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4.2 三角函数的图象与性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.三角函数的图象及其变换
①能画出y=sinxy=cosxy=tanx的图象了解三角函数的周期性;
②了解函数y=Asinωx+φ的物理意义;能画出y=Asinωx+φ的图象了解参数Aωφ对函数图象变化的影响掌握2017课标全国Ⅰ9;2016北京7;2016课标全国Ⅲ14;2015湖南9选择题填空题解答题★★★
2.三角函数的性质及其应用理解正弦函数、余弦函数的性质如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等.理解正切函数的单调性理解2017课标全国Ⅲ6;2016课标全国Ⅱ7;2015课标Ⅰ8选择题填空题解答题★★★分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题且常以解答题的形式考查其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分属于中低档题.五年高考考点一 三角函数的图象及其变换
1.2017课标全国Ⅰ95分已知曲线C1:y=cosxC2:y=sin则下面结论正确的是 A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变再把得到的曲线向右平移个单位长度得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变再把得到的曲线向右平移个单位长度得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线C2答案 D
2.2016北京75分将函数y=sin图象上的点P向左平移ss0个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin2x的图象上则 A.t=s的最小值为B.t=s的最小值为C.t=s的最小值为D.t=s的最小值为答案 A
3.2015湖南95分将函数fx=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数gx的图象.若对满足|fx1-gx2|=2的x1x2有|x1-x2|min=则φ= A.B.C.D.答案 D
4.2016课标全国Ⅲ145分函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到. 答案
5.2017山东1612分设函数fx=sin+sin其中0ω
3.已知f=
0.1求ω;2将函数y=fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变再将得到的图象向左平移个单位得到函数y=gx的图象求gx在上的最小值.解析 本题考查了y=Asinωx+φ的图象和性质.1因为fx=sin+sin所以fx=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin.由题设知f=0所以-=kπk∈Z.故ω=6k+2k∈Z又0ω3所以ω=
2.2由1得fx=sin所以gx=sin=sin.因为x∈所以x-∈当x-=-即x=-时gx取得最小值-.教师用书专用6—
156.2016四川35分为了得到函数y=sin的图象只需把函数y=sin2x的图象上所有的点 A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度答案 D
7.2015四川45分下列函数中最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx答案 A
8.2015山东35分要得到函数y=sin的图象只需将函数y=sin4x的图象 A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位答案 B
9.2014浙江45分为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象可以将函数y=cos3x的图象 A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位答案 C
10.2014辽宁95分将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数 A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案 B
11.2013湖北45分将函数y=cosx+sinxx∈R的图象向左平移mm0个单位长度后所得到的图象关于y轴对称则m的最小值是 A.B.C.D.答案 B
12.2013山东55分将函数y=sin2x+φ的图象沿x轴向左平移个单位后得到一个偶函数的图象则φ的一个可能取值为 A.B.C.0D.-答案 B
13.2013四川55分函数fx=2sinωx+φ的部分图象如图所示则ωφ的值分别是 A.2-B.2-C.4-D.4答案 A
14.2016江苏95分定义在区间[03π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 . 答案
715.2015湖北1711分某同学用“五点法”画函数fx=Asinωx+φ在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据如下表:ωx+φ0π2πxAsinωx+φ05-501请将上表数据补充完整并直接写出函数fx的解析式;2将y=fx图象上所有点向左平行移动θθ0个单位长度得到y=gx的图象.若y=gx图象的一个对称中心为求θ的最小值.解析 1根据表中已知数据解得A=5ω=2φ=-.数据补全如下表:ωx+φ0π2πxπAsinωx+φ050-50且函数表达式为fx=5sin.2由1知fx=5sin得gx=5sin.因为y=sinx的对称中心为kπ0k∈Z.令2x+2θ-=kπ解得x=+-θk∈Z.由于函数y=gx的图象关于点成中心对称令+-θ=解得θ=-k∈Z.由θ0可知当k=1时θ取得最小值.考点二 三角函数的性质及其应用
