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07 等差数列与等比数列
1.已知{an}是等比数列an0且+a3a7=8则log2a1+log2a2+…+log2a9= . A.8B.9C.10D.11解析▶ ∵+a3a7=8an0且{an}是等比数列∴2=8∴a5=
2.∴log2a1+log2a2+…+log2a9=log2[a1a9a2a8·a3a7a4a6a5]=log2=9log22=9故选B.答案▶ B
2.在等比数列{an}中an0+1成等差数列且a1+2a2=2则数列{an}的通项公式为 . 解析▶ 设等比数列{an}的公比为q由an0知q0由题意得+=即a1-a2=a1a2∴a1q=1-q.又a1+2a2=2∴a1+2a1q=
2.由解得或舍去∴数列{an}的通项公式为an=.答案▶ an=
3.如图所示的是“杨辉三角”数图计算第1行的2个数的和第2行的3个数的和第3行的4个数的和…则第n行的n+1个数的和为 . 1 1 第1行 1 2 1第2行 1 3 3 1 第3行 1 4 6 4 1第4行 …解析▶ 1+1=21+2+1=41+3+3+1=81+4+6+4+1=16则第n行的n+1个数的和为2n.答案▶ 2n
4.已知数列{an}的各项均为正数前n项和为Sn且Sn=n∈N*.1求证:数列{an}是等差数列.2设bn=Tn=b1+b2+…+bn求Tn.解析▶ 1∵Sn=nN∈*∴当n=1时a1=S1=a10解得a1=1;当n≥2时由得2an=+an--an-1即an+an-1an-an-1-1=0∵an+an-10∴an-an-1=1n≥
2.∴数列{an}是首项为1公差为1的等差数列.2由1可得an=nSn=bn===-.∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-+-+…+-=1-=.【例1】 设Sn为等比数列{an}的前n项和若a1=1且3S12S2S3成等差数列则an= . 解析▶ 法一设等比数列{an}的公比为qq≠0则2S2=2a1+a2=2a1+a1qS3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q
2.因为3S12S2S3成等差数列所以3a1+a1+a1q+a1q2=4a1+a1q解得q=3故an=3n-
1.法二设等比数列{an}的公比为q由3S12S2S3成等差数列易得q≠1所以4S2=3S1+S3即=3a1+解得q=3故an=3n-
1.答案▶ 3n-1 在等差比数列问题中最基本的量是首项a1和公差d公比q在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组从而求出这两个量那么其他问题也就会迎刃而解这就是解决等差比数列问题的基本量的方法其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时务必注意公比q的取值范围.
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sna1+a3=30S4=120设bn=1+log3an则数列{bn}的前15项和为 . A.152B.135C.80D.16解析▶ 设等比数列{an}的公比为q由a1+a3=30a2+a4=S4-a1+a3=90得公比q==3首项a1==3所以an=3nbn=1log+33n=1+n则数列{bn}是等差数列其前15项和为=
135.故选B.答案▶ B
2.设{an}是首项为a1公差为-1的等差数列Sn为其前n项和.若S1S2S4成等比数列则a1= .A.2B.-2C.D.-解析▶ 由题意知S1=a1S2=2a1-1S4=4a1-
6.因为S1S2S4成等比数列所以=S1·S4即2a1-12=a14a1-6解得a1=-.故选D.答案▶ D【例2】 1设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S150S160则…中最大的项为 .A. B. C. D.2若等比数列{an}的各项均为正数且a8a13+a9a12=2ee为自然对数的底数则lna1+lna2+…+lna20= . 解析▶ 1由S15===15a80S16==8a8+a90可得a80a90d0所以数列{an}是递减数列所以a1a2…a80所以0S1S2…S8从而0….又因为当9≤n≤15n∈N*时an0Sn0即0所以是…中的最大项.故选C.2因为{an}是等比数列所以a8a13=a9a12=e所以lna1+lna2+…+lna20=lna1a2…a20=lna1a2010=10lna8a13=10lne=
10.答案▶ 1C 210 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时经常采用“巧用性质整体考虑减少运算量”的思想.
