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专题跟踪训练十一基本初等函数、函数与方程及函数的应用
一、选择题[解析] [答案] C[解析] 根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为,即所求交点横坐标所在区间为,故选B.[答案] B3.2018·孝感一模若函数fx=m-2x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间-10和区间12内,则实数m的取值范围是 A.B.C.D.[解析] 依题意并结合函数fx的图象可知,即解得m.[答案] C4.2018·河南焦作二模已知函数fx=Fx=fx-x-1,且函数Fx有2个零点,则实数a的取值范围为 A.-∞,0]B.[1,+∞C.-∞,1D.0,+∞[解析] 当x≤0时,Fx=ex-x-1,此时有一个零点0,当x0时,Fx=x[x+a-1],∵函数Fx有2个零点,∴1-a0,∴a
1.故选C.[答案] C5.2018·湖南十三校二模函数fx=lnx+exe为自然对数的底数的零点所在的区间是 A.B.C.1,eD.e,+∞[解析] 函数fx=lnx+ex在0,+∞上单调递增,因此函数fx最多只有一个零点.当x→0+时,fx→-∞.∴函数fx=lnx+exe为自然对数的底数的零点所在的区间是.故选A.[答案] A6.2018·河南郑州模拟已知函数fx=x2+m与函数gx=-ln-3x的图象上至少存在一对关于x轴对称的点,则实数m的取值范围是 A.B.C.D.[2-ln22][解析] 由已知,得方程x2+m=ln+3x,∴m=-lnx+3x-x2在上有解.设fx=-lnx+3x-x2,求导,得f′x=-+3-2x=-=-∵≤x≤2,令f′x=0,解得x=或x=
1.当f′x0时,x1,函数单调递增,当f′x0时,1x2,函数单调递减,∴fx在x=1处有唯一的极值点,∵f=ln2+,f2=-ln2+2,且知f2f,∴fx极大值=f1=2,故方程m=-lnx+3x-x2在上有解等价于2-ln2≤m≤
2.所以m的取值范围是[2-ln22],故选D.[答案] D
二、填空题7.2018·河北石家庄模拟若函数fx=m+x的零点是-2,则实数m=________.[解析] 由m+-2=0,得m=-
9.[答案] -98.设二次函数fx=ax2+2ax+1在[-32]上有最大值4,则实数a的值为________.[解析] fx的对称轴为x=-
1.当a0时,f2=4a+4a+1=8a+1,f-3=3a+
1.∴f2f-3,即fxmax=f2=8a+1=4,∴a=;当a0时,fxmax=f-1=a-2a+1=-a+1=4,∴a=-
3.综上所述,a=或a=-3[答案] 或-39.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为________元.[解析] 设每辆车的月租金为xx3000元,则租赁公司月收益为y=·x-150-×50,整理得y=-+162x-21000=-x-40502+
307050.所以当x=4050时,y取最大值为307050,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大为307050元.[答案] 4050
三、解答题10.2018·唐山一中期末已知函数fx=ex-e-xx∈R,且e为自然对数的底数.1判断函数fx的单调性与奇偶性;2是否存在实数t,使不等式fx-t+fx2-t2≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.[解] 1∵fx=ex-x,∴f′x=ex+x,∴f′x0对任意x∈R都成立,∴fx在R上是增函数.又∵fx的定义域为R,且f-x=e-x-ex=-fx,∴fx是奇函数.2存在.由1知fx在R上是增函数和奇函数,则fx-t+fx2-t2≥0对一切x∈R都成立,⇔fx2-t2≥ft-x对一切x∈R都成立,⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立,⇔t2+t≤x2+x=2-对一切x∈R都成立,⇔t2+t≤x2+xmin=-⇔t2+t+=2≤0,又2≥0,∴2=0,∴t=-.∴存在t=-,使不等式fx-t+fx2-t2≥0对一切x∈R都成立.11.2018·江西三校联考食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P单位万元、种黄瓜的年收入Q单位万元与投入a单位万元满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x单位万元,每年两个大棚的总收益为fx单位万元.1求f50的值;2试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益fx最大?[解] 1依题意fx=80+4+200-x+120=-x+4+250,其中所以20≤x≤
180.故f50=-×50+4+250=
277.
5.2由1知fx=-x+4+25020≤x≤180,令=t,则2≤t≤6,y=-t2+4t+250=-t-82+282,因此当t=8时,函数取得最大值282,此时x=128,故投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,最大总收益是282万元.12.2018·江西吉安一中摸底已知函数fx=若关于x的方程[fx]2+fx+t=0有三个不同的实数根,求实数t的取值范围.[解] 原问题等价于[fx]2+fx=-t有三个不同的实数根,即直线y=-t与y=[fx]2+fx的图象有三个不同的交点.当x≥0时,y=[fx]2+fx=e2x+ex为增函数,在x=0处取得最小值2,其图象与直线y=-t最多只有一个交点.当x0时,y=[fx]2+fx=[lg-x]2+lg-x,根据复合函数的单调性,其在-∞,0上先减后增,最小值为-.所以要使函数的图象有三个不同的交点,只需-t≥2,解得t≤-
2.。