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5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.向量的线性运算及几何意义
1.理解平面向量的有关概念及向量的表示方法
2.掌握向量加法、减法、数乘的运算理解其几何意义
3.理解两个向量共线的含义
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义Ⅱ2017课标全国Ⅱ4;2014福建10;2013四川12选择题填空题★★☆
2.平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.了解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.会用坐标对向量进行线性运算
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件Ⅲ2017山东11;2016课标全国Ⅱ13;2016四川9;2015课标Ⅰ2★★★分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础高考主要考查基础运用其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点要熟练掌握.五年高考考点一 向量的线性运算及几何意义
1.2017课标全国Ⅱ45分设非零向量ab满足|a+b|=|a-b|则 A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a||b|答案 A
2.2015陕西85分对任意平面向量ab下列关系式中不恒成立的是 A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.a+b2=|a+b|2D.a+b·a-b=a2-b2答案 B
3.2014课标Ⅰ65分设DEF分别为△ABC的三边BCCAAB的中点则+= A.B.C.D.答案 A
4.2014福建105分设M为平行四边形ABCD对角线的交点O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点则+++等于 A.B.2C.3D.4答案 D
5.2013四川125分如图在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O+=λ则λ= .答案 2考点二 平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.2015课标Ⅰ25分已知点A01B32向量=-4-3则向量= A.-7-4B.74C.-14D.14答案 A
2.2015四川25分设向量a=24与向量b=x6共线则实数x= A.2B.3C.4D.6答案 B
3.2015福建75分设a=12b=11c=a+kb.若b⊥c则实数k的值等于 A.-B.-C.D.答案 A
4.2015广东95分在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形=1-2=21则·= A.5B.4C.3D.2答案 A
5.2014广东35分已知向量a=12b=31则b-a= A.-21B.2-1C.20D.43答案 B
6.2013辽宁35分已知点A13B4-1则与向量同方向的单位向量为 A.B.C.D.答案 A
7.2016课标全国Ⅱ135分已知向量a=m4b=3-2且a∥b则m= .答案 -6教师用书专用8—
108.2014北京35分已知向量a=24b=-11则2a-b= A.57B.59C.37D.39答案 A
9.2013陕西25分已知向量a=1mb=m2若a∥b则实数m等于 A.-B.C.-或D.0答案 C
10.2013广东105分设a是已知的平面向量且a≠
0.关于向量a的分解有如下四个命题:
①给定向量b总存在向量c使a=b+c;
②给定向量b和c总存在实数λ和μ使a=λb+μc;
③给定单位向量b和正数μ总存在单位向量c和实数λ使a=λb+μc;
④给定正数λ和μ总存在单位向量b和单位向量c使a=λb+μc.上述命题中的向量bc和a在同一平面内且两两不共线则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B 三年模拟A组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 向量的线性运算及几何意义
1.2018陕西西安中学11月月考5给出下列四个命题:
①若|a|=|b|则a=b;
②若ABCD是不共线的四点则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=bb=c则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确命题的序号是 A.
①②B.
②③C.
③④D.
②④答案 B
2.2018辽宁六校协作体期中联考4设非零向量ab下列四个条件中使=成立的充分条件是 A.a∥bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a=-b答案 B
3.2017河北石家庄二中月考7M是△ABC所在平面内一点++=0D为AC的中点则的值为 A.B.C.1D.2答案 B
4.2017广东惠州二调4如图在正方形ABCD中点E是DC的中点点F是BC的一个三等分点那么= A.-B.+C.+D.-答案 D
5.2016山西四校联考9O是平面内的一个定点A、B、C是平面内不共线的三个点动点P满足=+λλ∈0+∞则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的 A.外心B.内心C.重心D.垂心答案 C 考点二 平面向量基本定理及向量的坐标运算
