴sinBcosA=2sinBcosA,可得sinBcosA=0,∵sinB≠0,∴可得cosA=0,∴由A∈(0,π),可得A=.故选C. 12.已知过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)和虚轴端点E的直线交双曲线的右支于点P,若E为线段FP的中点,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.+1【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意,P(c,2b),代入双曲线﹣=1,可得=1,即可求出该双曲线的离心率.【解答】解由题意,P(c,2b),代入双曲线﹣=1,可得=1,∴e=,故选B. 二.填空题,每小题4分,满分16分13.已知等比数列{an}的公比为正数,且a1•a7=2a32,a2=2,则a1的值是 .【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知列式求得q,再由求得答案.【解答】解在等比数列{an}中,由a1•a7=2a32,得,得q2=2,∵q>0,∴.又a2=2,∴.故答案为. 14.若x∈(1,+∞),则y=2x+的最小值是 2+2 .【考点】基本不等式.【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解∵x∈(1,+∞),则y=2(x﹣1)++2≥2+2=2+2,当且仅当x=1+时取等号.∴y=2x+的最小值是2+2.故答案为2+2. 15.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,b)到焦点F的距离为2,则b= ±2 .【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为2,进而利用抛物线方程求得其准线方程,利用点到直线的距离求得p,即可得出结论.【解答】解∵抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,b)到焦点F的距离为2,∴该点到准线的距离为2,抛物线的准线方程为x=﹣,∴1+=2,求得p=2,∴y2=4x,代入点M(1,b),可得b=±2故答案为±2. 16.要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗,要使其体积最大,则其底面半径为 10 cm.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】设出圆锥的高,求出底面半径,推出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值时的高即可.【解答】解设圆锥的高为hcm,∴V圆锥=π×h,∴V′(h)=π.令V′(h)=0,得h2=300,∴h=10(cm)当0<h<10时,V′>0;当10<h<30时,V′<0,∴当h=10,r=10cm时,V取最大值.故答案为10. 三.解答题,6个小题,共74分17.已知命题p∀x∈[1,],x2﹣a≥0,命题q∃x0∈R,x02﹣ax0+2﹣a=0,若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.【考点】复合命题的真假.【分析】命题p∀x∈[1,],x2﹣a≥0,可得a≤(x2)min.命题q∃x0∈R,x02﹣ax0+2﹣a=0,可得△≥0.再根据命题“p∧q”为真命题,即可得出.【解答】解命题p∀x∈[1,],x2﹣a≥0,∴a≤(x2)min=1.命题q∃x0∈R,x02﹣ax0+2﹣a=0,∴△=≥0,解得a≥1或a≤﹣2.若命题“p∧q”为真命题,∴,解得a=1或a≤﹣2.∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪{1}. 18.已知,在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且asinB=bcosA.
(1)求角A的大小;
(2)设△ABC的面积为,求a的取值范围.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】
(1)根据正弦定理,化简整理得sinAsinB=sinBcosA,结合sinB≠0解出tanA=,从而可得A的值.
(2)由三角形的面积公式,从而解出bc=4,再结合基本不等式求最值,即可得到a的取值范围.【解答】解
(1)∵asinB=bcosA.∴由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA,又∵sinB≠0,∴可得tanA=,∴A=.
(2)∵A=,△ABC的面积为=bcsinA=bc,∴解得bc=4,∴由余弦定理可得a==≥==2,当且仅当b=c=2时等号成立.综上,边a的取值范围为[2,+∞). 19.已知函数f(x)=x3﹣ax2+b(a,b∈R),其图象在点(1,f
(1))处的切线方程为x+y﹣3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】
(1)根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数,从而得到切线的斜率,建立等式关系,再根据切点在函数图象建立等式关系,解方程组即可求出a和b,从而得到函数f(x)的解析式;
(2)先求出f′(x)=0的值,根据极值与最值的求解方法,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值.【解答】解
(1)f′(x)=x2﹣2ax,∵(1,f
(1))在x+y﹣3=0上,∴y=﹣x+3=f
(1)=﹣a+b=2
①,f′
(1)=﹣1=1﹣2a
②,由
①②解得a=1,b=;
(2)∵f(x)=x3﹣x2+,∴f′(x)=x2﹣2x,由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有x(﹣∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0﹣0+f(x)增极大值减极小值增所以f(x)的单调递增区间是(﹣∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2).∵f
(0)=,f
(2)=,f(﹣2)=﹣4,f
(4)=8,∴在区间[﹣2,4]上的最大值为8. 20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S1+S3=18,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设{}是首项为1,公比为的等比数列,求数列{bn}前n项和Tn.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】
(1)由S1+S3=18,a1,a4,a13成等比数列.可得4a1+3d=18,=a1•(a1+12d),解出即可得出.
