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文本内容:
专题跟踪训练二十一空间几何体的三视图、表面积与体积
一、选择题1.2017·北京卷某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 A.3B.2C.2D.2[解析] 由三视图得该四棱锥的直观图如图中S-ABCD所示,由图可知,其最长棱为SD,且底面ABCD是边长为2的正方形,SB⊥面ABCD,SB=2,所以SD==
2.故选B.[答案] B2.2018·益阳、湘潭高三调考如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为 A.B.C.D.4[解析] 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥A-PBC放到棱长为2的正方体中,则VA-PBC=×S△PBC×AB=××2×2×2=.故选B.[答案] B3.2018·辽宁五校联考一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.36B.48C.64D.72[解析] 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示,将几何体分割为两个三棱柱,所以该几何体的体积为×3×4×4+×3×4×4=48,故选B.[答案] B4.2018·广东七校联考某一简单几何体的三视图如图所示,该几何体的外接球的表面积是 A.13πB.16πC.25πD.27π[解析] 由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体,由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4,所以底面边长为2,由侧视图知该长方体的高为3,设该几何体的外接球的半径为R,则2R==5,解得R=,所以该几何体的外接球的表面积S=4πR2=4π×=25π,故选C.[答案] C5.2018·洛阳市高三第一次联考已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为 A.πB.πC.πD.π[解析] 将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线,因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为
2.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球,即球O的直径为正方体的棱长,其长为2,则球O的体积V=πR3=π,故选A.[答案] A6.2018·河北第二次质检《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载,“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如图所示,则剩下部分的体积是 A.50B.75C.
25.5D.
37.5[解析] 由题意及给定的三视图可知,剩余部分是在直三棱柱的基础上,截去一个四棱锥所得的,且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形,高为
5.如图,图中几何体ABCC1MN为剩余部分,因为AM=2,B1C1⊥平面MNB1A1,所以剩余部分的体积V=V三棱柱-V四棱锥=×5×5×5-×3×5×5=
37.5,故选D.[答案] D7.2018·广东广州调研如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A.4+4+2B.14+4C.10+4+2D.4[解析] 如图,该几何体是一个底面为直角梯形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S-ABCD.连接AC,因为AC==2,SC==2,SD=SB==2,CD==2,SB2+BC2=22+42=24=SC2,故△SCD为等腰三角形,△SCB为直角三角形.过D作DK⊥SC于点K,则DK==,△SCD的面积为××2=2,△SBC的面积为×2×4=
4.所求几何体的表面积为×2+4×2+2××2×2+4+2=10+4+2,选C.[答案] C8.2018·河南濮阳二模已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 A.B.5πC.6πD.[解析] 取BD中点M,连接AM,CM,取△ABD,△CBD的中心即AM,CM的三等分点P,Q,过P作面ABD的垂线,过Q作面CBD的垂线,两垂线相交于点O,则点O为外接球的球心,其中OQ=,CQ=,连接OC,则外接球的半径R=OC=,表面积为4πR2=,故选D.[答案] D9.2018·广东揭阳一模某几何体三视图如图所示,则此几何体的表面积为 A.4π+16B.2+2π+16C.4π+8D.2+2π+8[解析] 由三视图知,该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为、高为1的圆柱的组合体,其表面积S表=5×22+2π··1+2π·2-22=2+2π+
16.故选B[答案] B10.2018·福建福州质检如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为 A.64-B.64-8πC.64-D.64-[解析] 由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的,且圆锥的底面半径为2,高为4,圆柱的底面半径为2,高为4,所以该几何体的体积为43-=64-.故选C.[答案] C11.2018·湖南十三校联考三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示,则该三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 A.32πB.πC.πD.π[解析] 设外接球的半径为r,球心为O.由正视图和侧视图可知,该三棱锥S-ABC的底面是边长为4的正三角形.所以球心O一定在△ABC的外心上方.记球心O在平面ABC上的投影点为点D,所以AD=BD=CD=4××=,则由题可建立方程+=4,解得r2=.所以该三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4πr2=π.故选B.[答案] B12.2018·中原名校联考已知A,B,C,D是球O表面上四点,点E为BC的中点,点AE⊥BC,DE⊥BC,∠AED=120°,AE=DE=,BC=2,则球O的表面积为 A.πB.C.4πD.16π[解析] 由题意可知△ABC与△BCD都是边长为2的正三角形,如图,过△ABC与△BCD的外心M,N分别作面ABC、面BCD的垂线,两垂线的交点就是球心O.连接OE,可知∠MEO=∠NEO=∠AED=60°,在Rt△OME中,∠MEO=60°,ME=,所以OE=2ME=,连接OB,所以球O的半径R=OB===,所以球O的表面积为S=4πR2=π,故选B.[答案] B
二、填空题13.2018·沈阳质检三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则的值为________.[解析] 如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,所以==.[答案] 14.2018·宁夏银川一中模拟如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.[解析] 由三视图知,该几何体是一个高为2,底面直径为2的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下45°切开所剩下的几何体,其体积为对应的圆柱的体积的一半,即V=×π×12×2=π.故答案为π.[答案] π15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体最长的棱长为________.[解析] 依题意知,几何体是如图所示的三棱锥A-BCD.其中∠CBD=120°,BD=2,点C到直线BD的距离为,BC=2,CD=2,AB=2,AB⊥平面BCD,因此AC=AD=2,所以该几何体最长的棱长为
2.[答案]
2.16.2018·厦门一模如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为________.[解析] 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的长、宽、高分别为412,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以表面积为S=S长方体表-S半圆柱底-S圆柱轴截面+S半圆柱侧=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×12-2×1+×2π×1=
26.[答案] 26。