6.2018吉林调研4如果平面向量a=20b=11那么下列结论中正确的是 A.|a|=|b|B.a·b=2C.a-b⊥bD.a∥b答案 C
7.2018河北衡水中学五调8已知平面直角坐标系内的两个向量a=12b=m3m-2且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μbλμ为实数则m的取值范围是 A.-∞2B.2+∞C.-∞+∞D.-∞2∪2+∞答案 D
8.2017辽宁六校联考4已知△ABC和点M满足++=0若存在实数m使得+=m成立则m= A.2B.4C.3D.5答案 C
9.2017豫北名校12月联考7如图将45°角直角三角板和30°角直角三角板拼在一起其中45°角直角三角板的斜边与30°角直角三角板的30°角所对的直角边重合若=x·+y·则x+y= A.+1B.2+1C.2+D.2-1答案 B
10.2016安徽蚌埠二模6已知AC⊥BCAC=BCD满足=t+1-t若∠ACD=60°则t的值为 A.B.-C.-1D.答案 A
11.2018湖北重点高中协作体联考18在边长为1的正三角形ABC中设e1=e2=点D满足=.1试用e1e2表示;2若a=xe1+ye2xy∈R且x≠0求的最大值.解析 1由题知=∴=+=+=+-=+=e1+e
2.2∵xy∈R且x≠0∴====故当=-时取最大值.B组 2016—2018年模拟·提升题组满分:45分 时间:30分钟
一、选择题每小题5分共25分
1.2018河北五校联考4已知向量m=λ+11n=λ+22若m+n⊥m-n则λ= A.-4B.-3C.-2D.-1答案 B
2.2018江西宜春联考11设O是平面上一定点ABC是平面上不共线的三点动点P满足=+λ（+）λ∈[0+∞则点P的轨迹经过△ABC的 A.外心B.内心C.重心D.垂心答案 D
3.2017江西南昌十校二模5已知向量a=1-2b=x3y-5且a∥b若xy均为正数则xy的最大值是 A.2B.C.D.答案 C
4.2017河北衡水中学周测八9如图所示已知点G是△ABC的重心过点G作直线与ABAC两边分别交于MN两点且=x=y则x+y的最小值为 A.2B.C.D.答案 C
5.2016河北石家庄一模11ABC是圆O上不同的三点线段CO与线段AB交于点D点O与点D不重合若=λ+μλμ∈R则λ+μ的取值范围是 A.01B.1+∞C.1]D.-10答案 B
二、填空题共5分
6.2017河南三市联考14在锐角△ABC中=3=x+y则= .答案 3
三、解答题共15分
7.2018河南许昌、平顶山两市联考21在平面直角坐标系中O为坐标原点M为平面上任意一点ABC三点满足=+.1求证:ABC三点共线并求的值;2已知A1sinxB1+sinxsinxMx∈0π且函数fx=·+·||的最小值为求实数m的值.解析 1∵=+∴-=-∴=又因为有公共点B∴ABC三点共线.∵=∴=
3.2∵A1sinxB1+sinxsinxMO00∴·=1+sinx+sin2x=sinx0又x∈0π∴||=sinx∴fx=·+·||=sin2x+2msinx+
1.设t=sinx.∵x∈0π∴t∈01]∴y=t2+2mt+1=t+m2+1-m
2.
①当-m≤0即m≥0时y=t2+2mt+1无最小值不合题意;
②当0-m≤1即-1≤m0时当t=-m时ymin=1-m2=∴m=-;
③当-m1即m-1时当t=1时ymin=2+2m=∴m=-此时m-1不合题意.综上可知m=-.C组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 平面向量线性运算的解题策略
1.2018江西师大附中12月模拟10设DEF分别为△ABC三边BCCAAB的中点则+2+3= A.B.C.D.答案 D
2.2017宁夏银川一中11月模拟4设D为△ABC所在平面内一点若=3则 A.=-+B.=-C.=-+D.=-答案 A
3.2016河南中原名校3月联考8如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DCE为BC边上一点=3F为AE的中点则= A.-B.-C.-+D.-+答案 C 方法2 向量共线定理的应用方法
4.2018吉林调研8已知ab是不共线的向量=λa+b=a+μbλμ∈R若ABC三点共线则λμ的关系一定成立的是 A.λμ=1B.λμ=-1C.λ-μ=1D.λ+μ=2答案 A
5.2017福建福州3月质检6设向量=1-2=a-1=-b0其中O为坐标原点a0b0若ABC三点共线则+的最小值为 A.4B.6C.8D.9答案 C
6.2018河北衡水中学9月大联考13已知向量a=b=k1若a∥b则k= .答案
17.2018河北石家庄重点中学12月联考14平行四边形ABCD中M为BC的中点若=λ+μ则λμ= .答案
8.2016辽宁沈阳二中期中15已知平行四边形ABCD中点Q是CD的中点=x=yxy≠0若∥则= .答案 2方法3 平面向量坐标运算的解题策略
9.2016广东茂名二模6已知向量a=3-2b=xy-1且a∥b若xy均为正数则+的最小值是 A.24B.8C.D.答案 B
10.2018广东七校第一次联考14设xy∈R向量a=x1b=1yc=2-4且a⊥cb∥c则|a+b|= .答案
11.2018辽宁五校协作体联合模拟14已知平面向量a=x1y1b=x2y2若|a|=3|b|=4a·b=-12则= .答案 -
12.2017河北“五个一联盟”第一次模拟15如图在直角梯形ABCD中AB∥CDAB=2AD=DC=1P是线段BC上一动点Q是线段DC上一动点=λ=1-λ则·的取值范围是 .答案
[02]方法4 平面向量基本定理的应用策略
13.2018陕西部分名校摸底考试7如图在△ABC中=P是BN上一点若=m+则实数m的值为 A.B.C.D.答案 D
14.2017豫晋冀三省12月联考16如图已知在直角梯形ABCO中∠ABC=∠BCO=90°AB=1BC=OC=
2.设=m=n其中mn∈01mn=G为线段MN的中点则||的最小值为 .答案 。
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