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(二十八)不等式选讲1.2018·广州模拟已知定义在R上的函数fx=|x-m|+|x|,m∈N*,存在实数x使fx2成立.1求实数m的值;2若α≥1,β≥1,fα+fβ=4,求证+≥
3.解1因为|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|+|x|2有解,则|m|2,解得-2m
2.因为m∈N*,所以m=
1.2证明因为α≥1,β≥1,所以fα+fβ=2α-1+2β-1=4,即α+β=3,所以+=α+β=≥=
3.当且仅当=,即α=2,β=1时等号成立,故+≥
3.2.2018·唐山模拟设fx=|x|+2|x-a|a0.1当a=1时,解不等式fx≤4;2若fx≥4,求实数a的取值范围.解1当a=1时,fx=|x|+2|x-1|=当x0时,由2-3x≤4,得-≤x0;当0≤x≤1时,由2-x≤4,得0≤x≤1;当x1时,由3x-2≤4,得1x≤
2.综上,不等式fx≤4的解集为.2fx=|x|+2|x-a|=可见,fx在-∞,a]上单调递减,在a,+∞上单调递增.当x=a时,fx取得最小值a.若fx≥4恒成立,则应a≥
4.所以a的取值范围为[4,+∞.3.2018·全国卷Ⅲ设函数fx=|2x+1|+|x-1|.1画出y=fx的图象;2当x∈[0,+∞时,fx≤ax+b,求a+b的最小值.解1fx=y=fx的图象如图所示.2由1知,y=fx的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,fx≤ax+b在[0,+∞成立,因此a+b的最小值为
5.4.2018·开封模拟已知函数fx=|x-m|,m
0.1当m=-1时,求解不等式fx+f-x≥2-x;2若不等式fx+f2x1的解集非空,求m的取值范围.解1设Fx=fx+f-x=|x-1|+|x+1|=由Fx≥Gx解得{x|x≤-2或x≥0}.2fx+f2x=|x-m|+|2x-m|,m
0.设gx=fx+f2x,当x≤m时,gx=m-x+m-2x=2m-3x,则gx≥-m;当mx时,gx=x-m+m-2x=-x,则-gx-m;当x≥时,gx=x-m+2x-m=3x-2m,则gx≥-.则gx的值域为,不等式fx+f2x1的解集非空,即1-,解得m-2,由于m0,则m的取值范围是-20.5.2018·昆明模拟设函数fx=|x-a|+a≠0,a∈R.1当a=1时,解不等式fx≤5;2记fx的最小值为ga,求ga的最小值.解1当a=1时,fx=|x-1|+|x+2|,故fx=
①当x1时,由2x+1≤5,得x≤2,故1x≤2;
②当-2≤x≤1时,由3≤5,得x∈R,故-2≤x≤1;
③当x-2时,由-2x-1≤5,得x≥-3,故-3≤x-
2.综上,不等式的解集为[-32].2fx=|x-a|+≥=,所以ga=,因为=|a|+≥2=2,当且仅当|a|=,即a=±时等号成立,所以gamin=
2.6.2018·陕西模拟已知函数fx=|2x-1|+|x+1|.1解不等式fx≤3;2记函数gx=fx+|x+1|的值域为M,若t∈M,证明t2+1≥+3t.解1依题意,得fx=于是fx≤3⇔或或解得-1≤x≤
1.故不等式fx≤3的解集为{x|-1≤x≤1}.2证明gx=fx+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3,当且仅当2x-12x+2≤0时取等号,∴M=[3,+∞.t2+1≥+3t等价于t2-3t+1-≥0,t2-3t+1-==.∵t∈M,∴t-3≥0,t2+10,∴≥0,∴t2+1≥+3t.7.2018·福州模拟设函数fx=|x-1|.1求不等式fx≤3-fx-1的解集;2已知关于x的不等式fx≤fx+1-|x-a|的解集为M,若⊆M,求实数a的取值范围.解1因为fx≤3-fx-1,所以|x-1|≤3-|x-2|,即|x-1|+|x-2|≤3,则或或解得0≤x1或1≤x≤2或2x≤3,所以0≤x≤3,故不等式fx≤3-fx-1的解集为
[03].2因为⊆M,所以当x∈时,fx≤fx+1-|x-a|恒成立,而fx≤fx+1-|x-a|⇔|x-1|-|x|+|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|,因为x∈,所以|x-a|≤1,即x-1≤a≤x+1,由题意,知x-1≤a≤x+1对于x∈恒成立,所以≤a≤2,故实数a的取值范围为.8.2018·郑州模拟已知fx=|2x-1|+|ax-5|0a5.1当a=1时,求不等式fx≥9的解集;2若函数y=fx的最小值为4,求实数a的值.解1当a=1时,fx=|2x-1|+|x-5|=∴fx≥9⇔或或解得x≤-1或x≥5,即所求不等式的解集为-∞,-1]∪[5,+∞.2∵0a5,∴1,则fx=∵当x时,fx单调递减,当x时,fx单调递增,∴fx的最小值在上取得,∵在上,当0a≤2时,fx单调递增,当2a≤5时,fx单调递减,∴或解得a=
2.。