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2019-2020年高二数学上学期期中试题文II
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求1.直线x+y-1=0的倾斜角为A.30°B.60°C.120°D.150°解析 由已知,直线的斜率k=-可得倾斜角为150°故选D.答案 D2.椭圆的长轴为2,离心率为,则其短半轴为 A.B.C.D.解析 由已知,a=1=所以c=.于是b2=a2-c2=从而b=故选C.答案 C3.直线l1ax+2y-1=0与直线l2x+a+1y+4=0平行,则 A.a=1或a=2B.a=1或a=-2C.a=1D.a=-2答案 B解析 由aa+1=2可得a=1或a=-
2.经检验,均符合题意故选B.4.经过抛物线y2=4x的焦点且垂直于直线3x-2y=0的直线l的方程是 A.3x-2y-3=0B.6x-4y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0解析 设垂直于直线3x-2y=0的直线l的方程为2x+3y+c=0由于直线l经过抛物线y2=4x的焦点为F10所以c=-2故选C.答案 C5.已知圆C x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为 A.4B.-4C.6D.-6解析 圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=
6.答案 C
6.设正数x,y满足,则4x+6y-1的最大值为A.3B.4C.5D.6解析 如图,作出可行域,容易得最优解为P
10.5,将x=1y=
0.5代入目标函数z=4x+6y-1得6,故选D答案 D7.在焦点分别为F
1、F2的双曲线上有一点P若∠F1PF2=,|PF2|=2|PF1|则该双曲线的离心率等于 A.B.C.2D.解析 不妨设|PF2|=2|PF1|=2m,则由∠F1PF2=得5m2=4c2m=c.又由双曲线的定义知|PF2|-|PF1|=2ac=a.离心率e==.答案 D8.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3B.2C.D.解析 设双曲线的方程为-=1,椭圆的方程为+=1,由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==
2.答案 B9.如图过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+y-12=1于点A、B、C、D,则|AB|×|CD|的值是 A.8B.4C.2D.1解析 法一特殊化(只要考查直线y=1时的情形)法二抛物线焦点为F01,设直线为y=kx+1与x2=4y联立得y2-4k2+2y+1=0由于|AB|=|AF|-1=yA,|CD|=|DF|-1=yB所以,|AB|·|CD|=yAyB=
1.答案 D10.已知椭圆+=1a0,b0,M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上的动点,且直线PM,PN的斜率分别为k1k2k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1则椭圆的离心率为 A.D.C.D.解析设Mx0,y0,N-x0,-y0,Px,y,则k1=,k2=.又∵M、N、P都在椭圆+=1上,∴∴b2x2-x=-a2y2-y.∴=-.∴=-k2,即|k1|·|k2|=.又∵|k1|+|k2|≥2=.∴=,即2b2=a2,∴2a2-c2=a2,即2c2=a2∴=,即e2=,∴e=.答案D
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上11.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a=.解析 抛物线的标准方程为x2=y,由条件得2=-,a=-.答案 -12.过点A12且与圆x2+y2=1相切的直线方程是.解析 设切线方程为y-2=kx-1即kx-y+2-k=0由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即=1解得k=其方程为3x-4y+5=
0.又,当斜率不存在时,切线方程为x=1答案 3x-4y+5=0或x=113.若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程是.解析抛物线y2=8x的焦点坐标为20,则依题意知椭圆的右顶点的坐标为20,又椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,∴a=2,c=,∵c2=a2-b2,∴b2=2,∴椭圆的方程为+=
1.答案+=114.已知圆锥曲线+=1的离心率等于,则m=解析当方程表示焦点在x轴上的椭圆时,0<m<4且=解得m=1;当方程表示焦点在y轴上的椭圆时,4<m,且=解得m=
16.答案1或1615.如图,平行光线与水平地面成30°角已知足球在地面上的影子是椭圆形,则该椭圆的离心率为解析已知桌面上有一个球半径为R一束平行光线与桌面成角则球在桌面上的投影椭圆的离心率如图,和是两条与球相切的光线,分别切于点A和点C,分别与桌面交于点B和点D,则AC就是球的直径,BD的长就是椭圆的长轴长过点A作AE//BD,交于点E,则BD=AE在Rt△AEC中因为∠AEC=所以AE=即,又因为所以所以.答案[注选修1-1第25页对此进行了详细论述]
