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2019-2020年高二数学下学期期中试卷文(含解析)II
一、选择题(每小题5分,共60分)1.(5分)已知i是虚数单位,则(﹣1+i)(2﹣i)=()A.﹣3+iB.﹣1+3iC.﹣3+3iD.﹣1+i2.(5分)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(
11.3,2),(
11.8,3),(
12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(
11.3,4),(
11.8,3),(
12.5,2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则()A.r2<r1<0B.0<r2<r1C.r2<0<r1D.r2=r13.(5分)观察下列各式则72=49,73=343,74=2401,…则7xx的末两位数字为()A.01B.43C.07D.494.(5分)下面是关于复数z=的四个命题p1复数z对应的点在第二象限,p2z2=2i,p3z的共轭复数为1+i,p4z的虚部为﹣1.其中真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p45.(5分)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()A.B.C.D.6.(5分)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A“取到的2个数之和为偶数”,事件B“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()A.B.C.D.7.(5分)设某大学的女生体重y(单位kg)与身高x(单位cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=
0.85x﹣
85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加
0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为
58.79kg8.(5分)广州xx年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行,各城市之间的距离(单位百公里)见表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是()ABCDEA05456B50762C
47098.6D56905E
628.650A.
20.6B.21C.22D.239.(5分)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则()A.A+B为a1,a2,…,an的和B.为a1,a2,…,an的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数10.(5分)设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<011.(5分)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=﹣sinx,由归纳推理可得若定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(﹣x)=()A.﹣g(x)B.f(x)C.﹣f(x)D.g(x)12.(5分)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息,设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2.⊕运算规则为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是()A.10111B.01100C.11010D.00011
二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)观察下列等式12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律,第n个等式可为.14.(5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=.15.(5分)在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为.16.(5分)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).
①P(B)=;
②P(B|A1)=;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件.
三、解答题17.(10分)实数m为何值时,复数z=+(m2+m﹣2)i(i为虚数单位)是
(1)实数;
(2)纯虚数.18.(12分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位mm)的值落在(
29.94,
30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表甲厂分组
30.14)频数297185159766218
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由于以上统计数据填下面2×2
(3)列联表,并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附.19.(12分)设直线l1y=k1x+1,l2y=k2x﹣1,其中实数k1,k2满足k1k2+3=0.
(1)证明l1与l2相交;
(2)设l1与l2的交点为(a,b),求证3a2+b2为定值.20.(12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位千克)与月储蓄yi(单位千元)的数据资料,计算得xi=80,yi=20,xiyi=184,xi2=720.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+,并判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(Ⅱ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.注线性回归方程=x+中,=,其中,为样本平均值.21.(12分)已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次,某班共60人,在每个档次的人数如表优良及格不及格优1311良1076及格2409不及格1b7a+4
(1)求数学及格且英语良的概率;
(2)在数学及格的条件下,英语良的概率;
(3)若数学良与英语不及格是相互独立的,求a,b的值.22.(12分)已知函数f(x)=aex﹣x2(其中a∈R,e是自然对数底数).
(1)若a=﹣2,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求a的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,试证明0<f(x1)<1.河南省南阳市xx高二下学期期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共60分)1.(5分)已知i是虚数单位,则(﹣1+i)(2﹣i)=()A.﹣3+iB.﹣1+3iC.﹣3+3iD.﹣1+i考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析直接利用两个复数代数形式的乘法法则,以及虚数单位i的幂运算性质,运算求得结果.解答解(﹣1+i)(2﹣i)=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i,故选B.点评本题主要考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.2.(5分)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(
11.3,2),(
11.8,3),(
12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(
11.3,4),(
11.8,3),(
12.5,2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则()A.r2<r1<0B.0<r2<r1C.r2<0<r1D.r2=r1考点相关系数.专题计算题.分析求两组数据的相关系数的大小和正负,可以详细的解出这两组数据的相关系数,现分别求出两组数据的两个变量的平均数,利用相关系数的个数代入求出结果,进行比较.解答解∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(
