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文本内容:
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3.1 导数的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.导数的概念与几何意义
1.了解导数概念的实际背景
2.理解导数的几何意义Ⅱ2017课标全国Ⅰ14;2017天津10;2016山东10;2015课标Ⅰ14;2015课标Ⅱ16选择题、填空题★★★
2.导数的运算
1.能根据导数定义求函数y=CC为常数y=xy=y=x2y=x3y=的导数
2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ2016天津10;2015天津11选择题、解答题分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运算公式和运算法则为基础以导数的几何意义为重点.
1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.
2.导数的运算是每年必考的内容一般不单独考查而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.
3.本节内容在高考中分值为5分左右属于容易题.五年高考考点一 导数的概念与几何意义
1.2016山东105分若函数y=fx的图象上存在两点使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直则称y=fx具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案 A
2.2014陕西105分如图修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接相切.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分则该函数的解析式为 A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x答案 A
3.2017天津105分已知a∈R设函数fx=ax-lnx的图象在点1f1处的切线为l则l在y轴上的截距为 . 答案
14.2017课标全国Ⅰ145分曲线y=x2+在点12处的切线方程为 . 答案 x-y+1=
05.2016课标全国Ⅲ165分已知fx为偶函数当x≤0时fx=e-x-1-x则曲线y=fx在点12处的切线方程是 . 答案 y=2x
6.2015课标Ⅰ145分已知函数fx=ax3+x+1的图象在点1f1处的切线过点27则a= . 答案
17.2015课标Ⅱ165分已知曲线y=x+lnx在点11处的切线与曲线y=ax2+a+2x+1相切则a= . 答案
88.2014江西115分若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0则点P的坐标是 . 答案 ee教师用书专用9—
159.2014广东115分曲线y=-5ex+3在点0-2处的切线方程为 . 答案 5x+y+2=
010.2013江西115分若曲线y=xα+1α∈R在点12处的切线经过坐标原点则α= . 答案
211.2013广东125分若曲线y=ax2-lnx在点1a处的切线平行于x轴则a= . 答案
12.2015山东2013分设函数fx=x+alnxgx=.已知曲线y=fx在点1f1处的切线与直线2x-y=0平行.1求a的值;2是否存在自然数k使得方程fx=gx在kk+1内存在唯一的根如果存在求出k;如果不存在请说明理由;3设函数mx=min{fxgx}min{pq}表示pq中的较小值求mx的最大值.解析 1由题意知曲线y=fx在点1f1处的切线斜率为2所以f1=2又fx=lnx++1所以a=
1.2k=1时方程fx=gx在12内存在唯一的根.设hx=fx-gx=x+1lnx-当x∈01]时hx
0.又h2=3ln2-=ln8-1-1=0所以存在x0∈12使得hx0=
0.因为hx=lnx++1+所以当x∈12时hx1-0当x∈2+∞时hx0所以当x∈1+∞时hx单调递增.所以k=1时方程fx=gx在kk+1内存在唯一的根.3由2知方程fx=gx在12内存在唯一的根x0且x∈0x0时fxgxx∈x0+∞时fxgx所以mx=当x∈0x0时若x∈01]mx≤0;若x∈1x0由mx=lnx++10可知0mx≤mx0;故mx≤mx
0.当x∈x0+∞时由mx=可得x∈x02时mx0mx单调递增;x∈2+∞时mx0mx单调递减可知mx≤m2=且mx0m
2.综上可得函数mx的最大值为.
13.2014山东2013分设函数fx=alnx+其中a为常数.1若a=0求曲线y=fx在点1f1处的切线方程;2讨论函数fx的单调性.解析 1由题意知a=0时fx=x∈0+∞此时fx=可得f1=又f1=0所以曲线y=fx在1f1处的切线方程为x-2y-1=
0.2函数fx的定义域为0+∞.fx=+=.当a≥0时fx0函数fx在0+∞上单调递增当a0时令gx=ax2+2a+2x+aΔ=2a+22-4a2=42a+
1.