(2)由{}是首项为1,公比为的等比数列,可得=,bn=(2n+1)•3n﹣1.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.【解答】解
(1)∵S1+S3=18,a1,a4,a13成等比数列.∴4a1+3d=18,,即=a1•(a1+12d),解得a1=3,d=2.∴an=3+2(n﹣1)=2n+1.
(2)∵{}是首项为1,公比为的等比数列,∴=,∴bn=(2n+1)•3n﹣1.∴数列{bn}前n项和Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)•3n﹣1.3Tn=32+5×32+…+(2n﹣1)•3n﹣1+(2n+1)•3n,∴﹣2Tn=3+2×(3+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)•3n=+1﹣(2n+1)•3n∴Tn=n•3n. 21.已知函数f(x)=x﹣alnx﹣1(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x≥2时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】
(1)正确求得函数的导函数是关键,再求得导函数后,利用f(x)>0,解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论,由f′(x)以及x>0,可分a≤0和a>0来讨论得解.
(2)由f(x)≥0对x∈[2,+∞)上恒成立可分a≤2和a>2来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解.【解答】解
(1)f′(x)=1﹣=(x>0),当a≤0时,f(x)>0,在(0,+∞)上为增函数,当a>0时,令f′(x)==0,解得x=a,f(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数;
(2)f′(x)=1﹣=,当a≤2时,f(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,则f(x)是单调递增的,则f(x)>f
(2)>f
(1)=0恒成立,则a≤2,当a>2时,在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以x∈(2,a)时,f(x)<f
(2)<f
(1)=0这与f(x)≥0恒成立矛盾,故不成立综上a≤2. 22.已知椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两个不同点,O为坐标原点,若△OPQ的面积为,证明y12+y22为定值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】
(1)由离心率为e==,a=2c,2ab=4,由a2=b2+c2,解得a=2,b=,即可求得椭圆C的方程;
(2)直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,x1=x2,y1=﹣y2,由三角形面积公式即可求得|x1|和|y1|的值,可知y12+y22均为定值,当直线斜率存在,设出直线方程代入椭圆方程,利用△>0及韦达定理求得x1+x2和x1•x2的关系,利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积,求得a和k的关系式,即可证明x12+x22=4,利用y1=kx1+b,y2=kx2+b,即可求得y12+y22为定值;【解答】解
(1)椭圆C+=1(a>b>0)的焦点在x轴上,离心率为e==,a=2c,椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4,即2ab=4,由a2=b2+c2,解得a=2,b=,∴椭圆的标准方程为;
(2)证明当直线l⊥x轴时,,△OPQ的面积S=•丨x1丨•丨2y1丨=,解得丨x1丨=,丨y1丨=,故y12+y22=3当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,m≠0,,整理得(3+4k2)x2+8kbx+4b2﹣12=0,△=(8kb)2﹣4(3+4k2)•(4b2﹣12)=48(3+4k2﹣b2)>0,即3+4k2>b2,由韦达定理可知x1+x2=﹣,x1•x2=,∴丨PQ丨=•=4••,点O到直线l的距离为d=,则△OPQ的面积S=•d•丨PQ丨=••4••=2•,即2•=,整理得3+4k2=b2,满足△>0,∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=(﹣)2﹣2×=4,y1=kx1+b,y2=kx2+b,∴y12+y22=k2(x12+x22)+2kb(x1+x2)+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3,综上可知y12+y22=3均为定值. xx年2月1日。