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9.4 双曲线及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.双曲线的定义及其标准方程
1.了解双曲线的定义并会用双曲线的定义进行解题
2.了解求双曲线标准方程的基本步骤定型、定位、定量和双曲线标准方程的基本方法定义法和待定系数法Ⅱ2016北京12;2016浙江13;2016天津4;2015课标Ⅰ16;2015课标Ⅱ15选择题、填空题★★☆
2.双曲线的几何性质
1.知道双曲线的简单几何性质如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等并能用性质解决一些简单的双曲线问题
2.理解双曲线离心率的定义并会求双曲线的离心率Ⅲ2017课标全国Ⅰ5;2017课标全国Ⅱ5;2017北京10;2016山东14;2015安徽6;2014课标Ⅰ4选择题、填空题★★★分析解读从近几年的高考题来看双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点离心率问题是每年高考考查的重点多在选择题和填空题中出现难度不大分值为5分属中档题目灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想和转化与化归思想的应用.五年高考考点一 双曲线的定义及其标准方程
1.2016天津45分已知双曲线-=1a0b0的焦距为2且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直则双曲线的方程为 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1答案 A
2.2015天津55分已知双曲线-=1a0b0的一个焦点为F20且双曲线的渐近线与圆x-22+y2=3相切则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案 D
3.2014江西95分过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过AO两点O为坐标原点则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A
4.2014天津65分已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10双曲线的一个焦点在直线l上则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A
5.2016浙江134分设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1F
2.若点P在双曲线上且△F1PF2为锐角三角形则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .答案
286.2015课标Ⅱ155分已知双曲线过点4且渐近线方程为y=±x则该双曲线的标准方程为 . 答案 -y2=
17.2015课标Ⅰ165分已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点P是C的左支上一点A
06.当△APF周长最小时该三角形的面积为 .答案 12教师用书专用8—
108.2016北京125分已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线为2x+y=0一个焦点为0则a= ;b= .答案 1;
29.2014北京105分设双曲线C的两个焦点为-00一个顶点是10则C的方程为 .答案 x2-y2=
110.2013天津115分已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1a0b0的一个焦点且双曲线的离心率为2则该双曲线的方程为 .答案 x2-=1考点二 双曲线的几何性质
1.2017课标全国Ⅰ55分已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点P是C上一点且PF与x轴垂直点A的坐标是13则△APF的面积为 A.B.C.D.答案 D
2.2017课标全国Ⅱ55分若a1则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是 A.+∞B.2C.1D.12答案 C
3.2015重庆95分设双曲线-=1a0b0的右焦点是F左、右顶点分别是A1A2过F作A1A2的垂线与双曲线交于BC两点.若A1B⊥A2C则该双曲线的渐近线的斜率为 A.±B.±C.±1D.±答案 C
4.2015湖南65分若双曲线-=1的一条渐近线经过点3-4则此双曲线的离心率为 A.B.C.D.答案 D
5.2015四川75分过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于AB两点则|AB|= A.B.2C.6D.4答案 D
6.2014课标Ⅰ45分已知双曲线-=1a0的离心率为2则a= A.2B.C.D.1答案 D
7.2013浙江95分如图F1F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点AB分别是C1C2在第
二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形则C2的离心率是 A.B.C.D.答案 D
