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2019-2020年高二数学上学期期末考试试题理II
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、双曲线的渐近线的方程为()A.B.C.D.
2、下列命题正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则
3、下列命题中,假命题是()A.B.C.D.
4、不等式的解集是()A.或B.C.或D.R
5、等差数列的前n项和是,若,则的值为()A.55B.65C.60D.
706、如图,空间四边形中,,点在上,且是的中点,则等于()A.B.C.D.
7、在中,若,那么等于()A.B.C.D.
8、一元二次方程有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是()A.B.C.D.
9、已知向量,且的夹角为钝角,则在平面上,点所在的区域是()
10、直三棱柱中,,则异面直线与所成的角为()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)
2、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的横线上.
11、已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为轴,且过点,则抛物线的方程为
12、如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度为海里/小时
13、设定义如下面数表,满足,且对任意自然数均有,则的值为
123454135214、已知满足约束条件,如果是取得最大值时的最优解,则实数的取值范围是
15.如图,南北方向的公路l,A地在公路正东2km处,B地在A东偏北方向2km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等现要在曲线PQ上一处建一座码头,向A、B两地运货物,经测算,从M到A、到B修建费用都为a万元/km那么,修建这条公路的总费用最低是_______________万元.
三、解答题本大题共6小题,满分74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、(本小题满分12分)已知命题方程所表示的图形是焦点在轴上的双曲线;命题方程无实根,又为真,为真,求实数的取值范围
17、(本小题满分12分)设锐角三角形的内角的对边分别为,且b=
(1)求的大小;
(2)若,求
18、(本小题满分12分)如图所示,在矩形中,,点是的中点,将沿折起到的位置,使二面角是直二面角
(1)证明
(2)求二面角的余弦值
19、(本小题满分12分)小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元,小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年)
(1)大货车运输到第几年底,该车运输累计收入超过总支出?
(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=运输累计收入+销售收入-总支出)
20、(本小题满分13分)在数列中,对任意成立,令,且是等比数列
(1)求实数的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求和
18、(本小题满分12分)如图所示,在矩形中,,点是的中点,将沿折起到的位置,使二面角是直二面角
(1)证明
(2)求二面角的余弦值
19、(本小题满分12分)小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元,小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年)
(1)大货车运输到第几年底,该车运输累计收入超过总支出?
(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=运输累计收入+销售收入-总支出)
20、(本小题满分13分)在数列中,对任意成立,令,且是等比数列
(1)求实数的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求和
21、(本小题满分13分)已知两点,点在以为焦点的椭圆,且构成等差数列
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,求四边形面积的最大值理科数学参考答案及评分标准
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.ADDCBBBCAC1.解析答案A,双曲线的渐近线方程为.2.解析答案D,选项A中忽略了当的情况,故A错;选项B的结论中不等号方向没改变,故B错;选项C中忽略了的情况,故C错.3.解析答案D,特殊值验证,∴是假命题,故选D.4.解析答案C,由得,故解集为.5.解析答案B,由得,由得,解得,所以.6.解析答案B,,,则=.7.解析答案B,在中,,则,由余弦定理得,又,=.8.解析答案C,有一个正根和一个负根的充要条件是即,则其充分不必要条件是.9.解析答案A,,的夹角为钝角,由=知则,等价于或,则不等式组表示的平面区域为A.10.解析答案C,设=1,则,=1,.则异面直线与所成的角为.
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分..
11.解析答案,设抛物线的方程为,代入点得,故抛物线的方程为.
12.解析答案,如图所示,在中,,,故,由正弦定理可得,解得,所以该船的航行速度为海里/小时.
13.解析答案,根据题意,,,,,,……,所以,数列是以为周期的周期数列,又,所以.
14.解析答案,画出可行域如图,将目标函数化为直线的斜截式方程,显然当目标函数方向线的斜率大于等于可行域的边界的斜率时,直线在点处截距最小,即时,是目标函数取得最大值时的最优解.
15.1116.解方程表示焦点在轴上的双曲线,,即.故命题;方程无实根,,即 ,.故命题.………………………………分又为真,为真, 真假.即,此时;综上所述实数的取值范围为.…………………………………………分17.解(Ⅰ)由,根据正弦定理得:,因为在三角形中所以,由为锐角三角形得.…………………………………………………………分
(2)根据余弦定理,得所以……………………………………………………………………………………分
18.解(Ⅰ),是的中点,,是等腰直角三角形,易知,即.又平面平面,面∩面面,又面;…………………………………………………………………………………分
(2)法一设是线段的中点,过作垂足为,连接,,则平面平面平面是在平面上的射影,由三垂线定理得是二面角的平面角.在中,,二面角的余弦值为.………………分法二分别以,所在的直线为轴、轴,过垂直于平面的射线为轴,建立如图空间直角坐标系.则,,设平面的法向量为;平面的法向量为二面角的余弦值为.………………………………………………………分19.解(Ⅰ)设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元,则,即,由,解得,而,故从第年开始运输累计收入超过总支出.………………………………………………………………………分
(2)因为利润=累计收入销售收入总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为,而,当且仅当时等号成立.即小王应当在第5年底将大货车出售,才能使年平均利润最大.……………………分
20.解(Ⅰ),,,,,,,数列为等比数列,,即,解得或(舍),当时,,即,,所以满足条件;……………………………………………………………分
(2),数列为等比数列,,,,,,,;……………………………………………………………………………………分
(3),,两式相减得,.…………………………………………………………………分
21.解(Ⅰ)依题意,设椭圆的方程为.构成等差数列,,又,,.椭圆的方程为.……………………………………………………………分
(2)将直线的方程代入椭圆的方程中,得.由直线与椭圆仅有一个公共点知,,化简得.设,,(法一)当时,设直线的倾斜角为,则,,………………………………………………………………………分,,当时,,因为在上单调递增,,.当时,四边形是矩形,.所以四边形面积的最大值为.…………………………………………分(法二),..……………………分四边形的面积,.当且仅当时,,故.所以四边形的面积的最大值为.……………………………………………分、MyONlxF1F2H。