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2019-2020年高二上学期期末考试(数学理)I
一、选择题(每小题4分,共48分)1.若二面角为1200,直线,则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是()(A)(B)[300,600](C)[600,900](D)[300,900]2.抛物线的焦点坐标为(A).(B).(C).(D).3.如果双曲线的两个焦点分别为、,一条渐近线方程为,那么它的两条准线间的距离是()A. B. C. D.4.已知平面与平面相交,直线,则()(A)内必存在直线与平行,且存在直线与垂直(B)内不一定存在直线与平行,不一定存在直线与垂直(C)内不一定存在直线与平行,但必存在直线与垂直(D)内必存在直线与平行,却不一定存在直线与垂直5.双曲线的左、右焦点分别为、,过焦点且垂直于轴的弦为,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是DD1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角为()(A)(B)(C)(D)与P点的位置有关7.已知二面角的大小为,为异面直线,且,则所成的角为()(A)(B)(C)(D)8.曲线与曲线的()A焦距相等B离心率相等C焦点相同D准线相同9.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的动点,则线段中点的轨迹方程是()A.B.C.D.10.设正三棱锥V—ABC的底边长为,高为2,则侧棱与底面所成角的大小为()A.B.C.D.11.已知椭圆的两个焦点是,且点在椭圆上,则椭圆的标准方程是()A.B.C.D.12.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(A)2(B)6(C)4(D)12
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在三棱锥中,三条棱两两互相垂直,且是边的中点,则与平面所成角的大小是________________(用反三角函数表示)
14.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则双曲线的离心率为.
15.如图,在正三棱柱中,若二面角的大小为,则到平面的距离为_____________.
16.若球的表面积为,则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为.
三、解答题
17.(10分)在长方体中,已知,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
18.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB
1、AC1的中点.(Ⅰ)证明ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(Ⅱ)设AA1=AC=AB,求二面角A1-AD-C1的大小.19.(12分)已知双曲线的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,,.
(1)求双曲线的方程;
(2)设Q是双曲线上的一点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若,求直线l的斜率.
20.(20分)如图底面是菱形的四棱锥P—ABCD中点E在PD上且PE:ED=2:
1.Ⅰ证明PA⊥平面ABCD;Ⅱ求以AC为棱EAC与DAC为面的二面角θ的大小:Ⅲ在棱PC上是否存在一点F使BF∥平面AEC证明你的结论.天水一中xx----xx学年第一学期xx级期末考试数学理科答案
1、选择题DBCCCCBACAAC
1、填空题
13.
14.
15.
16.π
1、解答题
17.[解法一]连接,为异面直线与所成的角.连接,在△中,,则.异面直线与所成角的大小为.[解法二]以为坐标原点,分别以、、所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系则,得.设与的夹角为,则,与的夹角大小为,即异面直线与所成角的大小为.
18.解法一(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EOC1C,又C1CB1B,所以EODB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.∵AB=BC,∴BO⊥AC,又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1,∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.(Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=AB可知,A1ACC1为正方形,∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.不妨设AA1=2,则AC=2,AB=ED=OB=1,EF==,tan∠A1FE=,∴∠A1FE=60°.所以二面角A1-AD-C1为60°.解法二(Ⅰ)如图,建立直角坐标系O-xyz,其中原点O为AC的中点.设Aa,0,0,B0,b,0,B10,b,2c.则C-a,0,0,C1-a,0,2c,E0,0,c,D0,b,c.=(0,b,0),=0,0,2c.·=0,∴ED⊥BB1.又=-2a,0,2c,·=0,∴ED⊥AC1,所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.(Ⅱ)不妨设A1,0,0,则B0,1,0,C-1,0,0,A11,0,2,=-1,-1,0,=-1,1,0,=0,0,2,·=0,·=0,即BC⊥AB,BC⊥AA1,又AB∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AD.又 E0,0,1,D0,1,1,C-1,0,1,=-1,0,-1,=-1,0,1,=0,1,0,·=0,·=0,即EC⊥AE,EC⊥ED,又AE∩ED=E,∴ EC⊥面C1AD. cos<,>=EQ\f·||·||=,即得和的夹角为60°.所以二面角A1-AD-C1为60°.
19.解
(1)由条件知,,,∴,代入中得,∴,.故双曲线的方程为.(6分)
(2)∵点F的坐标为,∴可设直线l的方程为,令,得,即.设,则由得,即,即∵,∴,得,.故直线l的斜率为.(12分)
20.Ⅰ证明因为底面ABCD是菱形∠ABC=60º所以AB=AD=AC=a.在△PAB中由知PA⊥AB.同理PA⊥AD所以PA⊥平面ABCD.Ⅱ解:作EG∥PA交AD于G由PA⊥平面ABCD知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H连结EH则EH⊥AC.∠EHG为二面角θ的平面角.又PE:ED=2:1所以从而Ⅲ解法一以A为坐标原点直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图由题设条件,相关各点的坐标分别为A000BD0a0P00aE0所以设点F是棱PC上的点其中0λ1则=令得即.解得即时共面.又BF平面AEC所以当F是棱PC的时BF∥平面AEC.解法二当F是棱PC的中点时BF∥平面AEC.证明如下.证法一取PE的中点M连结FM则FM∥CE.
①由知E是MD的中点.连接BM、BD设BDAC=O,则O为BD的中点所以BM∥OE
②由
①、
②知平面BFM∥平面AEC.证法二因为==所以、、共面又BF平面AEC从而BF∥平面AECABCDEA1B1C1ABCDEA1B1C1OFABCDEA1B1C1Ozxy。