①当a=-时Δ=0fx=≤0函数fx在0+∞上单调递减.
②当a-时Δ0gx0fx0函数fx在0+∞上单调递减.
③当-a0时Δ0设x1x2x1x2是函数gx的两个零点则x1=x2=.由于x1==0所以x∈0x1时gx0fx0函数fx单调递减x∈x1x2时gx0fx0函数fx单调递增x∈x2+∞时gx0fx0函数fx单调递减.综上可得:当a≥0时函数fx在0+∞上单调递增;当a≤-时函数fx在0+∞上单调递减;当-a0时fx在上单调递减在上单调递增.
14.2014北京2013分已知函数fx=2x3-3x.1求fx在区间[-21]上的最大值;2若过点P1t存在3条直线与曲线y=fx相切求t的取值范围;3问过点A-12B210C02分别存在几条直线与曲线y=fx相切只需写出结论解析 1由fx=2x3-3x得fx=6x2-
3.令fx=0得x=-或x=.因为f-2=-10f=f=-f1=-1所以fx在区间[-21]上的最大值为f=.2设过点P1t的直线与曲线y=fx相切于点x0y0则y0=2-3x0且切线斜率为k=6-3所以切线方程为y-y0=6-3x-x0因此t-y0=6-31-x
0.整理得4-6+t+3=
0.设gx=4x3-6x2+t+3则“过点P1t存在3条直线与曲线y=fx相切”等价于“gx有3个不同零点”.gx=12x2-12x=12xx-
1.gx与gx的变化情况如下表:x-∞000111+∞gx+0-0+gx↗t+3↘t+1↗所以g0=t+3是gx的极大值g1=t+1是gx的极小值.当g0=t+3≤0即t≤-3时此时gx在区间-∞1]和1+∞上分别至多有1个零点所以gx至多有2个零点.当g1=t+1≥0即t≥-1时此时gx在区间-∞0和[0+∞上分别至多有1个零点所以gx至多有2个零点.当g00且g10即-3t-1时因为g-1=t-70g2=t+110所以gx分别在区间[-10[01和[12上恰有1个零点.由于gx在区间-∞0和1+∞上单调所以gx分别在区间-∞0和[1+∞上恰有1个零点.综上可知当过点P1t存在3条直线与曲线y=fx相切时t的取值范围是-3-
1.3过点A-12存在3条直线与曲线y=fx相切;过点B210存在2条直线与曲线y=fx相切;过点C02存在1条直线与曲线y=fx相切.
15.2013北京1813分已知函数fx=x2+xsinx+cosx.1若曲线y=fx在点afa处与直线y=b相切求a与b的值;2若曲线y=fx与直线y=b有两个不同交点求b的取值范围.解析 由fx=x2+xsinx+cosx得fx=x2+cosx.1因为曲线y=fx在点afa处与直线y=b相切所以fa=a2+cosa=0b=fa.解得a=0b=f0=
1.2令fx=0得x=
0.fx与fx的情况如下:x-∞000+∞fx-0+fx↘1↗所以函数fx在区间-∞0上单调递减在区间0+∞上单调递增所以f0=1是fx的最小值.当b≤1时曲线y=fx与直线y=b最多只有一个交点;当b1时f-2b=f2b≥4b2-2b-14b-2b-1bf0=1b所以存在x1∈-2b0x2∈02b使得fx1=fx2=b.由于函数fx在区间-∞0和0+∞上均单调所以当b1时曲线y=fx与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知如果曲线y=fx与直线y=b有两个不同交点那么b的取值范围是1+∞.考点二 导数的运算
1.2016天津105分已知函数fx=2x+1exfx为fx的导函数则f0的值为 . 答案
32.2015天津115分已知函数fx=axlnxx∈0+∞其中a为实数fx为fx的导函数.若f1=3则a的值为 . 答案 3三年模拟A组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 导数的概念与几何意义
1.2018广东佛山一中期中考试11已知fx=x+aex的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直则a= A.-1B.0C.1D.2答案 A
2.2017四川名校一模6已知函数fx的图象如图fx是fx的导函数则下列数值排序正确的是 A.0f2f3f3-f2B.0f3f2f3-f2C.0f3f3-f2f2D.0f3-f2f2f3答案 C
