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2019-2020年高二上学期期末数学试卷(理科)含解析II 一.选择题本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x﹣y+1=0的斜率是( )A.1B.﹣1C.D.2.方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为( )A.(﹣2,0),2B.(﹣2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),43.若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直,则a的值为( )A.4B.﹣4C.1D.﹣14.在空间直角坐标系中,点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为( )A.(﹣1,﹣2,3)B.(﹣1,﹣2,﹣3)C.(﹣1,2,﹣3)D.(1,2,3)5.已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,下面说法正确的是( )A.⇒α∥βB.⇒m∥nC.⇒l∥βD.⇒m⊥γ6.“直线l的方程为y=k(x﹣2)”是“直线l经过点(2,0)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( )A.B.C.D.8.实数x,y满足,若μ=2x﹣y的最小值为﹣4,则实数a等于( )A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.6 二.填空题本大题共6小题,每小题4分,共24分.9.双曲线=1的渐近线方程是 .10.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2的周长为 .11.已知命题p∀x>1,x2﹣2x+1>0,则¬p是 (真命题/假命题).12.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,a,1),若AB⊥AC,则实数a的值为 .13.已知点P是圆x2+y2=1上的动点,Q是直线l3x+4y﹣10=0上的动点,则|PQ|的最小值为 .14.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M是侧棱AA1的中点,点P、Q分别是侧面BCC1B
1、底面ABC内的动点,且A1P∥平面BCM,PQ⊥平面BCM,则点Q的轨迹的长度为 . 三.解答题本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(10分)已知圆M过点A(0,),B(1,0),C(﹣3,0).(Ⅰ)求圆M的方程;(Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D、E两点,且|DE|=2,求直线l的方程.16.(10分)已知抛物线C y2=4x,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,定点M(5,0).(Ⅰ)若直线l的斜率为1,求△ABM的面积;(Ⅱ)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形,求直线l的方程.17.(12分)如图,在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中,D为PC的中点,PA=AB=1,PB=PC=.(Ⅰ)求证PA⊥平面ABC;(Ⅱ)求BD与平面ABC所成角的大小;(Ⅲ)求二面角D﹣AB﹣C的余弦值.18.(12分)已知椭圆C+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F2,右顶点为A,上顶点为B,△BF1F2是边长为2的正三角形.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率;(Ⅱ)是否存在过点F2的直线l,交椭圆于两点P、Q,使得PA∥QF1,如果存在,试求直线l的方程,如果不存在,请说明理由. xx北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一.选择题本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x﹣y+1=0的斜率是( )A.1B.﹣1C.D.【考点】直线的斜率.【分析】利用直线斜率的计算公式即可得出.【解答】解直线x﹣y+1=0的斜率==1.故选A.【点评】本题考查了直线斜率的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 2.方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为( )A.(﹣2,0),2B.(﹣2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),4【考点】圆的一般方程.【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后,即可得到圆心与半径.【解答】解把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得(x﹣2)2+y2=4,所以圆心坐标为(2,0),半径为2,故选C.【点评】此题比较简单,要求学生会把圆的一般方程化为标准方程. 3.若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直,则a的值为( )A.4B.﹣4C.1D.﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【解答】解∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直,∴=﹣1,解得a=4.故选A.【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件,考查推理能力与计算能力,属于基础题. 4.在空间直角坐标系中,点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为( )A.(﹣1,﹣2,3)B.(﹣1,﹣2,﹣3)C.(﹣1,2,﹣3)D.(1,2,3)【考点】空间中的点的坐标.【分析】点(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,﹣c).【解答】解在空间直角坐标系中,点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为(1,2,3).故选D.【点评】本题考查点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间直角坐标系的性质的合理运用. 5.已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,下面说法正确的是( )A.⇒α∥βB.⇒m∥nC.⇒l∥βD.⇒m⊥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中,α与β相交或平行;在B中,m与n相交、平行或异面;在C中,l与β相交、平行或l⊂β;在D中,由线面垂直的判定定理得m⊥γ.【解答】解三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,知在A中,⇒α与β相交或平行,故A错误;在B中,⇒m与n相交、平行或异面,故B错误;在C中,⇒l与β相交、平行或l⊂β,故C错误;在D中,⇒m⊥γ,由线面垂直的判定定理得m⊥γ,故D正确.故选D.【点评】本题考查命题真判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用. 6.