三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.本题满分12分定义直线y=±x为双曲线—=1a>0b>0的渐近线已知圆C与双曲线x2-y2=1的渐近线相切于点P2,-2,且圆心C在直线y=-3x上,求圆C的方程解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x法一 设圆的标准方程为x-a2+y-b2=r2,则有,解得a=1,b=-3,r=.∴圆的方程为x-12+y+32=
2.法二 过切点且与x+y=0垂直的直线为y+2=x-2,与y=-3x联立可求得圆心为1,-3.∴半径r==,∴所求圆的方程为x-12+y+32=
2.17.本题满分12分点M到点F40的距离比它到直线l:x+6=0的距离小
2.1求点M的轨迹方程;2若直线y=x-5与1中的轨迹交于A、B两点,求线段AB的长度解析[注选自选修1-1第37页例2]1法一由题意可知点M到点F40的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等,故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线由=4得p=8所以其方程为y2=16x.法二设Mxy,则由题意可得+2=|x+6|化简得:y2=16x.2法一设Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|==|x1-x2|=|x1-x2|由得:x2-26x+25=0所以|x1-x2|===24于是|AB|=|x1-x2|=24法二设Ax1,y1,Bx2,y2由得:x2-26x+25=0,解得x1=1x2=
25.所以A1-4,B2520从而|AB|==2418.本题满分12分抛物线的顶点在原点它的准线过双曲线-=1a>0,b>0的一个焦点,并与双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为,求抛物线与双曲线的方程.解析 由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,所以p=2c,所以抛物线方程为y2=4cx.因为抛物线过点,所以6=4c·,所以c=
1.故抛物线方程为y2=4x.又双曲线-=1过点,所以-=
1.又a2+b2=c2=1,所以代入得-=1,所以a2=或a2=9舍,所以b2=,故双曲线方程为4x2-=
1.19.本题满分12分中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线经过P3-
4、Q,5两点1求双曲线的方程;2设F
1、F2是双曲线的两个焦点M是双曲线上位于第一象限的一点且满足∠F1MF2=60°求点M的坐标解析[注选自选修1-1第44页A组题第4题]1法一当双曲线的焦点在x轴上时,设-=1a>0b>0则解得a2=-9b2=-16舍去;当双曲线的焦点在y轴上时,设-=1a>0b>0则解得a2=16b2=9所以所求方程为-=
1.综上,双曲线的方程为-=
1.法二设双曲线的方程为Ax2-By2=1则解得A=-,B=-所以所求方程为-=
1.2如图,设|MF1|=m|MF2|=n则由双曲线的定义及余弦定理可得解得m=-4n=+4设Mxy,则由解得x=±,y=由于点M在第一象限,故M,.法二设△F1MF2的面积为S,则S=mnsin60°=-4+4sin60°=又,S=F1F2xm=5xm所以=5xm,得xm=20.本题满分13分已知椭圆C+=1ab0的离心率为,其中左焦点F-20.1求椭圆C的方程;2若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M关于直线y=x+1的对称点在圆x2+y2=1上,求m的值.解析1由题意,得,解得∴椭圆C的方程为+=
1.2设点A、B的坐标分别为x1,y1,x2,y2,线段AB的中点为Mx3,y3,M关于直线y=x+1的对称点为Nx4,y4由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,∴Δ=96-8m20,∴-2m
2.∴x3==-,y3=x3+m=.又,∵点Nx4,y4在圆x2+y2=1上,或经检验均满足-2m2,或21.本题满分14分已知B、C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于
18.设顶点A的轨迹为曲线M.1求曲线M的方程;2设O为BC的中点,直线AB与曲线M的另一个交点为D,求△OAD面积的最大值解析[注选自选修1-1第28页例题1]1由已知得|AB|+|AC|=10由椭圆的定义可知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且2c=82a=10即c=4a=5所以b2=a2-c2=9如图建立直角坐标系,以BC所在直线为x轴,BC中点为坐标原点当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C不能构成三角形因此,点A的轨迹方程是+=1y≠02法一
①当直线AD的斜率不存在时,易求得|AD|=,点O到直线AD的距离d=4,所以S△AOD=;
②当直线AD的斜率存在时,设Ax1y1Dx2y2直线AD的方程为y=kx+4则由得25k2+9x2+200k2x+400k2―225=0所以x1+x2=-,x1x2=于是|AD|=|x1―x2|==×=×=又,点O到直线AD的距离d=所以,S△AOD=|AD|d=180令=t,则S△AOD=180=180=20=≤=当,即时取等号此时,.由知,S△AOD的最大值为法二设Ax1y1Dx2y2直线AD的方程为x=ty―4则整理得9t2+25y2―72ty―81=0所以S△AOD=|OB||y1―y2|=2|y1―y2|=2=2=180以下同解法一注若把焦点放在纵轴上,则参照以上步骤进行评分,此处略去过程勘误将题干中的“最小值为1”改为“最小值为eq\r2”[修改选项可能给考生带来想像的空间,四个选项都改也显得不好,因此修改题干合适些]太阳光线EMBEDEquation.3ABCDOxy。