3.2017湖北百所重点高中联考4已知函数fx+1=则曲线y=fx在点1f1处的切线的斜率为 A.1B.-1C.2D.-2答案 A
4.2018福建六校联考13曲线y=ex-e在A10处的切线方程是 . 答案 y=ex-e
5.2018河北“名校联盟”高三教学质量监测16设函数y=fx在其图象上任意一点x0y0处的切线方程为y-y0=3-6x0x-x0且f3=0则不等式≥0的解集为 . 答案 -∞0∪01]∪3+∞
6.2017湖南衡阳八中期中14曲线fx=xex在点1f1处的切线的斜率是 . 答案 2e
7.2017广东韶关六校联考14已知函数fx=lnx-ax2且曲线fx在点2f2处的切线的斜率是-则a= . 答案
8.2016北京东城期中16若过曲线fx=xlnx上的点P的切线斜率为2则点P的坐标为 . 答案 ee
9.人教A选1—1三2B1变式已知函数fx=gx=alnxa∈R.若曲线y=fx与曲线y=gx相交且在交点处有相同的切线则a= 切线方程为 . 答案 ;x-2ey+e2=0考点二 导数的运算
10.2018福建福安一中测试6已知fx=e-x+ex的导函数为fx则f1= A.e-B.e+C.1+D.0答案 A
11.2018福建福州八县联考11已知函数fx的导函数是fx且满足fx=2xf1+ln则f1= A.-eB.2C.-2D.e答案 B
12.2017山西名校联考3若函数fx的导函数的图象关于y轴对称则fx的解析式可能为 A.fx=3cosxB.fx=x3+x2C.fx=1+sin2xD.fx=ex+x答案 C
13.2016河北衡水中学二调10若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点则点P到直线y=x-2的最小距离为 A.1B.C.D.答案 B B组 2016—2018年模拟·提升题组满分:55分 时间:50分钟
一、选择题每小题5分共15分
1.2018福建福州八县联考9函数fx=4x3-6x2+a的极大值为6那么fa-5的值是 A.6B.5C.4D.3答案 C
2.2017河南郑州、平顶山、濮阳二模10设函数f0x=sinx定义f1x=f[f0x]f2x=f[f1x]……fnx=f[fn-1x]则f115°+f215°+f315°+…+f201715°的值是 A.B.C.0D.1答案 A
3.2016江西赣中南五校2月第一次联考11已知函数fnx=xn+1n∈N的图象与直线x=1交于点P若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为 A.-1B.1-log20132012C.-log20132012D.1答案 A
二、填空题每小题5分共10分
4.2017山西名校联考16设函数fx=且f-1=f1则当x0时fx的导函数fx的极小值为 . 答案
25.2017天津红桥期中联考16若曲线fx=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线则实数a的取值范围是 . 答案 -∞0
三、解答题每小题10分共30分
6.2018广东惠州一调21设函数fx=.1求曲线y=fx在点efe处的切线方程;2当x≥1时不等式fx-≥恒成立求a的取值范围.解析 1根据题意可得fe=fx=所以fe==-所以曲线在点efe处的切线方程为y-=-x-e即x+e2y-3e=
0.2根据题意可得fx--=≥0在x≥1时恒成立令gx=lnx-ax2-1x≥1所以gx=-2ax当a≤0时gx0所以函数y=gx在[1+∞上单调递增所以gx≥g1=0所以不等式fx-≥成立故a≤0符合题意;当a0时令-2ax=0解得x=舍负令=1解得a=
①当0a时1所以在上gx0在上gx0所以函数y=gx在上单调递增在上单调递减g=ln-a=-lna-+a令ha=-lna-+a则ha=-++1=易知ha0恒成立又0a所以hah=-ln-2+=ln2-0所以存在g0所以0a不符合题意;
②当a≥时≤1gx0在1+∞上恒成立所以函数y=gx在[1+∞上单调递减所以gx≤g1=0显然a≥不符合题意.综上所述a的取值范围为{a|a≤0}.