“直线l的方程为y=k(x﹣2)”是“直线l经过点(2,0)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解若直线l的方程为y=k(x﹣2),则直线l过(2,0),是充分条件,若直线l经过点(2,0),则直线方程不一定是y=k(x﹣2),比如直线x=0,故不是必要条件,故选A.【点评】本题考查了充分必要条件,考查直线方程问题,是一道基础题. 7.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( )A.B.C.D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形.【解答】解如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形.则三棱锥的体积V==.故选B.【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 8.实数x,y满足,若μ=2x﹣y的最小值为﹣4,则实数a等于( )A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.6【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(a﹣1,a),化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ,由图可知,当直线y=2x﹣μ过A时,直线在y轴上的截距最大,μ有最小值为2(a﹣1)﹣a=﹣4,即a=﹣2.故选C.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 二.填空题本大题共6小题,每小题4分,共24分.9.双曲线=1的渐近线方程是 y=±2x .【考点】双曲线的简单性质.【分析】渐近线方程是=0,整理后就得到双曲线的渐近线方程.【解答】解∵双曲线标准方程为=1,其渐近线方程是=0,整理得y=±2x.故答案为y=±2x.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.属于基础题. 10.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2的周长为 6 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】确定椭圆中a,b,c,由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,进而计算可得△PF1F2的周长.【解答】解由题意知椭圆+=1中a=2,b=,c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6.故答案为6.【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识,属于基础题. 11.已知命题p∀x>1,x2﹣2x+1>0,则¬p是 假命题 (真命题/假命题).【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定.【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,写出原命题的否定,进而可得答案.【解答】解∵命题p∀x>1,x2﹣2x+1>0,∴¬p∃x>1,x2﹣2x+1≤0,由x2﹣2x+1=(x﹣1)2>0在x>1时,恒成立,故¬p为假命题,故答案为假命题【点评】本题考查的知识点是命题的否定,全称命题,难度不大,属于基础题. 12.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,a,1),若AB⊥AC,则实数a的值为 ﹣1 .【考点】空间向量的数量积运算.【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=(1,1,﹣2),=(﹣1,a,﹣1),再由向量垂直的性质能求出a.【解答】解A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,a,1),=(1,1,﹣2),=(﹣1,a,﹣1),∵AB⊥AC,∴=﹣1+a+2=0,解得a=﹣1.故答案为﹣1.【点评】本题考查空数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理运用. 13.已知点P是圆x2+y2=1上的动点,Q是直线l3x+4y﹣10=0上的动点,则|PQ|的最小值为 1 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值.【解答】解圆心(0,0)到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2.再由d﹣r=2﹣1=1,知最小距离为1.故答案为1【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,是基础题. 14.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M是侧棱AA1的中点,点P、Q分别是侧面BCC1B
1、底面ABC内的动点,且A1P∥平面BCM,PQ⊥平面BCM,则点Q的轨迹的长度为 .【考点】平面与平面之间的位置关系;棱柱的结构特征.【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心,且与BC平行的线段,进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2,可得答案.【解答】解∵点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P∥平面BCM,则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线,则P点的轨迹是连接侧棱BB1,CC1中点的线段l,∵Q是底面ABC内的动点,且PQ⊥平面BCM,则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m,故线段m过△MBC的重心,且与BC平行,由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2,故线段m的长为×2=,故答案为【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,棱柱的几何特征,动点的轨迹,难度中档. 三.解答题本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(10分)(xx秋•海淀区期末)已知圆M过点A(0,),B(1,0),C(﹣3,0).(Ⅰ)求圆M的方程;(Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D、E两点,且|DE|=2,求直线l的方程.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)利用待定系数法,求圆M的方程;(Ⅱ)分类讨论,利用|DE|=2,求直线l的方程.【解答】解(Ⅰ)设圆M x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,∴D=2,E=0,F=﹣3…故圆M x2+y2+2x﹣3=0,即(x+1)2+y2=4…(Ⅱ)由(Ⅰ)得,M(﹣1,0).设N为DE中点,则MN⊥l,|DN|=|EN|=…此时|MN|==1.…(6分)当l的斜率不存在时,c=0,此时|MN|=1,符合题意…(7分)当l的斜率存在时,设l y=kx+2,由题意=1,…(8分)解得k=,…(9分)故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…(10分)综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 16.(10分)(xx秋•海淀区期末)已知抛物线C y2=4x,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,定点M(5,0).