1.已知等比数列{an}满足an0且a3a2n-3=22nn≥2则当n≥1时log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n-1= . 解析▶log 2a1log+2a2log+2a3+…log+2a2n-1log=2a1a2a3…a2n-
1.设S=a1a2a3…a2n-1则S=a2n-2a2n-3…a
1.两式相乘得S2=a3a2n-32n-1=22n2n-1所以S=2n2n-1故原式=n2n-
1.答案▶ n2n-
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn若=3则= . 解析▶ 显然公比q≠1则由===1+q3=3得q3=2所以===.答案▶ 【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=λan-1其中λ≠
0.1证明{an}是等比数列并求其通项公式;2当λ=2时求a2i.解析▶ 1由题意得a1=S1=λa1-1故λ≠1a1=a1≠
0.由Sn=λan-1Sn+1=λan+1-1得an+1=λan+1-λan即an+1λ-1=λan.由a1≠0λ≠0得an≠0所以=因此{an}是首项为公比为的等比数列于是an=.2由1可知当λ=2时an=2n故a2i=a2+a4+…+a2n==. 判断或证明数列是否为等差、等比数列一般是依据等差、等比数列的定义或利用等差中项、等比中项进行判断.利用=an+1·an-1n≥2n∈N*来证明数列{an}为等比数列时要注意数列中的各项均不为
0.记Sn为等比数列{an}的前n项和已知a3=-8S3=-
6.1求数列{an}的通项公式;2求Sn并证明对任意的n∈N*Sn+2SnSn+1成等差数列.解析▶ 1设数列{an}的公比为q由题设可得解得故数列{an}的通项公式为an=-2n.2由1可得Sn==-+-1n·.由于Sn+2+Sn+1=-+-1n·=2=2Sn故Sn+2SnSn+1成等差数列. 【例4】 设数列{an}的前n项和为Sn已知a1=λSn+1=λSn+λn∈N*其中常数λ
1.1求证:数列{an}是等比数列.2若数列{bn}满足bn=logλa1a2…ann∈N*求数列{bn}的通项公式.解析▶ 1当n=1时S2=λS1+λ即a2=λ2∴=λ.当n≥2时Sn=λSn-1+λ∴an+1=Sn+1-Sn=λSn-Sn-1=λan即=λn≥
2.又∵=λ∴数列{an}是首项为λ公比为λ的等比数列.2由1得an=λn∴a1a2…an=λ1+2+…+n=∴bn=logλ=. 解这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去Sn或者an得到数列{an}的递推公式或者是数列{Sn}的递推公式进而求出an或者Sn与n的关系式.设Sn是数列{an}的前n项和且a1=-1an+1=Sn·Sn+1则Sn= . 解析▶ 由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn易知Sn≠0等式两边同时除以Sn+1·Sn得-=-1故数列是以-1为首项-1为公差的等差数列则=-1-n-1=-n所以Sn=-.答案▶ -
一、选择题
1.Sn是等差数列{an}的前n项和若S7-S2=45则S9= .A.54B.63C.72D.81解析▶ 法一∵S7-S2=45∴a3+a4+a5+a6+a7=45∴5a5=45a5=9∴S9==9a5=
81.法二∵S7-S2=45∴7a1+21d-2a1+d=45即a1+4d=9∴S9=9a1+36d=9a1+4d=9×9=81故选D.答案▶ D
2.已知数列{an}满足a1=2an+1=n∈N*则a2019= .A.-2B.-1C.2D.解析▶ ∵数列{an}满足a1=2an+1=nN∈*∴a2==-1a3==a4==2…可知此数列具有周期性周期为3即an+3=an则a2019=a3=.故选D.答案▶ D
3.若Sn为数列{an}的前n项和且Sn=则等于 .A.B.C.D.30解析▶ ∵当n≥2时an=Sn-Sn-1=-=∴=5×5+1=
30.故选D.答案▶ D
4.已知等比数列{an}中a2=2a6=8则a3a4a5= .A.±64B.64C.32D.16解析▶ 因为a2=2a6=8所以由等比数列的性质可知a2a6==16而a2a4a6同号所以a4=4所以a3a4a5==64故选B.答案▶ B
5.已知{an}是公差为4的等差数列Sn是其前n项和.若S5=15则a10的值是 .A.11B.20C.29D.31解析▶ 因为S5=15所以5a1+×4=15所以a1=-5所以a10=a1+9d=31故选D.答案▶ D