11.3,2),(
11.8,3),(
12.5,4),(13,5),=
11.72∴这组数据的相关系数是r=,变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(
11.3,4),(
11.8,3),(
12.5,2),(13,1),∴这组数据的相关系数是﹣
0.3755,∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零,故选C.点评本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系,当相关系数为正时,表示两个变量正相关,也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系.3.(5分)观察下列各式则72=49,73=343,74=2401,…则7xx的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49考点归纳推理.专题推理和证明.分析由题意依次求出7的乘方对应的值,归纳出末两位数出现的规律,再确定7xx的末两位数.解答解根据题意得,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,79=40353607…,发现74k﹣2的末两位数字是49,74k﹣1的末两位数字是43,74k的末两位数字是01,74k+1的末两位数字是49,(k=
1、
2、
3、
4、…),∵xx=504×4﹣1,∴7xx的末两位数字为43,故选B.点评本题考查了归纳推理,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力.4.(5分)下面是关于复数z=的四个命题p1复数z对应的点在第二象限,p2z2=2i,p3z的共轭复数为1+i,p4z的虚部为﹣1.其中真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4考点复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.专题数系的扩充和复数.分析化简复数为a+bi的形式,即可利用复数的几何意义,基本运算判断选项即可.解答解复数z===﹣1﹣i.复数z对应的点(﹣1,﹣1)是在第三象限,p1不正确;z2=(﹣1﹣i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为﹣11+i,p3不正确;z的虚部为﹣1.p4正确.故选C.点评本题考查复数的基本运算,复数的基本概念的应用,考查计算能力.5.(5分)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()A.B.C.D.考点相互独立事件的概率乘法公式.专题计算题.分析根据题意,“事件A,B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件,由古典概型的计算方法,可得P(A)、P(B),进而可得P(),由对立事件的概率计算,可得答案.解答解根据题意,“事件A,B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件,由古典概型的计算方法,可得P(A)=,P(B)=,则P()=(1﹣)(1﹣)=,则“事件A,B中至少有一件发生”的概率为1﹣=;故选C.点评本题考查相互独立事件的概率的乘法公式,注意分析题意,首先明确事件之间的相互关系(互斥、对立等).6.(5分)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A“取到的2个数之和为偶数”,事件B“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()A.B.C.D.考点条件概率与独立事件.专题计算题.分析用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数,求p(A),同理求出P(AB),根据条件概率公式P(B|A)=即可求得结果.解答解事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4),∴p(A)=,事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)=∴P(B|A)=.故选B.点评此题是个基础题.考查条件概率的计算公式,同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度.7.(5分)设某大学的女生体重y(单位kg)与身高x(单位cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=
0.85x﹣
85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加
0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为
58.79kg考点回归分析的初步应用.专题阅读型.分析根据回归方程为=
0.85x﹣
85.71,
0.85>0,可知A,B,C均正确,对于D回归方程只能进行预测,但不可断定.解答解对于A,
0.85>0,所以y与x具有正的线性相关关系,故正确;对于B,回归直线过样本点的中心(,),故正确;对于C,∵回归方程为=
0.85x﹣
85.71,∴该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加
0.85kg,故正确;对于D,x=170cm时,=
0.85×170﹣
85.71=
58.79,但这是预测值,不可断定其体重为
58.79kg,故不正确故选D.点评本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于中档题.8.(5分)广州xx年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行,各城市之间的距离(单位百公里)见表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是()ABCDEA05456B50762C
47098.6D56905E
628.650A.
20.6B.21C.22D.23考点频率分布表;统筹问题的思想及其应用的广泛性.专题概率与统计.分析以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33种结果,列举出六种结果的路途长度选出最短的路途,列出路径的长度,得到结果.解答解∵以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33=6种结果,列举出六种结果的路途长度选出最短的路途,A→B→C→D→E,总长是26,A→C→D→B→E,总长是21,A→B→D→C→E,总长是
28.6,A→D→B→C→E,总长是
26.6,A→C→B→D→E,总长是22,A→D→C→B→E,总长是23,总上可知最短的路径是21.故选B点评本题考查频率分布表,考查统筹问题的思想及其应用的广泛性,考查利用统计问题解决实际问题,本题采用列举法来解题.9.(5分)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则()A.A+B为a1,a2,…,an的和B.为a1,a2,…,an的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数考点循环结构.专题算法和程序框图.分析分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数.解答解分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知,该程序的作用是求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数其中A为a1,a2,…,an中最大的数,B为a1,a2,…,an中最小的数故选C.点评本题主要考查了循环结构,解题的关键是建立数学模型,根据每一步分析的结果,选择恰当的数学模型,属于中档题.10.(5分)设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0考点命题的真假判断与应用.专题计算题.分析设出复数z,求出z2,利用a,b的值,判断四个选项的正误即可.解答解设z=a+bi,a,b∈R,z2=a2﹣b2+2abi,对于A,z2≥0,则b=0,所以z是实数,真命题;对于B,z2<0,则a=0,且b≠0,⇒z是虚数;所以B为真命题;对于C,z是虚数,则b≠0,所以z2≥0是假命题.