(Ⅰ)若直线l的斜率为1,求△ABM的面积;(Ⅱ)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形,求直线l的方程.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(Ⅰ)AB的斜率为1时,l y=x﹣1,代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0,求出|AB|,点M到直线AB的距离,即可求△ABM的面积;(Ⅱ)设出过焦点弦的直线方程,与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理表示出x1+x2=2+,x1x2=1,y1y2=﹣4,由MA⊥MB,求得k值,进而得出结论.【解答】解(Ⅰ)由题意F(1,0),当AB的斜率为1时,l y=x﹣1…(1分)代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0…(2分)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8,…点M到直线AB的距离d==2…∴△ABM的面积S==8;…(Ⅱ)易知直线l⊥x时不符合题意.可设焦点弦方程为y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2+,x1x2=1,y1y2=﹣4∵MA⊥MB,=(x1﹣5,y1),=(x2﹣5,y2),∴=x1x2﹣5(x1+x2)+25+y1y2=22﹣5×(2+)=0,∴k=.…(9分)故L的方程为y=(x﹣1)…(10分)【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 17.(12分)(xx秋•海淀区期末)如图,在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中,D为PC的中点,PA=AB=1,PB=PC=.(Ⅰ)求证PA⊥平面ABC;(Ⅱ)求BD与平面ABC所成角的大小;(Ⅲ)求二面角D﹣AB﹣C的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.【分析】(Ⅰ)推导出PA⊥AB,PA⊥AC,由此能证明PA⊥平面ABC.(Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AP为z轴,平面ABC中垂直于AB的直线为y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出BD与平面ABC所成角.(Ⅲ)求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量,由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值.【解答】证明(Ⅰ)∵PA=AB=1,PB=,∴PA⊥AB,…(1分)∵底面是正三角形,∴AC=AB=1,∵PC=,∴PA⊥AC,…(2分)∵AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,∴PA⊥平面ABC.…(Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AP为z轴,平面ABC中垂直于AB的直线为y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(,0),P(0,0,1),…∴D(),=(﹣).…平面ABC的法向量为=(0,0,1),…(6分)记BD与平面ABC所成的角为θ,则sinθ==,…(7分)∴,∴BD与平面ABC所成角为.…(8分)(Ⅲ)设平面ABD的法向量为=(x,y,z),则,取y=2,得=(0,2,﹣).…(11分)记二面角D﹣AB﹣C的大小为α,则cosα==,∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为.…(12分)【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 18.(12分)(xx秋•海淀区期末)已知椭圆C+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F2,右顶点为A,上顶点为B,△BF1F2是边长为2的正三角形.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率;(Ⅱ)是否存在过点F2的直线l,交椭圆于两点P、Q,使得PA∥QF1,如果存在,试求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)由△BF1F2是边长为2的正三角形,a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,e==,即可求得椭圆C的标准方程及离心率;(Ⅱ)解法1由(Ⅰ)得,F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),设直线l的方程为x=my+1,代入椭圆方程,利用韦达定理求得y1+y2=﹣,y1•y2=﹣,由向量的共线定理求得y2=﹣2y1,即可求得y1和y2,则即可求得m的值,即可求得直线方程;解法2当直线l⊥x时,=1≠,则PA∥QF1不成立,不符合题意,设直线L的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2,即可求得k的值,求得直线方程.【解答】解(Ⅰ)椭圆C+=1(a>b>0)焦点在x轴上,由△BF1F2是边长为2的正三角形,a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,…(2分)∴椭圆C的标准方程为,…椭圆的离心率e==;…(Ⅱ)解法1由(Ⅰ)得,F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2).显然直线l的斜率不为零,设直线l的方程为x=my+1,则,…整理得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,△=36m2+36(3m2+4)=144m2+144>0,由韦达定理可知y1+y2=﹣,y1•y2=﹣,…(7分)则=(x1﹣2,y1)=(my1﹣1,y1)=(x2+1,y2)=(my2+2,y2),…(8分)若PA∥QF1,则(my1﹣1)y2=(my2+2)y1,即y2=﹣2y1,…(9分)解得,则y1•y2=﹣,…(10分)故=,解得5m2=4,即m=±,…(11分)故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1,即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0…(12分)解法2由(Ⅰ)得F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),直线l⊥x时,=1≠,则PA∥QF1不成立,不符合题意.…可设直线L的方程为y=k(x﹣1)..…(6分),消去y,可得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,…(7分)则△=144(k2+1)>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2).则x1+x2=﹣,
①x1•x2=,
②.…(8分)=(x1﹣2,y1),=(x2+1,y2).若PA∥QF1,则∥,则k(x1﹣2)(x2﹣1)﹣k(x2+1)(x1﹣1)=0.化简得2x1+x2﹣3=0
③.…(9分)联立
①③可得x1=,x2=,…(10分)代入
②可以解得k=±.…(11分)故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0.…(12分)【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题. 。