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2019-2020年高二数学下学期期中试题理IV本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分,考试时间120分钟考试结束后,将答题卷和机读卡一并回收第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、单项选择题(本题共10道小题,每小题5分,共50分).
1.复数的虚部为()A.B.-1C.D.
12.已知()A.-5B.-15C.-3D.-
13.已知向量则一定是共线的三点是()A.BCDB.ABCC.ABDD.ACD
4.如图,平行六面体中,与的交点为.设,则下列向量中与相等的向量是()A.B.C.D.
5.已知平面的法向量分别是,,若,则的值()A.8B.6C.-10D.-
66.已知函数的值为()A.10B.C.D.
207.曲线在处的切线方程为()A.B.C.D.
8.已知函数fx=x3+ax2+bx在x=1处有极值10,则f2等于A.1B.2C.-2D.-
19.已知,是的导函数,即,,…,,,则A.B.C.D.
10.已知函数对定义域内的任意都有=且当时其导函数满足若则( )A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题(本题共5道小题,每小题5分,共25分).
11.已知复数 .12.已知为空间的一个基底,且,,能否以作为空间的一个基底(填“能”或“不能”).
13.已知函数的定义域为,部分对应值如下表的导函数的图象如图所示.下列关于的命题-10451221
①函数的极大值点为,;
②函数在上是减函数;
③如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;
④函数的零点个数可能为
0、
1、
2、
3、4个.其中正确命题的序号是.
14.已知在区间(1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是.
15.已知函数若方程有三个根,求满足条件的实数k的取值是.
3、解答题(本题共6道小题第1题12分第2题12分第3题12分第4题12分第5题13分第6题14分共75分)
16.(本小题满分12分)设复数,满足,且复数在复平面上对应的点在第
二、四象限的角平分线上.(Ⅰ)求复数;(Ⅱ)若为纯虚数求实数m的值.
17.(本小题满分12分)用总长为
14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多
0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.
18.(本小题满分12分)如图,三棱柱中,平面,,,.以,为邻边作平行四边形,连接和.(Ⅰ)求证∥平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)已知函数,(为常数),直线与函数、的图象都相切,且与函数图象的切点的横坐标为.(Ⅰ)求直线的方程及的值;(Ⅱ)若[注是的导函数],求函数的单调递增区间;
21.本小题满分14分已知函数为自然对数的底数,为常数).对于函数,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线.(Ⅰ)若,求的极值;(Ⅱ)讨论函数的单调性;(Ⅲ)设,试探究函数与函数是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.数学答案第Ⅰ卷(选择题,共50分)
1、单项选择题(本题共10道小题,每小题5分,共50分).
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.C
7.A
8.B
9.A
10.B第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
2、填空题(本题共5道小题,每小题5分,共25分).
11.
112.不能
13.
①②④
14.
15.1
三、解答题(本题共6道小题第1题12分第2题12分第3题12分第4题12分第5题13分第6题14分共75分)
16.解(Ⅰ)由得
①……………………………2分又复数=在复平面上对应的点在第
二、四象限的角平分线上,则即
②…………………………………4分由
①②联立的方程组得或…………………………5分∵∴………………………………………………………………6分(Ⅱ)由
(1)得……………………………………………………………8分=……………………………………10分∵为纯虚数∴…………………………………………………………………………………12分
17.解设容器底面宽为xm,则长为x+
0.5m,高为
3.2-2xm.由解得0x
1.6,…………………………………………………………3分设容器的容积为ym3,则有y=xx+
0.
53.2-2x=-2x3+
2.2x2+
1.6x(0x
1.6)………………………………6分y′=-6x2+
4.4x+
1.6,……………………………………………………………………7分令y′=0,即-6x2+
4.4x+
1.6=0,解得x=1,或x=-舍去.…………………………………………………………8分∵0x1时,y′0;1x
1.6时,y′
0.∴在定义域
01.6内x=1是唯一的极值点,且是极大值点,∴当x=1时,y取得最大值为
1.
8.……………………………………………………10分此时容器的高为
3.2-2=
1.2m.…………………………………………………………11分答容器高为
1.2m时容器的容积最大,最大容积为
1.8m
3.………………………………12分
18.(Ⅰ)连结如下图,……………………………………………………………………1分是三棱柱且,又四边形是平行四边形且且∴四边形为平行四边形,…………………………………………………3分……………………………………………………………………………4分又∵平,平面∴平面………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由,四边形为平行四边形得,底面如图,以为原点建立空间直角坐标系,………………………………………7分则,,,,,,………………………………………8分设平面的法向量为,则即,令,则,……………………………………………………………………………10分……………………………………………………11分∴直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………12分
19.解(I)由题意得与函数y=图象的切点为(1,∵切点(1,在图象上∴切点为(1,0)………………………………………………………………………………1分又∵∴直线的斜率为……………………………………………………………………3分∴直线的x-y-1=0……………………………………………………………………4分∵直线与函数y=的图象相切∴方程组只有一个解,即方程∴△=0,解得………………………………………………………………………………6分II由(I)得∴∴……………9分又∵令∴函数的单调递增区间为………………………………………………12分
21.(Ⅰ)若,则,,…………………1分由得又得;得,在单调递增,在单调递减;在处取得极大值无极小值.……………………………………3分(Ⅱ),………………………………………………………4分
①当时,由得由得函数在区间上是增函数,在区间上是减函数……………6分
②当时,对恒成立,此时函数是区间上的增函数;………………………………………………7分
③当时,由得由得函数在区间上是增函数,在区间上是减函数.……9分(Ⅲ)若存在,则恒成立,令,则,所以,………………………………………………11分因此对恒成立,即对恒成立,由得到,………………………………………………………………………12分现在只要判断是否恒成立,设,则,
①当时,
②当时,……………………………………………………13分所以,即恒成立,所以函数与函数存在“分界线”,且方程为………………14分。