1.2017课标全国Ⅲ65分设函数fx=cos则下列结论错误的是 A.fx的一个周期为-2πB.y=fx的图象关于直线x=对称C.fx+π的一个零点为x=D.fx在单调递减答案 D
2.2016课标全国Ⅱ75分若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度则平移后图象的对称轴为 A.x=-k∈ZB.x=+k∈ZC.x=-k∈ZD.x=+k∈Z答案 B
3.2016浙江55分设函数fx=sin2x+bsinx+c则fx的最小正周期 A.与b有关且与c有关B.与b有关但与c无关C.与b无关且与c无关D.与b无关但与c有关答案 B
4.2015课标Ⅰ85分函数fx=cosωx+φ的部分图象如图所示则fx的单调递减区间为 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z答案 D
5.2014北京145分设函数fx=Asinωx+φAωφ是常数A0ω
0.若fx在区间上具有单调性且f=f=-f则fx的最小正周期为 . 答案 π
6.2017浙江1814分已知函数fx=sin2x-cos2x-2·sinxcosxx∈R.1求f的值;2求fx的最小正周期及单调递增区间.解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识同时考查运算求解能力.1由sin=cos=-f=--2××得f=
2.2由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得fx=-cos2x-sin2x=-2sin.所以fx的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπk∈Z解得+kπ≤x≤+kπk∈Z.所以fx的单调递增区间是k∈Z.教师用书专用7—
167.2016山东75分函数fx=sinx+cosxcosx-sinx的最小正周期是 A.B.πC.D.2π答案 B
8.2014陕西25分函数fx=cos的最小正周期是 A.B.πC.2πD.4π答案 B
9.2013北京35分“φ=π”是“曲线y=sin2x+φ过坐标原点”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A
10.2013浙江45分已知函数fx=Acosωx+φA0ω0φ∈R则“fx是奇函数”是“φ=”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B
11.2015浙江116分函数fx=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 单调递减区间是 . 答案 π;k∈Z
12.2014上海14分函数y=1-2cos22x的最小正周期是 . 答案
13.2016天津1513分已知函数fx=4tanxsincos-.1求fx的定义域与最小正周期;2讨论fx在区间上的单调性.解析 1fx的定义域为.fx=4tanxcosxcos-=4sinxcos-=4sinx-=2sinxcosx+2sin2x-=sin2x+1-cos2x-=sin2x-cos2x=2sin.所以fx的最小正周期T==π.2令z=2x-易知函数y=2sinz的单调递增区间是k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ得-+kπ≤x≤+kπk∈Z.设A=B=易知A∩B=.所以当x∈时fx在区间上单调递增在区间上单调递减.
14.2015重庆1812分已知函数fx=sinsinx-cos2x.1求fx的最小正周期和最大值;2讨论fx在上的单调性.解析 1fx=sinsinx-cos2x=cosxsinx-1+cos2x=sin2x-cos2x-=sin-因此fx的最小正周期为π最大值为.2当x∈时0≤2x-≤π从而当0≤2x-≤即≤x≤时fx单调递增当≤2x-≤π即≤x≤时fx单调递减.综上可知fx在上单调递增;在上单调递减.
15.2015山东1612分设fx=sinxcosx-cos
2.1求fx的单调区间;2在锐角△ABC中角ABC的对边分别为abc.若f=0a=1求△ABC面积的最大值.解析 1由题意知fx=-=-=sin2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπk∈Z可得-+kπ≤x≤+kπk∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπk∈Z可得+kπ≤x≤+kπk∈Z.所以fx的单调递增区间是k∈Z;单调递减区间是k∈Z.2由f=sinA-=0得sinA=由题意知A为锐角所以cosA=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得1+bc=b2+c2≥2bc即bc≤2+且当b=c时等号成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.
16.2013安徽1612分已知函数fx=4cosωx·sinω0的最小正周期为π.1求ω的值;2讨论fx在区间上的单调性.解析 1fx=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+=2sin+.因为fx的最小正周期为π且ω0从而有=π故ω=
1.2由1知fx=2sin+.若0≤x≤则≤2x+≤.当≤2x+≤即0≤x≤时fx单调递增;当≤2x+≤即≤x≤时fx单调递减.综上可知fx在区间上单调递增在区间上单调递减.三年模拟A组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 三角函数的图象及其变换
1.2018四川德阳三校联考5将函数fx=sin2x图象上的点保持纵坐标不变将横坐标缩短为原来的再将图象向右平移个单位长度后得到gx的图象则gx的解析式为 A.gx=sinB.gx=sinC.gx=sinD.gx=sin答案 C
2.2017河南百校联考6已知将函数fx=tan2ω10的图象向右平移个单位后与fx的图象重合则ω= A.9B.6C.4D.8答案 B