对于D,z是纯虚数,则a=0,b≠0,所以z2<0是真命题;故选C.点评本题考查复数真假命题的判断,复数的基本运算.11.(5分)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=﹣sinx,由归纳推理可得若定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(﹣x)=()A.﹣g(x)B.f(x)C.﹣f(x)D.g(x)考点归纳推理.专题规律型.分析由已知中(x2)=2x,(x4)=4x3,(cosx)=﹣sinx,…分析其规律,我们可以归纳推断出,偶函数的导函数为奇函数,再结合函数奇偶性的性质,即可得到答案.解答解由(x2)=2x中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;(x4)=4x3中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;(cosx)=﹣sinx中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;…我们可以推断,偶函数的导函数为奇函数.若定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,又∵g(x)为f(x)的导函数,则g(x)奇函数故g(﹣x)+g(x)=0,即g(﹣x)=﹣g(x),故选A.点评本题考查的知识点是归纳推理,及函数奇偶性的性质,其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系,得到结论是解答本题的关键.12.(5分)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息,设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2.⊕运算规则为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是()A.10111B.01100C.11010D.00011考点进行简单的合情推理.专题推理和证明.分析根据题意,只需验证是否满足h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2.经验证,A,B,C都符合.D中,h1=h0⊕a2=0⊕1=1,故错误解答解A选项原信息为101,则h0=a0⊕a1=1⊕0=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为11010,A选项不正确;B选项原信息为110,则h0=a0⊕a1=1⊕1=0,h1=h0⊕a2=0⊕0=0,所以传输信息为01100,B选项正确;C选项原信息为110,则h0=a0⊕a1=1⊕0=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为11010,C选项正确;D选项原信息为001,则h0=a0⊕a1=0⊕0=0,h1=h0⊕a2=0⊕1=1,所以传输信息为00011,D选项正确;故选A.点评本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.此题注意正确理解题意,根据要求进行计算.
二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)观察下列等式12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律,第n个等式可为.考点归纳推理.专题压轴题;规律型.分析等式的左边是正整数的平方和或差,根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…(﹣1)n﹣1n2.再分n为奇数和偶数讨论,结合分组求和法求和,最后利用字母表示即可.解答解观察下列等式12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…(﹣1)n﹣1n2.当n为偶数时,分组求和(12﹣22)+(32﹣42)+…+=﹣,当n为奇数时,第n个等式左边=(12﹣22)+(32﹣42)+…++n2=﹣+n2=.综上,第n个等式为.故答案为.点评本题考查规律型中的数字变化问题,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规律,还要注意看左右两边之间的联系.14.(5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=.考点复数求模.专题计算题.分析通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.解答解|z|===.故答案为.点评本题考查复数的模的求法,考查计算能力.15.(5分)在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为18.考点类比推理.专题立体几何.分析根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可.解答解平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,由平面图形面积类比立体图形的体积,得出在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为18故答案为18.点评本题主要考查类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或者一致性.
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).16.(5分)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
②④(写出所有正确结论的编号).
①P(B)=;
②P(B|A1)=;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件.考点条件概率与独立事件;互斥事件与对立事件.专题概率与统计.分析由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,由条件概率公式求出P(B|A1),P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),对照四个命题进行判断找出正确命题,选出正确选项.解答解由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=;P(B|A1)===,由此知,
②正确;P(B|A2)=,P(B|A3)=;而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×++=.由此知
①③不正确;A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知
④正确;对照四个命题知
②④正确;故答案为
②④.点评本题考查相互独立事件,解题的关键是理解题设中的各个事件,且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式,条件概率的求法,本题较复杂,正确理解事件的内蕴是解题的突破点.
三、解答题17.(10分)实数m为何值时,复数z=+(m2+m﹣2)i(i为虚数单位)是
(1)实数;
(2)纯虚数.考点复数的基本概念.专题数系的扩充和复数.分析
(1)根据复数为实数的充要条件列出方程组,注意分母不为零,求出m的值即可;
(2)根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组,注意分母不为零,求出m的值即可.解答解
(1)复数z为实数的充要条件是,解得m=1,所以m=1时复数z为实数…(5分)
(2)复数z为纯虚数的充要条件是,解得m=﹣3,所以m=﹣3时复数z为纯虚数…(10分)点评本题考查复数为纯虚数、实数的充要条件,牢记复数的基本概念是解题的关键,属于基础题.18.(12分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位mm)的值落在(
29.94,
30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表甲厂分组优质品360320680非优质品140180320合计5005001000≈
7.35>
6.635,所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”点评独立性检验的应用的步骤为根据已知条件将数据归结到一个表格内,列出列联表,再根据列联表中的数据,代入公式,计算出k值,然后代入离散系数表,比较即可得到答案.19.(12分)设直线l1y=k1x+1,l2y=k2x﹣1,其中实数k1,k2满足k1k2+3=0.