8.2017北京105分若双曲线x2-=1的离心率为则实数m= .答案
29.2016江苏35分在平面直角坐标系xOy中双曲线-=1的焦距是 .答案
210.2015山东155分过双曲线C:-=1a0b0的右焦点作一条与其渐近线平行的直线交C于点P.若点P的横坐标为2a则C的离心率为 .答案 2+
11.2014山东155分已知双曲线-=1a0b0的焦距为2c右顶点为A抛物线x2=2pyp0的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c且|FA|=c则双曲线的渐近线方程为 .答案 x±y=0教师用书专用12—
2312.2015安徽65分下列双曲线中渐近线方程为y=±2x的是 A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=1答案 A
13.2014湖北85分设ab是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根则过Aaa2Bbb2两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为 A.0B.1C.2D.3答案 A
14.2014广东85分若实数k满足0k5则曲线-=1与曲线-=1的 A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案 D
15.2014大纲全国115分双曲线C:-=1a0b0的离心率为2焦点到渐近线的距离为则C的焦距等于 A.2B.2C.4D.4答案 C
16.2013重庆105分设双曲线C的中心为点O若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2使|A1B1|=|A2B2|其中A1B1和A2B2分别是这对直线与双曲线C的交点则该双曲线的离心率的取值范围是 A.B.C.D.答案 A
17.2013山东115分抛物线C1:y=x2p0的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线则p= A.B.C.D.答案 D
18.2013课标全国Ⅰ45分已知双曲线C:-=1a0b0的离心率为则C的渐近线方程为 A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 C
19.2015北京125分已知20是双曲线x2-=1b0的一个焦点则b= .答案
20.2014浙江174分设直线x-3y+m=0m≠0与双曲线-=1a0b0的两条渐近线分别交于点AB若点Pm0满足|PA|=|PB|则该双曲线的离心率是 .答案
21.2013湖南145分设F1F2是双曲线C:-=1a0b0的两个焦点.若在C上存在一点P使PF1⊥PF2且∠PF1F2=30°则C的离心率为 .答案 +
122.2013陕西115分双曲线-=1的离心率为 .答案
23.2013辽宁155分已知F为双曲线C:-=1的左焦点PQ为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍点A50在线段PQ上则△PQF的周长为 .答案 44三年模拟A组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 双曲线的定义及其标准方程
1.2018河南顶级名校10月联考5已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2-4y=0的圆心重合且其渐近线的方程为x±y=0则该双曲线的标准方程为 A.-y2=1B.-x2=1C.-=1D.-=1答案 B
2.2018吉林长春调研10过双曲线x2-=1的右支上一点P分别向圆C1:x+42+y2=4和圆C2:x-42+y2=1作切线切点分别为M、N则|PM|2-|PN|2的最小值为 A.10B.13C.16D.19答案 B
3.2017广东揭阳、潮州两校联考7已知双曲线-=1a0b0的一条渐近线过点2且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D
4.人教A选1—1二2A2变式已知双曲线的渐近线方程为y=±x且双曲线经过点A2-3则双曲线的标准方程为 .答案 -=1考点二 双曲线的几何性质
5.2018湖北重点中学12月联考4双曲线C:-=1a0与x轴的一个交点是20则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 D
6.2018河北唐山期中联考5已知双曲线C:-=1m0n0的离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数则双曲线C的渐近线方程为 A.4x±3y=0B.3x±4y=0C.4x±3y=0或3x±4y=0D.4x±5y=0或5x±4y=0答案 A
7.2018湖南师大附中12月联考10已知双曲线C:-=1a0b0的左、右焦点分别是F
1、F2正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B且=4则双曲线C的离心率为 A.+1B.C.+1D.答案 D
8.2017安徽黄山二模8若圆x-32+y2=1上只有一点到双曲线-=1a0b0的一条渐近线的距离为1则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.答案 A
