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限时标准练三时间40分钟 满分80分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={y|y=lgx},B={x|y=},则集合A∩B= A.0,+∞B.[0,+∞C.1,+∞D.∅[解析] 集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R,B={x|y=}={x|x≥0},则A∩B={x|x≥0}=[0,+∞.[答案] B2.已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+i,z·=4,则a= A.1或-1B.或-C.-D.[解析] 由已知得a+ia-i=4,∴a2+3=4,解得a=±
1.[答案] A3.设函数fx=x2-2x-3,若从区间[-24]上任取一个实数x0,则所选取的实数x0满足fx0≤0的概率为 A.B.C.D.[解析] 由fx0≤0,得到x-2x0-3≤0,且x0∈[-2,4],解得-1≤x0≤3,∴P==.[答案] A4.已知数列{an}满足对于∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=,那么a5= A.B.C.D.[解析] 由于an·am=an+mm,n∈N*,且a1=.令m=1,得an=an+1,所以数列{an}是公比为,首项为的等比数列.因此a5=a1q4=5=.[答案] A5.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a-b·a=7,则a与b的夹角为 A.B.C.D.[解析] 向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a-b·a=
7.可得a2-a·b=4-a·b=7,可得a·b=-3,cos〈a,b〉===-,由0≤〈a,b〉≤π,得〈a,b〉=.[答案] C6.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为 A.9πB.18πC.36πD.144π[解析] 由三视图可知该几何体为一个横放的直三棱柱,高为4,底面是一个直角边长分别为24的直角三角形,其中下面的一个侧面为边长为4的正方形.将该三棱柱补成一个长方体,从同一顶点出发的三条棱长为
442.设外接球的半径为R,则2R=,R=
3.因此外接球的表面积S=4πR2=36π.[答案] C7.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则S△ABC= A.3B.2C.3D.6[解析] ∵由于△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且内角和等于180°,∴B=60°,在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1舍去,可得BC=6,∴S△ABC=AB·BC·sinB=×2×6×=
3.[答案] C8.若实数x,y满足|x|≤y≤1,则x2+y2+2x的最小值为 A.B.-C.D.-1[解析] x,y满足|x|≤y≤1,表示的可行域如图中阴影部分所示,x2+y2+2x=x+12+y2-1的几何意义是可行域内的点到D-10的距离的平方减
1.显然D-10到直线x+y=0的距离最小,最小值为=,故所求表达式的最小值为-1=-.[答案] B9.执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S= A.2B.3C.4D.5[解析] 开始S=0,K=1,a=-1执行循环第一次S=0-1=-1,a=1,K=2;第二次S=-1+2=1,a=-1,K=3;第三次S=1-3=-2,a=1,K=4;第四次S=-2+4=2,a=-1,K=5;第五次S=2-5=-3,a=1,K=6;第六次S=-3+6=3,a=-1,K=7;结束循环,输出S=
3.[答案] B10.若函数fx=asinωx+bcosωx0ω5,ab≠0的图象的一条对称轴方程是x=,函数f′x的图象的一个对称中心是,则fx的最小正周期是 A.B.C.πD.2π[解析] 由fx=sinωx+φ的对称轴方程为x=可知,+φ=+kπ,k∈Z⇒φ=+kπ,即=tanφ=1⇒a=b,又f′x=aωcosωx-bωsinωx的对称中心为,则f′=0⇒aω=0⇒=+kπ,k∈Z⇒ω=2+8k,k∈Z⇒ω=2,即T==π.[答案] C11.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点A在第一象限内,=3,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则三角形ABG的面积为 A.B.C.D.[解析] 如图作出抛物线的准线l x=-1,设A,B在l上的射影分别是C,D.连接AC,BD,过点B作BE⊥AC于点E.∵=3,则设|AF|=3m,|BF|=m,由点A,B分别在抛物线上,结合抛物线的定义,得|AC|=3m,|BD|=m.因此,在Rt△ABE中,cos∠BAE==,∴∠BAE=60°,∴直线AB的倾斜角∠AFG=60°,∴直线AB的斜率k=tan60°=,则直线l的方程为y=x-1,即x-y-=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,联立整理得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,x1x2=1,则y1+y2=x1-1+x2-1=,=,∴AB的中点E的坐标为,则直线EG的斜率为-,则直线EG的方程为y-=-.当y=0时,则x=,则G点坐标为,则点G到直线l的距离d==,|AB|=x1+x2+p=,则S△ABG=×|AB|·d=××=.故选C.[答案] C12.已知函数fx=|x|+2x-x0与gx=|x|+log2x+a的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是 A.-∞,-B.-∞,C.-∞,2D.[解析] 依题意,存在x00,使得f-x0=gx0,即|x0|+2-x0-=|x0|+log2x0+a;因而2-x0-=log2x0+a,即函数y=2-x-与y=log2x+a的图象在0,+∞上有交点,当a0时,只需满足x=0时,log20+a20-⇒log2a,即0a;易知当a≤0时,函数y=2-x-与y=log2x+a的图象在0,+∞上恒有交点.故a的取值范围是-∞,.[答案] B
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.[解析] 由题意知,男生人数=900-400=500,所以抽取比例为男生∶女生=500∶400=5∶4,样本容量为45,所以抽取的男生人数为45×=
25.[答案] 2514.已知直线ax+by+c-1=0b,c0经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是________.[解析] 依题意得,圆心坐标是01,于是有b+c=1,+=b+c=5++≥5+2=9,当且仅当即b=2c=时取等号,因此+的最小值是
9.[答案] 915.设双曲线-=1a0,b0的焦点分别为F1,F2,A为双曲线上的一点,且F1F2⊥AF2,若直线AF1与圆x2+y2=相切,则双曲线的离心率为________.[解析] 由题意,F10,c,F20,-c,不妨取A点坐标为,∴直线AF1的方程为y-c=-x,即2acx+b2y-b2c=
0.∵直线AF1与圆x2+y2=相切,∴=.∴b2=ac,∴e2-e-=0,∵e1,∴e=.[答案] 16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosC=,且acosB+bcosA=2,则△ABC面积的最大值为________.[解析] 由acosB+bcosA=2及余弦定理,得+=2,∴c=
2.∴4=a2+b2-2abcosC≥2ab-ab,则ab≤,当且仅当a=b=时等号成立.又cosC=,C∈0,π,得sinC=.∴S△ABC=absinC≤××=.[答案] 。