(1)证明l1与l2相交;
(2)设l1与l2的交点为(a,b),求证3a2+b2为定值.考点直线的一般式方程.专题反证法;直线与圆.分析
(1)用反证法,假设l1与l2不相交,则l1∥l2,k1=k2,得出矛盾,从而证明命题成立;
(2)根据点P的坐标满足两直线方程,求出3a2+b2是否为定值即可.解答解
(1)证明反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+3=0,得+3=0,此时与k1为实数的事实相矛盾;从而k1≠k2,即l1与l2相交;…(6分)
(2)因为交点P的坐标(a,b)满足,即(b﹣1)(b+1)=k1k2a2=﹣3a2,整理,得3a2+b2=1;所以3a2+b2为定值1.…(12分)点评本题考查了直线方程的应用问题,也考查了反证法的应用问题,是基础题目.20.(12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位千克)与月储蓄yi(单位千元)的数据资料,计算得xi=80,yi=20,xiyi=184,xi2=720.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+,并判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(Ⅱ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.注线性回归方程=x+中,=,其中,为样本平均值.考点线性回归方程.专题计算题;概率与统计.分析(Ⅰ)由题意可知n=10,=xi=8,=yi=2,代入可得b值,进而可得a值,可得方程,由回归方程x的系数b的正负可判;(Ⅱ)把x=7代入回归方程求其函数值即可.解答解(Ⅰ)由题意,n=10,=xi=8,=yi=2,∴==
0.3,=2﹣
0.3×8=﹣
0.4,∴=
0.3x﹣
0.4,∵
0.3>0,∴变量x与y之间是正相关;(Ⅱ)x=7时,=
0.3×7﹣
0.4=
1.7千元.点评本题考查线性回归方程的求解及应用,属基础题.21.(12分)已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次,某班共60人,在每个档次的人数如表优良及格不及格优1311良1076及格2409不及格1b7a+4
(1)求数学及格且英语良的概率;
(2)在数学及格的条件下,英语良的概率;
(3)若数学良与英语不及格是相互独立的,求a,b的值.考点列举法计算基本事件数及事件发生的概率.专题概率与统计.分析
(1)记数学及格且英语良为事件A,由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人,根据概率公式计算即可得到答案;
(2)数学及格的共有15人,其中英语良的7人,即可求出在数学及格的条件下,英语良的概率;
(3)记数学良为事件B,英语不及格为事件C,分别求出P(B),P(C),再根据概率公式计算即可得到答案.解答解
(1)记数学及格且英语良为事件A,由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人,故P(A)=…(3分)
(2)数学及格的共有15人,其中英语良的7人,故数学及格的条件下,英语良的概率为…(6分)
(3)表中所有数字和为a+b+47=60,∴a+b=13,记数学良为事件B,英语不及格为事件C.则P(B)=,P(C)==,P(BC)=,B与C独立,故m=﹣3,P(BC)=P(B)P(C),即﹣=,得b=5,a=8…(12分)点评本题考查了相互独立事件的乘法公式,考查了古典概型的概率加法公式,考查了学生的读取图表的能力,是中档题22.(12分)已知函数f(x)=aex﹣x2(其中a∈R,e是自然对数底数).
(1)若a=﹣2,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求a的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,试证明0<f(x1)<1.考点利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题导数的综合应用.分析
(1)将a=﹣2代入函数f(x)的表达式,求出函数的导数,从而求出函数的单调区间;
(2)问题转化为方程a=有两个根,设h(x)=,求出h(x)的导数,得到h(x)的单调区间,得到0<a<h
(1)=,从而求出a的范围;
(3)先求出a的值,从而表示出f(x1)的表达式,进而求出f(x1)的单调区间,从而证出结论.解答解
(1)a=﹣2时,f(x)=﹣2ex﹣x2,f′(x)=﹣2ex﹣2x,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)递减;
(2)函数f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是f′(x)=aex﹣2x=0的两个根,即方程a=有两个根,设h(x)=,则h′(x)=,令h′(x)>0,解得x<1,令h′(x)<0,解得x>1,∴h(x)在(﹣∞,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,要使a=有两个根,只需0<a<h
(1)=,故实数a的范围是(0,);
(3)证明由
(2)得函数f(x)的两个极值点x1,x2满足0<x1<1<x2,由f′(x1)=a﹣2x1=0得a=,∴f(x1)=a﹣=﹣+2x1,由于f(x1)=﹣+2x1在(0,1)递增,由0<x1<1得0=f
(0)<f(x1)<f
(1)=1.点评本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用,本题是一道中档题.。