6.观察下列各图并阅读图形下面的文字.像这样10条直线相交最多可形成的交点的个数是 .A.40B.45C.50D.55解析▶ 法一n+1nN∈*条直线相交当n=123…k…时最多可形成的交点个数分别是11+21+2+3…1+2+3+…+k….∴10条直线相交最多可形成的交点的个数是1+2+…+9=
45.法二设nn≥2n∈N*条直线相交最多可形成的交点个数为an则累加得a10-a2=2+3+…+9∴a10=1+2+3+…+9=
45.故选B.答案▶ B
7.《张丘建算经》中“今有马行转迟次日减半疾七日行七百里.问日行几何”意思是“现有一匹马行走的速度逐渐变慢每天走的里数是前一天的一半连续行走7天共走了700里路问每天走的里数为多少”则该匹马第一天走的里数为 .A.B.C.D.解析▶ 由题意知这匹马每日所走的路程成等比数列设该数列为{an}则公比q=前7项和S7=
700.由等比数列的求和公式得=700解得a1=故选B.答案▶ B
8.已知等差数列{an}{bn}的前n项和分别为SnTn且=则= .A.B.C.D.解析▶ 法一设Sn=5n2+2n则Tn=n2+3n.当n=1时a1=7;当n≥2时an=Sn-Sn-1=10n-
3.∵a1=7符合上式∴an=10n-
3.同理bn=2n+
2.∴=.故选A.法二由=得====.故选A.答案▶ A
9.已知数列{an}的通项公式为an=若数列{an}为递减数列则实数k的取值范围为 .A.3+∞B.2+∞C.1+∞D.0+∞解析▶ 因为an+1-an=-=所以由数列{an}为递减数列知对任意nN∈*an+1-an=0所以k3-3n对任意nN∈*恒成立所以k∈0+∞.故选D.答案▶ D
二、填空题
10.在等比数列{an}中若a1=a4=-4则|a1|+|a2|+…+|an|= . 解析▶ 设等比数列{an}的公比为q则a4=a1q3代入数据得q3=-8所以q=-
2.又等比数列{|an|}的公比为|q|=2所以|an|=×2n-1所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1+2+22+…+2n-1=2n-1=2n-1-.答案▶ 2n-1-
11.设等差数列5…的前n项和为Sn则当Sn最大时n= . 解析▶ 法一设该等差数列为{an}∵公差d=-5=-a1=5∴an=5+n-1×=-+.要使Sn最大则即解得7≤n≤
8.又n∈N*∴n=7或n=
8.法二∵公差d=-5=-首项为5∴Sn=5n+×=-n2+n=-+.∴当n取最接近的整数时Sn最大即当n=7或n=8时Sn最大.答案▶ 7或
812.在计算机语言中有一种函数y=INTx叫作取整函数它表示不超过x的最大整数如INT
0.9=0INT
3.14=
3.已知=
0.8571令an=INTb1=a1bn=an-10an-1n1且n∈N*则b2019= . 解析▶ 依题意得a1=2a2=28a3=285a4=2857a5=28571a6=285714a7=2857142…所以b1=a1=
2.又bn=an-10an-1所以b2=8b3=5b4=7b5=1b6=4b7=2…可知数列{bn}是周期为6的周期数列.而2019=336×6+3所以b2019=b3=
5.答案▶ 5
三、解答题
13.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=an+1-2a1=
2.1证明{an}是等比数列并求其通项公式;2若数列{bn}满足··…·=n∈N*证明:{bn}是等差数列.解析▶ 1当n≥2时由Sn=an+1-2得Sn-1=an-2两式相减得an+1=2an即=
2.又S1=a2-2a1=2∴a2=S1+2=4满足=2∴=2对任意的n∈N*都成立.∴{an}是首项为2公比为2的等比数列.∴an=2n.2∵··…·=∴=∴2[b1+b2+…+bn-n]=n·bn
①∴2[b1+b2+…+bn+1-n+1]=n+1bn+1
②由
②-
①得2bn+1-1=n+1bn+1-nbn即n-1bn+1-nbn+2=0
③∴nbn+2-n+1bn+1+2=0
④由
④-
③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0∴bn+2-2bn+1+bn=0即bn+2-bn+1=bn+1-bnn∈N*∴是等差数列.能力1▶ 等差、等比数列的基本运算能力2▶ 等差、等比数列的基本性质能力3▶ 等差、等比数列的判断与证明能力4▶ 公式an=的应用。