3.2016福建福州一中1月模拟6已知函数fx=Asinωx+φA0ω0|φ|的部分图象如图所示为了得到函数gx=Asinωx的图象只需要将y=fx的图象 A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 D考点二 三角函数的性质及其应用
4.2018辽宁鞍山一中一模4函数fx=2sinxcosx+cos2x图象的对称轴为 A.x=-k∈ZB.x=+k∈ZC.x=-k∈ZD.x=+k∈Z答案 D
5.2017豫南九校2月联考7已知函数fx=sin2x-2cos2x下列结论错误的是 A.函数fx的最小正周期是πB.函数fx的图象关于直线x=对称C.函数fx在区间上是增函数D.函数fx的图象可由gx=2sin2x-1的图象向右平移个单位长度得到答案 D
6.2017河北武邑第三次调研4已知函数fx=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点则函数gx=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线 A.x=B.x=C.x=D.x=-答案 D
7.人教A必4一1-4A3变式函数fx=sin+cos2x的振幅和最小正周期分别是 A.B.πC.D.π答案 BB组 2016—2018年模拟·提升题组满分:45分 时间:40分钟
一、选择题每小题5分共25分
1.2018河北衡水模拟9设函数fx=2cosωx+φ对任意的x∈R都有f=f若函数gx=sinωx+φ+cosωx+φ+2则g的值是 A.2B.0C.2或4D.1或3答案 D
2.2018广东广雅中学、华东中学、河南名校第一次联考12已知函数fx=1-2cos2xsin-2sinxcosxcosfx在上单调递增若f≤m恒成立则实数m的取值范围为 A.B.C.[1+∞D.答案 C
3.2017山西五校3月联考8设k∈R则函数fx=sin+k的部分图象不可能为 答案 D
4.2017河北名校二模8函数fx=sinωxω0的图象向右平移个单位得到函数y=gx的图象并且函数gx在区间上单调递增在区间上单调递减则实数ω的值为 A.B.C.2D.答案 C
5.2016福建龙岩一模11已知函数fx=AsinA0ω0的部分图象如图所示△EFG是边长为2的等边三角形为了得到gx=Asinωx的图象只需将fx的图象 A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 A
二、解答题共20分
6.2018江苏常州武进期中15如图为函数y=fx=Asinωx+φA0ω0|φ|π图象的一部分其中点P是图象上的一个最高点点Q是与点P相邻的与x轴的一个交点.1求函数fx的解析式;2若将函数fx的图象沿x轴向右平移个单位再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的纵坐标不变得到函数y=gx的图象求函数y=gx的单调递增区间.解析 1由题图可知A=2T=4×=4π∴ω==故fx=2sin.又∵点P在函数图象上∴2sin=2即+φ=+2kπk∈Z∴φ=-+2kπk∈Z又∵|φ|π∴φ=-故fx=2sin.2由1得fx=2sin把函数fx的图象沿x轴向右平移个单位得到y=2sin的图象再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的纵坐标不变得到gx=2sin的图象由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z得kπ-≤x≤kπ+k∈Z故gx的单调递增区间是k∈Z.
7.2017山西临汾一中等五校第二次联考17已知函数fx=2sinxcosx-cos2xx∈R.1若fα=且α∈求cos2α;2求曲线y=fx在点0f0处的切线方程;3记函数fx在x∈上的最大值为b且函数fx在[aπbπ]ab上单调递增求实数a的最小值.解析 1fx=sin2x-cos2x=2sin.∵fα=∴sin=又α∈∴2α-∈∴cos=-.∴cos2α=cos=-×-×=-.2∵fx=4cos∴f0=2又f0=-∴所求切线方程为y=2x-.3当x∈时2x-∈fx∈
[12]∴b=
2.由-+2kπ≤2x-≤+2kπk∈Z得-+kπ≤x≤+kπk∈Z.又函数fx在[aπ2π]a2上单调递增∴[aπ2π]⊆∴-+2π≤aπ2π∴amin=.C组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 根据图象确定函数解析式
1.2018广东茂名化州二模9已知函数fx=Asinωx+φA0ω00φπ的部分图象如图所示且fα=1α∈则cos= A.±B.C.-D.答案 C
2.2017湖北七市3月联考6函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示若x1x2∈x1≠x2且fx1=fx2则fx1+x2= A.1B.C.D.答案 D方法2 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
3.2017河北衡水中学三调考试7已知函数fx=Asinωx+φA0ω0的图象与直线y=a0aA的三个相邻交点的横坐标分别是248则fx的单调递减区间是 A.[6kπ6kπ+3]k∈ZB.[6kπ-36kπ]k∈ZC.[6k6k+3]k∈ZD.[6k-36k]k∈Z答案 D方法3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的求解方法
4.2018广东东莞二调10已知函数fx=sinx+λcosxλ∈R的图象关于x=-对称若把函数fx的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍再向右平移个单位得到函数gx的图象则函数gx图象的一条对称轴方程为 A.x=B.x=C.x=D.x=答案 D
5.2017广东清远清城期末9已知函数fx=sinωx+φω0|φ|其图象相邻两条对称轴之间的距离为且函数f是偶函数下列判断正确的是 A.函数fx的最小正周期为2πB.函数fx的图象关于点对称C.函数fx的图象关于直线x=-对称D.函数fx在上单调递增答案 D。
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