7.2017皖南八校12月联考21已知函数fx=ex-ax2-2ax-
1.1当a=1时求曲线y=fx在点-1f-1处的切线方程;2当x0时fx0恒成立求a的取值范围.解析 1当a=1时fx=ex-x2-2x-1f-1=所以切点坐标为fx=ex-2x-2所以f-1=故曲线y=fx在点-1f-1处的切线方程为y-=[x--1]即y=x+.2对fx=ex-ax2-2ax-1求导得fx=ex-2ax-2a令gx=fx=ex-2ax-2ax0则gx=ex-2ax
0.
①当2a≤1即a≤时gx=ex-2a1-2a≥0所以gx=fx=ex-2ax-2a在0+∞上为增函数所以gxg0=1-2a≥0则fx在0+∞上为增函数所以fxf0=1-0-0-1=0故a≤时符合题意.
②当2a1即a时令gx=ex-2a=0得x=ln2a0当x变化时gxgx的变化情况如下表x0ln2aln2aln2a+∞gx-0+gx减函数极小值增函数当x∈0ln2a时gxg0=1-2a0即fx
0.所以fx在0ln2a上为减函数所以fxf0=0与条件矛盾故舍去.综上a的取值范围是.
8.2017河南新乡第一次调研20已知函数fx=ex-x2+2ax.1若a=1求曲线y=fx在点1f1处的切线方程;2若fx在R上单调递增求实数a的取值范围.解析 1当a=1时fx=ex-x2+2xfx=ex-2x+2∴f1=ef1=e+1∴所求切线方程为y-e+1=ex-1即ex-y+1=
0.2fx=ex-2x+2a∵fx在R上单调递增∴fx≥0在R上恒成立∴a≥x-在R上恒成立.令gx=x-则gx=1-令gx=0得x=ln2∵在-∞ln2上gx0在ln2+∞上gx0∴gx在-∞ln2上单调递增在ln2+∞上单调递减∴gxmax=gln2=ln2-1∴a≥ln2-1∴实数a的取值范围为[ln2-1+∞.C组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的导数的方法
1.2018河南许昌、平顶山联考3已知fx是偶函数在-∞0上满足xfx0恒成立则下列不等式成立的是 A.f-3f4f-5B.f4f-3f-5C.f-5f-3f4D.f4f-5f-3答案 A
2.2017辽宁大连期中联考6已知函数fx=x2008则f= A.0B.1C.2006D.2007答案 B 方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程
3.2018河南天一大联考10已知fx是定义在R上的单调函数满足f[fx-ex]=1则曲线y=fx在0f0处的切线方程为 A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案 A
4.2016辽宁实验中学分校期中20已知函数fx=x3-x2+bx+aab∈R其导函数fx的图象过原点.1当a=1时求函数fx的图象在x=3处的切线方程;2若存在x0使得fx=-9求a的最大值;解析 1fx=x2-a+1x+b由题意得f0=0故b=
0.所以fx=xx-a-
1.当a=1时fx=x3-x2+1fx=xx-2故f3=1f3=
3.故函数fx的图象在x=3处的切线方程为y-1=3x-3即3x-y-8=
0.2由fx=-9得xx-a-1=-
9.当x0时-a-1=-x-=-x+≥2=6所以a≤-
7.当且仅当x=-3时a=-7故a的最大值为-
7.。