9.2016广东肇庆三模10设双曲线-=1ba0的半焦距为c且直线l过a0和0b两点.已知原点到直线l的距离为则双曲线的离心率为 A.B.C.D.2答案 D
10.2017安徽池州模拟15已知椭圆+=1的右焦点F到双曲线E:-=1a0b0的渐近线的距离小于则双曲线E的离心率的取值范围是 .答案 12B组 2016—2018年模拟·提升题组满分:45分 时间:30分钟
一、选择题每小题5分共35分
1.2018河北衡水中学六调5已知双曲线-=10b2与x轴交于AB两点C0b则△ABC的面积的最大值为 A.1B.2C.4D.8答案 B
2.2018河北石家庄调研11双曲线-=1a0b0的左、右焦点分别为F1F2过F1作倾斜角为30°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于AB两点若点A平分线段F1B则该双曲线的离心率是 A.B.C.2D.答案 A
3.2018广东广州调研11已知双曲线C:-=1a0b0的离心率为左、右顶点分别为AB点P是双曲线上异于AB的点直线PAPB的斜率分别为kPAkPB则kPA·kPB= A.1B.C.D.3答案 A
4.2018湖南师大附中12月模拟11已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点左、右焦点分别为F
1、F2且两条曲线在第一象限的交点为P△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10椭圆与双曲线的离心率分别为e1e2则e1e2+1的取值范围是 A.1+∞B.C.D.答案 B
5.2017福建福州模拟7已知双曲线C:-=1a0b0的焦距为2抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.x2-=1D.-y2=1答案 D
6.2017湖北四地七校联考10双曲线-=1a0b0的左、右焦点分别为F1F2直线l经过点F1及虚轴的一个端点且点F2到直线l的距离等于实半轴的长则双曲线的离心率为 A.B.C.D.答案 D
7.2016福建四地六校期中9已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合其中一条渐近线的倾斜角为30°则该双曲线的标准方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B
二、填空题每小题5分共10分
8.2017湖南五校联考16设F1F2是双曲线-=1a0b0的左右焦点若双曲线右支上存在一点P使+·=0O为坐标原点且|PF1|=|PF2|则双曲线的离心率为 .答案 +
19.2017江西红色七校联考16已知点P为双曲线-=1a0b0右支上一点F1F2分别为双曲线的左右焦点且|F1F2|=I为△PF1F2的内心若λ=λ+成立则λ的值为 .答案 +1C组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 求双曲线标准方程的方法
1.2018辽宁五校协作体期中联考4在平面直角坐标系xOy中已知双曲线C:-=1a0b0的离心率为从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线垂足为A若△AFO的面积为1则双曲线C的方程为 A.-=1B.-y2=1C.-=1D.x2-=1答案 D
2.2017安徽江南十校联考4已知双曲线-=1a0b0的离心率为左顶点到一条渐近线的距离为则该双曲线的标准方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D
3.2016河北邯郸模拟15设动圆C与两圆C1:x+2+y2=4C2:x-2+y2=4中的一个内切另一个外切则动圆圆心C的轨迹方程为 .答案 -y2=1方法2 求双曲线的离心率范围的方法
4.2018河南开封10月定位考试11过双曲线-=1a0b0的左焦点F-c0作圆x2+y2=a2的切线切点为E延长FE交双曲线于点P若E为线段FP的中点则双曲线的离心率为 A.B.C.+1D.答案 A
5.2017广东广雅中学、江西南昌二中联考12设F为双曲线-=1a0b0的右焦点若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|则双曲线的离心率为 A.2B.C.2D.3答案 B
6.2016湖南十校3月联考11设双曲线-=1a0b0的两条渐近线与直线x=分别交于AB两点F为该双曲线的右焦点.若60°∠AFB90°则该双曲线的离心率的取值范围是 A.1B.2C.12D.+∞答案 B
7.2018山西康杰中学等六校12月联考16已知双曲线C:-=1a0b0的左顶点为A右焦点为F点B02b双曲线的渐近线上存在一点P使得顺次连接ABFP构成平行四边形则双曲线C的离心率为 .答案 3方法3 直线和双曲线位置关系问题的求解方法
8.2018豫北、豫南12月联考11已知直线y=x+1与双曲线-=1a0b0交于AB两点且线段AB的中点M的横坐标为1则该双曲线的离心率为 A.B.C.2D.答案 B
9.2017山西太原五中模拟6若直线l:x+by+2=0与双曲线-=1只有一个公共点则直线l有 A.1条B.2条C.3条D.4条答案 C
10.2016豫北六校联考15若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点那么k的取值范围为 .答案 。